一轮复习配套讲义：第10篇第3讲二项式定理

1、第3讲二项式定理最新考纲1 .能用计数原理证明二项式定理.2 .会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题由浅入深旁基固本诊断基础知识知识梳理1.二项式定理二项式定理(a+b)n = Cnan+cnan 1b+ &an rbr+ Cnbn(nC N*)二项展开式的通项公式Tr+1 = cnan rbr,它表小第 r+ 1 项二项式系数二项展开式中各项的系数c0, cn,，cn2.二项式系数的性质(1)0&k&n 时，cn与 C'-k的关系是 cn=cg-k.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第2+1项的二项式系数最大，最大值为 C；n；当n为奇数

2、时，第 嗫项和，3项的二项式系数最大，最大值为C、1n或C?n.(3)各二项式系数和：Cn+Cn + C2+ Cn=2n, C0+Cn+C4+= Cn+Cn+C5+-= 2n 1.辨析感悟1 .二项式定理的理解(X)5项和第6项.(X)(D&anrbr是(a+b)n的展开式中的第r项.(2)在(1 x)9的展开式中系数最大的项是第(3)(教材习题改编)在x 2 6的二项展开式中，常数项为一160.(，)4 x2 .二项式系数的性质(4)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a, b无关.(，)(5)若(3x1)7 = a7x7+a6x6+aix+ ao,则 a? + a6+ ai

3、 的值为 128.(x ) a a(6)(2013安徽卷改编)若x十n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7,则实数1/八 2=26感悟提升1 .二项式定理(a+ b)n= C0an + C1an 1b+ Cnan rbr + Cnbn(n N*)揭示二项展开式的规律,一定牢 记通项公式Tr+i = Cnan-rbr是展开式的第r+1项，不是第r项，如(1).2 .二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr+1 = cnan-rbr中，cn是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指cn,而后者是字母外的部分，前者只与 n和r有关，包为正，后者还与a,

4、b有关，可正可负，如(2)就 是混淆两个概念的区别.二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6);当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.突破高频考点以例求法举一反三考点一通项公式及其应用1_1_、'【例11 (1)(2013浙江卷)设二项式"X3L 5的展开式中常数项为A，则人= 31<vx?A. 4 B. 3 C. -2 D. 11 1 )解析(1)Tr+1=c5(Vx)"r(2)(2013新课标全国II卷)已知(1 + ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于().5 一艺

5、 5 532 6,令26r = °，得 r=3, . A= C5= -10.(2)(1 + ax)(1 + x)5= (1 + x)5+ ax(1 + x)5,又(1+x)5中含有x与x2的项为T2=c5x, T3=c5x2.展开式中x2的系数为c5+ac!=5, ；a= 1.答案(1) 10 (2)D规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件 (特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n, r均为 非负整数，且n>r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再

6、求所求 解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【训练1】(1)(2013大纲全国卷改编)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(2)设二项式x- %>(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B = 4A,则a的值是 、yx,、解析(1) .(1 +x)8的通项为c8xk, (1+y)4的通项为c4yt,.(1+x)8(1+y)4 的通项为 C8c4xkyt,令 k= 2, t = 2,得 x2y2 的系数为 C2c4=168.(2) X-,展开式的通项 Tr+1 = (a)rc6x63 .A=(a)2c6, B=(-a

7、)4c6,由 B = 4A,得(一a)4c6= 4(- a)2c6,解之得 a=苣.又a>0,所以a=2.答案 (1)168 (2)2学生用书第177页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例 2】(1)(2014 青岛卞g拟)设(1 + x)n=a° + a1x+ a2x2+3+anxn,若 a+a2+ an = 63,则展开式中 系数最大的项是().A. 15x2 B. 20x3 C. 21x3 D. 35x3若，x+ 1)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 工的系数为 xx审题路线(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公

8、式求解.1根据二项式系数性质，由C2=C6,确定n的值，求出要的系数.x解析 (1) : (1 + x)n=a0+a1x+a2x2+ +anxn,令 x = 0,得 a0 = 1.令x=1,则(1 + 1)n= a。+ a + a2+ an = 64,.n=6,又(1 +x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，.(1+x)6的展开式系数最大项为T4 = c6x3=20x3.由题意知，C2=C6, ；n = 8.Tr +1 = c8 x8 r Pc8 x8 2r,当 8 2r= 2 时，r = 5, .$的系数为 c8=C3= 56. x答案(1)B (2)56规律方法(1)第(1)小题求解的

