数值分析09-常微方程数值解法ppt课件

1、W YW YW Y),()()1()()( nnnyyyxfyxfy或) 18()( )(,()(0yaybxaxyxfxyyyLyxfyxfLipschitzyxf),(),(: )(),(条件李卜希兹满足只要W Y222022224444122221221)0(xyxyxycycxyxdxydyxydxdyyxyyxW Ynxxx100)( )(,()(yaybxaxyxfxyW Y0)( )(,()(yaybxaxyxfxyW Y )(,(0000 xxyxfyy）P1 P2y(x)P0 x2x1x0NabhNnnhxxn), 1 , 0(0对等距节点)28(,2, 1 )(),(001

2、NnyxyyxhfyynnnnW Y),(),()(,(),()(,(),(),(),()(,(11211111211122222111111111000010001上在近似曲线而用可得：相交于与为斜率，可得切线：为切点，以再以yxPPyxhfyxxyxfyyyxPxxxxyxfyyyxfyxPyxhfyxxyxfyy),( )(,(:)(,(:)(),(111nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxhfyxxyxfyyxxxxyxfyyxyyyx相交得与可作直线一般地假定已求出,.),.,2 , 1)()(,1010NiNyyyNixyxyyxxx的近似值的初值问题的与所对应的微分方程出在重

3、复上述过程，即可求10PP：时，可求，当近似以1111)(yxxxyyW Y)()(2),(),( ),(),(211局部的截断误差称为nnnnnnnnnnnnxyhhxEyxhfyyhxEyxhfyy 112),(2)(,)()(! 2)(,()()(! 2)()()( nnnnnnnnyxfynnnnyxyyxyhxyhxyxhfxyxyhxyhxyhxy，并以的线性部分作为近似式取W Y 3)-(8),(),()(),(),()(1),()()(1)(2)()(1)()(2)()(1)()(2)(1)()(2)(1)(1111111,1111011010 nnnnnnnnnnnnnnnn

4、nnnnnnnnnnyxhfyyyxhfyxyyxfhxEyyhyxfhxEyyhyhxyxyhxfyhxyxyhxffhyyhxffhyyhxf)(2),(2nnyhhxE )(2),(2nnyhhxE W Y)(3)()(3),(2)(,()(6)()(21)()()(6)(21)(:33112112021nnnnnnnnnnnnnyhhxEyhyxhfyyxyxfyhxyxyhxyfhyyhxf ，去掉误差项，也称为中点法公式还可利用三点公式4)-(8 ),(211nnnnyxhfyyW Y1111)(,()()( )(,()()()(,()(11nnnnnnnnxxnnxxnnxxxx

5、dxxyxfxyxydxxyxfxyxydxxyxfdxxy所以1)(,(nnxxdxxyxf)(,(),(nnnxyxfyxf公式为则有Euleryxhfyyxfxxyynnnnnnnnn),(),()(11yf(x, y)xnxxn+1图8-2 W Yyf(x, y)xnxxn+1图8-3yf(x, y)xnxxn+1图8-4Euler),(),(,(),(1111111nnnnnnnnyxhfyyxyxfyxf则有5)-(8 ),(),(2)(,(1111nnnnnxxnnyxfyxfhydxxyxfyynnW Y)(2),(2nnyhhxE )(2),(2nnyhhxE )(),(1p

6、nhohxEW Y1)(,(nnxxdxxyxf)(0)(12)(12),(333hyhfhhxEn W Y111)(ennnyxy于是有记),(,()(), 2 , 1 , 0( 2)(2 )(,()()(12211nnnnnnnnnxyxhfxyynMhyhxyxhfxyxyR 6)-(8 )(21)(12111 nnnnnxxyhyxyRW Y7)-(8 12e)1()1(:)1()(1)(1abLnabLhabneLhMehLhLabhn所以：从而有因为nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhLMhyxyhLRyxfxyxfhyxyRyxhfyxyxhfxyRyyyxyyx

7、ye)1(2 )()1( ),()(,()( ),()(,()( )( )(e211111111111)1(2 1)1(1)1( )1(2 )1(2)1(2e112021221nnnkknnhLLhMhLhLMhhLMhehLMhhLMhW Y)(lim0nnhxyy W YW Y8)-(8 ), 1 , 0( ),(),(2),()(11) 1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn) 1(1)(1) 1(11)(11)(1) 1(12 ),(),(2knknknnknnknknyyhLyxfyxfhyyW Y法。改进由此导出一种新方法代一次，求解时，每步可以只迭

