理论力学(矢量运算基本知识)

1、12内内 容容 提提 要要一一.矢量运算的基本知识矢量运算的基本知识1.单位矢量单位矢量2.矢量的加法矢量的加法3.矢量的标积矢量的标积4.矢量的矢积矢量的矢积5.矢量的导数矢量的导数二二.绪论绪论1. 理论力学的研究对象理论力学的研究对象2. 理论力学的学习目的理论力学的学习目的3. 理论力学的研究方法理论力学的研究方法4. 理论力学的学习方法理论力学的学习方法3一.矢量运算的基本知识1.单位矢量:rrro( r 0 ) 直角坐标系中的单位矢量: r0rOxyzkji,ijk42.矢量的加法(1)平行四边形法(2)三角形法abRaabbRRR = a + booo(3)多边形法 R = c

2、+ a + bRabccabbcaR = b + c + aR = a + b + cR = b + a5(1)定义:cbababacos(2)直角坐标中的解析表示 3.矢量的标积a = i ax + j ay + k azb = i bx + j by + k bzab = ax bx + ay by + az bz矢量A在直线 l 上的投影0lAAl(3)矢量的投影6(4)合矢量投影定理4.矢量的矢积(1)定义: c = a b(2)直角坐标中的解析表示babacsin若R = i Rx+ j Ry+k Rzai = i aix+ jaiy + kaizR = ai则有:Rx= aixRy

3、= aiyRz= aizabc7(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积zyxzyxbbbaaakjibaii = jj = kk = 1ij = ik = jk = 0ii = jj = kk = 0ij = kjk = iki = jxyyxzxxzyxxybabakbabajbabaiOxyzijk8(1)旋转单位矢量的导数oxyrro 0ij 矢量r 绕垂直于x y平面过o点的z 轴以角速度 逆时针旋转,单位矢量ro和 o亦同样旋转.0AAA5.矢量的导数0AAdtddtAddtAdAAdtdA009sincos0jkikrk(2)cossinjkikk(3)sincos0jir(1)c

4、ossin0jidtdkoxyrro 0ijsincosij0cossinij0r10dtdjidtrdcossin0同理:dtd(5)(6)0dtd0rkdtd0rdtdk0r11(2)旋转矢量的导数oRrr rrdtddtRddtrddtrdrr)(rrR12例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) a b (3) ab (4) ab (5) ba解:(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k(2) a b = 31 + 42 + 55 (3) ab = 3i (i + 2j +5k)+ 4j

5、(i + 2j +5k) + 5k (i + 2j +5k)= (6k-15j) + (-4k + 20i) + (5j -10i)= 10i -10j +2k= 4i + 6j + 10k= 3613(4)521543kjiba= 10i -10j +2k22052152kjibbbabaab0kji142353152554kji52301303652155241322142220543543kjiaaababba0(5)52543kji51854355423122215二.绪论1.理论力学的研究对象(1)机械运动(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论

6、2.理论力学的学习目的3.理论力学的研究方法4.理论力学的学习方法16例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B的质量分别为m1和m2 且m1 m2 ,试求物块A的加速度.OAB解:gmmmmaA2112BAaa xcxxBA0BAxx0BAxx 即:BAaa y17OADE例题3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块D和E的质量分别为m1和m2 且m1 m2 ,试求物块E的加速度.解:yxcxxEA202EAxx02EAxx 即:EAaa 218OABCDE例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.xy解:利用绳长不变的约束条件得:xE+2xA= c1 xB+(xB - xA) = c2 xC+(xC - xB) = c3xD - xC =c419代入上述结果得: vD= - 1.25 aD= - 0.25当t = 4s时 vE =10 aE = 2 aE = 2vE = 2 + 2t 8vD= - vE 8aD= - aE 计算速度和加速度得: dxD - dxC = 0 2 dxC - dxB = 0 2 dxB - dxA = 0dxE + 2 dxA = 08dxD