9、关键在于赋值，求出ao与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为Cn=C7,而求错n的值.求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1, -1.【训练2】(1)二项式,十 12的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是().A. 180 B. 90 C. 45 D. 360(2)若(1 2x)2014=a0 + a1x+a2x2+一+ a2014x2014(x R),则11+|2+涝+ 笋14的值为.解析(1)由二项式系数的性质，得n=10, .Tr+

10、LCV而)10哆) = 2rcr0x53,人 5一一2令 5 2r=0,则 r = 2,从而 T3=4C10=180.(2)令乂= 0,彳4 a0=(10)2013=1.1a1 , a2a2014 八令x=2,则 a0+5+方+ +22014=0, a1 a2a2014,万+ +22014= - 1.答案(1)A (2)-1考点三二项式定理的应用【例3】(2012湖北卷)设aCZ,且0&a<13,若512 012+ a能被13整除，则a=().A. 0 B. 1 C. 11 D. 12解析 512 012+ a=(52 1)2 012+ a=C2 012 522 012-C2 0

11、12 522 011+- + c2 012x 52 ( 1)2 011+C2012 (- 1)2 012+a,VC2 012 522 012-c2 012 522 011+ + c2012x 52 (- 1)2 011 能被 13 整除.且512 012 + a能被13整除，；C2012 ( 1)2012+a=1 + a 也能被 13 整除.因此a可取值12.答案D规律方法(1)本题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 °12,使得展开式中的每一项与除数13建立联系.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式， 再用二项式定

12、理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a=cr+b,其中余数bC 0, r), r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用.【训练 311-90C1o+ 902C20 903C30+( 1)k90kc1o+9010C10除以 88 的余数是().A. -1 B. 1 C. -87 D. 87解析 1 900+90/2。+ + (_ 1)k90kCk0+ + 9010c10= (1 90)10 = 8910= (88+ 1)10= 8810+ Clo889 + -TClo88+1,二前10项均能被88整除，余数是1.答案BI课堂小结I1,二项展开式的通项Tk+1 = cnan-kbk是展开

13、式的第k+1项，这是解决二项式定理有关问题的基础.在 利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制.2 .因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开 式各项系数和的一种重要方法.3 .二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系. 培养解题能力_裁你解题提引创新突破10二项式的和与积问题【典例】(2014济南质检)jx+a：3 X：5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为().A. -40 B. -20 C. 20 D. 40突破：展开式的常数项来源于：“x+a”中的x与2X 1

14、5展开式中含的项相乘；a与，2x15展开 xxxx x式中含x的项相乘.解析在x+a；2x1)中，令x=1,得1 xx /5(1 + a)(21) =1 + a=2,. a= 1.'2x-1 5展开式的通项 Tr+1 = C5(2x)51) 、 x. x=C5 25 r(_1)rx52r.令 52r=1,得 2r = 4,即 r = 2,因此：2x 1 5展开式中x的系数为C52"2 (1)2=80.、 x,令 52r= 1,得 2r = 6,即 r=3,为数系的1- X中式开展51- X-心匕止H5235C'x+112x 1展开式中常数项为80 40=40. x x

15、答案D反思感悟对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还 要注意有关指数的运算性质.对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二 项式定理的形式去求解.【自主体验】(1+2x)3(1x)4展开式中x项的系数为.解析(1+2x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项 分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C0(2x)0C1(-x)1 + C1(2x)1 C°14(-x)0,其系数为C0C4(1. + c3 2= 4+6 = 2.答案2课时题组训练阶排训练练出高分对应学生用书P361基

16、础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题2. (2014 西安调研)若(1 + g)4 = a+bV3(a, b 为有理数)，则 a+b=().A. 36 B. 46 C. 34 D. 44解析 (1 + V3)4=1 + c4 V3+C2 (V3)2+c4(V3)3+(73)4 = 28+1673,由题设 a = 28, b=16,故 a+b = 44.答案D3. (2013辽宁卷)使gx+ x1x)(ne N*)的展开式中含有常数项的最小的n为().A. 4 B. 5 C. 6 D. 7解析 Tr+1 = cn(3x)n,氏)=小35rxn5r,当 Tr+1 是常数项时，n5r = 0,

17、当 r=2, n=5 时成立.答案B3 .已知|x a/展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是().xA. 28 B. 38 C. 1 或 38 D. 1 或 28解析 由题意知C8(a)4=1 120,解得a=2 令乂= 1,得展开式各项系数和为(1a)8=1或38.答案C4 .已知(x+ 1)10= a + a»+a3x2+ aux10.若数列 a” a2, a3,，ak(1&k& 11, kCZ)是一个单调递增 数列，则k的最大值是().A. 6 B. 7 C. 8 D. 5解析 由二项式定理知an=Cno 1(n= 1,2,3,