8、太高，用公式要求不。如果实际计算时精度求再利用。时，或小于预先给定的，当，对足够大的计算出复迭代，然后由第二个式子反，首先算出，按较大，如给定收敛。但这样做计算量时，迭代常数。因此，当为其中EuleryyxyyyyyykyyyyxhLLipschitzLkkkkk)88(),(,)88(),(120211)(11) 1(1)(1) 1(1)(1)2(1) 1 (1)0(100W Y9)-(8 ),(),(2 ),( 1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy校正预测10)-(8 )(2),(),(2111121kkhyyhkyxfkyxfknnnnnnW Yyyfxfxyyxf

9、xyxyhxyhxyhxyxynnnnn )(),()()(21)()()()(21注意到)()( :)()(2)()()(2 : )()()( )(,( )(,(),()()(,(),(31132211211121hOyxyhOxyhxhyxykkhyyhOxyhxyyfhkxfhxyxfhkxyhxfhkyhxfkxyxyxfyxfknnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 于是因此W Y的数值解。求初值问题1)0() 10( yxyy1, 9 .0, 2 .0, 1 .0, 1 .022)(2:, 12)1 (:r)1 ( :10921111110111111xxxxhyhhyyyhyy

10、EuleryyyhyyyhyyhyyyEuleyhhyyyEulernnnnnnnnnnnnnnnnnn取梯形法法计算可以利用才能开始，还要只给定了中点法：法后退法解隐式隐式W YW YY =-y, y(0)=1的解的解y(1)的近似值的近似值(y(1)=0.367879)h欧拉法欧拉法后退欧拉法后退欧拉法中点法中点法梯形法梯形法0.1.348678.385543.374310.3675730.01.366033.369711.367944.3678770.001.367700.368052.367879.3678760.0001.367800.367800.367881.368020W YW

11、 YW Y)(,(*:*,),()(,(11)-(8 )(,()()(),() 10( )()()(,)()(1111hxyhxfkkxxhxyhxfhxyhxhfxyxyyxfyhxyhxyxyhxyxynnnnnnnnnnnnnnn即记作上的平均斜率）称作区间这里）得到解于是由微分方程由微分中值定理开始我们从研究差商W Y)(21*21kkkW Y) 10( llhxxnln)(*221112211kckchyykckcknn即取),(1nnyxfk1lhkyynln，W Y12)-(8 ),(),()(12122111lhkyxfkyxfkkckchyynlnnnnn)()(311hOy

12、xynn13)-(8 )()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn W Y)()()()(),(),(),(),(),()(),(22121hOxylhxyhOyxfyxfyxflhyxflhkyxfkxyyxfknnnnnnynnxnnnlnnnn 由：14)-(8 )()()()()(322211hOxylhcxycchxyynnnn 15)-(8 211221lcccW Y16)-(8 2, ),( 1212121khyxfkyxfkhkyynnnnnnW YW Y)(3322111kckckchyynn)(2211kbkbmhyynmn)(,(),(22112kbkbm

13、hymhxfyxfknnmnmnW Y17)-(8 )(,(),(),()(221131213322111kbkbmhymhxfklhkylhxfkyxfkkckckchyynnnnnnnnW Y18)-(8 613121112323223232121lmbcmclcmclccccbb19)-(8 )2,(2,2),()4(62131213211hkhkyhxfkkhyhxfkyxfkkkkhyynnnnnnnnW Y20)-(8 ),()2,2(2,2),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyyiiiiiiiinnW Y 22122

14、,221212,2 )2,2( ),()22()22(632421312143211hkhkyhxfkhkhkyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnnW Y1) 0 (10 2yxyxyy)(22 221111121kkhyyhkyxhkykyxyknnnnnnnnW Y11212)2(2)2( 2khyhxkhykyxyknnnnnn)(2(6)(2)(2)2(2)2(43211334223kkkkhyyhkyhxhkykkhyhxkhyknnnnnnnnW YW YW YW Y511)(chyxyhnnW Y，21hny)(151)(161)()(22)(1212

