2.2欧拉平衡微分方程ppt课件

1、2.2 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 讨论在平衡状态下讨论在平衡状态下,作用于液体上的作用于液体上的表面力和质量力之间应满足的关系表面力和质量力之间应满足的关系,建立表示液体平衡的微分方程。建立表示液体平衡的微分方程。2.2.1欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 2.2.2重力下流体的压强分布规律重力下流体的压强分布规律2.2.1 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导

2、 如图如图2.5，在平衡液体中，在平衡液体中，取一微小六面体，为研取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长别平行于坐标轴，边长分别为：分别为：dx, dy, dz,其其形心点为形心点为M(x, y, z)，点，点M的压强为的压强为p(x, y, z)一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导 由于六面体各面的形心到由于六面体各面的形心到点点M的距离很小的距离很小,压强在压强在M点附近的变化可用泰勒级点附近的变化可用泰勒级数表示数表示,且可忽略二阶以上且可忽略二阶以上的微量的微量,于是：于是：分析作用于六面体表面的力：分析作用于六面体表面的力：（

3、为简化，只讨论（为简化，只讨论X方向，方向，Y，Z方向同理可得）方向同理可得） 1.表面力：只有静水压力表面力：只有静水压力一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导labdc面上的中心点面上的中心点M1x-dx/2，y，z），其压），其压强为：强为：labdc面上的中心点面上的中心点M2x+dx/2，y，z），其），其压强为：压强为：2dxxpp2dxxppM1M2一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导作用于作用于abdc面上的静面上的静水总压力为：水总压力为：l作用于作用于abdc面上的静面上的静水总压力为：水总压力为：dydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2

4、(一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X，Y，Z，六面体的质量为：，六面体的质量为：dxdydzvmdxdydzXFxdxdydzYFydxdydzZFz2.质量力质量力F：一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导根据平衡条件根据平衡条件Fx=0，则有：，则有： 0)2()2(dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp除以除以dxdydz，得：，得：0 xpX同理可得：同理可得：0ypY0zpZXxpYypZzp(2.2)(2.3)一、欧拉平衡微分方程的推导一、欧拉平衡微分方程的推导Xxp

5、YypZzp(2.3)二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式 将欧拉平衡微分方程分别乘以将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得：后相加得：)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp)(ZdzYdyXdxdp （2.4）综合形式综合形式 （压强差公式）（压强差公式）三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面 （2.4式左边是式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数，称为质量力的

6、势函数, 简简称力势函数。称力势函数。 有力势函数存在的力场，叫势场。有力势函数存在的力场，叫势场。)(ZdzYdyXdxdp三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面当力势函数存在时，有：当力势函数存在时，有：zUZyUYxUX,dzzUdyyUdxxUdUdUdp（2.5）)(ZdzYdyXdxdp三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面dUdp（2.5）（2.5表明压强在空间的变化是由质量力引起的表明压强在空间的变化是由质量力引起的.等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。点所

7、组成的面。在等压面上，压强在等压面上，压强p=常数常数(const)，于是：，于是：0dUdp0dUU=常数常数(const)，所以等压面也是等势面，所以等压面也是等势面三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面等压面的微分方程：等压面的微分方程：0dp即：即：0ZdzYdyXdx（2.6）等压面的微分方程等压面的微分方程 dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（标轴方向的投影。（2.6阐明：阐明： 单位质量力所做的微功等于零单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，所以在静止液由于质量力和位移都不为零，

8、所以在静止液体中质量力与等压面正交。体中质量力与等压面正交。三、质量力的势函数、有势力、等压面三、质量力的势函数、有势力、等压面 因此，在质量力只有重力时，等压面为一水因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。平面。 常见的等压面：常见的等压面： 1.液体的自由表面液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面不相混合的两种液体的交界面2.2.2 重力下流体的压强分布规律重力下流体的压强分布规律一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导二、静水压强基本方程的意义二、静水压强基本方程的意义 一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导 静止的液体，所受

9、的质量力只有重力，静止的液体，所受的质量力只有重力，)(ZdzYdyXdxdp)(00dzgdydxdpdzgdzdp 则则X=0，Y=0，Z=-g，代入压强差公式：代入压强差公式：取图取图2.7所示坐标系，所示坐标系，一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导 对均质流体，对均质流体，=const，那么：，那么：dzgdzdpczp即：即：cpz (2.8)l上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止液体中各点的液体中各点的 相等。相等。pzl即对液体中的任两点：即对液体中的任两点：2211pzpz（2.9）静力学的基本方程静力学的基本

10、方程(2.7)一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导在自由表面上，在自由表面上，cppz00即：即：0pc zpp0若取若取h的方向与的方向与z相反，那么：相反，那么：hpp0（2.11）静水压强的基本方程静水压强的基本方程（2.10）lh自由液面以下的淹没深度自由液面以下的淹没深度lp0 液面压强液面压强那么那么z=z0=0, p=p0，一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导（2液重压强液重压强h即从该点到液体自由表面即从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。的单位面积上的液柱重量。式式2.11）静水压强的基本方程表明：静水压强的基本方

11、程表明：静止液体中的任一点的压强由两部分组成：静止液体中的任一点的压强由两部分组成：（1表面压强表面压强 p0 （液面压强）（液面压强）等值传递到等值传递到液体内各点巴斯卡原理）。液体内各点巴斯卡原理）。一、重力下流体的压强分布规律推导一、重力下流体的压强分布规律推导 例例2.1 一封闭水箱，如图一封闭水箱，如图2.8液面上压强液面上压强p0 =120kN/m2,求求h=0.4m处处A点的压强。点的压强。二、静水压强基本方程的意义二、静水压强基本方程的意义l水头和单位势能水头和单位势能cpzl式中：式中：z位置高度位置水头是研究点相位置高度位置水头是研究点相对于某一水平面基准面的高度对于某一水

12、平面基准面的高度l从能量的角度看，从能量的角度看， z是单位重量液体从某是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能一基准面算起所具有的位置势能单位位单位位能能下面从能量和几何的角度分析各项的意义下面从能量和几何的角度分析各项的意义下面从能量和几何的角度分析各项的意义下面从能量和几何的角度分析各项的意义：液柱高度压强水头）：液柱高度压强水头）研究点在自由液面研究点在自由液面以下的高度以下的高度l从能量的角度看，从能量的角度看， 是单位重量液体所具有是单位重量液体所具有的压能的压能单位压能单位压能pp：测压管水头测管水头）：测压管水头测管水头）l从能量的角度看，从能量的角度看， 是单位重量液体所具是单位重量液体所具有的势能有的势能单位势能单位势能pz pz 式中各符号的规定式中各符号的规定 阐明：静止液体内各点单位重量液体所具阐明：静止液体内各点单位重量液体所具有的