15、1121112115211hnhnhnnhnhnnhnnhnnyyyxyyyxyyxyhcyxy的事后误差估计式：由此得故：W Y否合适。具体做法是：，从而判断所选步长是，检查偏差：半前后两次计算的结果这样，可以通过步长折121hnhnyy)(11)(hnnyxy 2 /12 /11kkhnhnkyy2/11khnnyy即可取W Y0)0(10 ,2yxeyKRyx法解初值问题：用变步长四阶标准21eln2xyW YW Y21)-(8 )(0111101rnrnnrnrnnnfffhyyyy式式8-21为显式，为显式，-10时，式时，式8-21为隐为隐式。式。W Y)(,()(xyxfxy22

16、)-(8 d)(,()()(11nnxxnnxxyxfxyxy)()(21)(! 21)(1122nnnnnxxxxxyxxxxdxfdxRn )()(,(1111xRfxxxxfxxxxxyxfnnnnnnnn）W Y于是得差分公式表示近似值并仍用截去误差，则得：将上式代入式),(d)(d)()3(2)()()228(1111nnnxxxxnnnnyxffxxRxxRffhxyxynnnn示公式。为一个二阶阿当姆斯显可见公式据积分中值定理可得：其局部截断误差为：)238(),( ),(125d)()(21d)()(21d)(23)-(8 )3(2113111111111 nnnnxxnnnn

17、xxnnnxxnnnnnxxyhxxxxxyRxxxxxyxxRRffhyynnnnnnW Y24)-(8 ),( )()(1)2(211101nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyyW Y25)-(8 ),( )()(11) 2(21*11*0*11*1nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyyW YW Y26)-(8 ),( ),(720251)9375955(24135513211nnnnnnnnnnnxxyhRffffhyyW Y27)-(8 ),( )(72019)5199(2412552111nnnnnnnnnnxxyhTfff

18、fhyy28)-(8 ),( )5199(24 ),( )9375955(24 11121111113211nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxffffffhyyyxffffffhyy校正预测W YW Y)(72019)(720251)5(5)5(5nnyhyh和19251)()()(72019)()(720251)(1111)5(511)5(511nnnnnnnnnncxypxyxyhcxyxyhpxy所以：W Y)(27019)()(270251)(11111111nnnnnnnncpcxycppxy)(27019)(270251:111111nnnnnncpccpp和因此，可以期望用

19、W Y29)-(8 ),( )(27019 )5199 (24 ),( )(270251 )9375955(24 11111112111111113211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxffcpcyfffmhycmxfmcppmfffhyp计算修正校正值校正计算修正预测值预测W Y)(11011221101nnnnnnnyyyhyyayy20111)()()(jjjnjjnjnxyhxyxyT 5) 5 (112514) 4(112413) 3 (1123121122110121210)(! 51)( 5)21()(! 41)( 4)21()(! 31)( 3)21()

20、(! 21)( 2)21()()()21()()1 (hxyhxyhxyhxyhxyxyTnnnnnnW Y144161338122412111211121112110121210)179(241 )1418(241 )9(241)1 (243 )1 (24271110111210W Y30)-(8 )(401)2(39 81) 5(51121nnnnnnnxyhTyyyhyyy)(2211033221101nnnnnnnnyyyhyyyayy31)-(8 )(4514 )2(34)5(52131nnnnnnxyhTyyyhyyW Y32)-(8 ),( )2(3981 ),( )22(34

21、11111211112131nnnnnnnnnnnnnnnnnyxfyyyyhyyyyxfyyyyhyy计算校正计算预测W Y33)-(8 ),( )(1219 )2(39(81 ),( )(121112 )22(34 1111111112111111211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxfypccyyymhyycmxfmcppmyyyhyp计算修正校正值校正计算修正预测值预测W Y34)-(8 )( ),()( ),(0000vxvvuxvuxuvuxuTTTvuyyxfvuxy),( ),(),( ,),()(00035)-(8 , )( ),(00yxyyxfyW

22、Y),(),(11nnnnnnnnnnvuxvuxhvuvu),(),(11nnnnnnnnnnvuxhvvvuxhuu226,2,22,2),(43211443433232212111KKKKhyylkhKyhxfKlkKhyhxfKlkKhyhxfKlkyxfKnnnnnnnnnn),(1nnnnyxhfyyW Y)368 (226 226),( ),(2,2,2 2,2,22,2,2 2,2,2),( ),(432114321133433422322311222211llllhvvkkkkhuuhlvhkuhxlhlvhkuhxklhvkhuhxllhvkhuhxklhvkhuhxllhvkhuhxkv