18、，n).又(x+ 1)10展开式中二项式系数最大项是第 6项. .a6=C50,则k的最大值为6.答案A5,若(1+ mx)6 = ao+a1x+a2x2+一+a6x6,且 a+ a2+ a6=63,则实数 m 的值为().A. 1 或 3 B. -3C. 1 D. 1 或3解析 令 x=0,得 a0= (1 + 0)6= 1,令 x= 1,得(1 + m)6= a0+a + a2+ a6,又 a1 + a2+a3+, + a6 = 63, . (1 + m)6=64 = 26, .m1=1或m1= -3.答案D二、填空题6. (2013四川卷)二项式(x+ y)5的展开式中，含x2y3的项的

19、系数是 州数字作答).解析 Tr+1 = C5x5 ryr(r = 0,1,2,3,4,5),依题意，r=3,.含x2y3的系数为 35：4：3 =10.3 A 2 A 1答案107. (a + x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=.解析(a + x)4的展开式中的通项+1 = C4a4rxr,当r = 3时，有C4 a=8,所以a=2.答案28.的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M N = 240,则展开式中含x的项为.解析 由已知条件4n2n = 240,解得n = 4,- r 4 rTr1 = C4(5x)=(1)r54 rC4x43r2，. 3r令 4万=1,得

20、 r = 2, T3=150x.答案150x三、解答题9.已知二项式(3/X+ 5n的展开式中各项的系数和为256. x(1)求n； (2)求展开式中的常数项.解 由题意得Cn+C1+C2+-+解=256,；2n=256,解得 n=8.(2)该二项展开式中的第r+1项为7,3 、8-r i” cr 84rTr+i = C8(/X)LX) = C8X a ,x3.8 4r令8z= 0,得r=2,此时，常数项为T3=C2=28.31)dx.10.若(2 + x+ x2), X)的展开式中的常数项为a,求Ja(3x2 解一x)=一3+x2-x3，(2 + x + x2) ,1 1)的展开式中的常数项

21、为 1 x/a=2X1 + 1x( 3)+1X3= 2.因此(3x21)dx= (x3-x) o2/ 3=(x -x)0=6.、选择题能力提升题组(建议用时：25分钟)x<0,1. (2013陕西卷)设函数f(x)=；-5,x> 0则当x>0时，甲(x)表达式的展开式中常数项为().A. -20 B. 20 C. 15 D. 15解析当 x>0 时，")=yx<0,所以 ff(x)=f( 6 =Tr i = c6x 2(6r) ( x2) = (- 1)rc6x 3+2 + 2，由 r 3 = 0,得 r = 3.所以ff(x)表达式的展开式中常数项为(

22、1)3c6= 20.答案A2 .若将函数 f(x) = x5表示为 f(x)=ao+ai(1 + x) + a2(1+x)2+ a5(1+x)5,其中 ao, ai, 比,，a5为实 数，则 a3=().A. 8 B. 9 C. 10 D. 11解析 f(x) = x5=(1+x1)5,它的通项为+1 = c5(1+x)r ( 1)5 r, T4 = C3(1)2(1 + x)3=10(1+x)3,a3= 10.答案C二、填空题3 .若(1+x+x2)6= ao+a1x+ 82x2+ a12x12,则 a2 + a4+a12=.解析 令 x= 1,贝1 ao+a +a2+ a2= 36,令x=

23、 - 1,则 aoa1+m+a12= 1,36+1二 ao+ a2+ a4 + + a12= 2.人36+1令x=0,则 ao=1,.82+04+3 + 812= -2- 1 = 364.答案 364三、解答题4,已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于 C6x2 + A，的展开式的常数项，而(a2+1)n的展开式的系 数最大的项等于54,求正数a的值.解身2+也5展开式的通项为+1 =。5尊"H 氏5rc5x20/，令20- 5r = 0,得r = 4,故常数项T5=c4x= 16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和为2n,由题意得2n=16, .n = 4. 5.(a2+1

24、)4展开式中系数最大的项是中间项T3,从而C4(a2)2=54,解得a=43.方法强化练一一计数原理(对应学生用书P363)(建议用时：60分钟)、选择题1. A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻），那么不同的排法 共有（）.A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种解析 可先排C, D, E三人，共A3种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足 条件的排法共A5=60种.答案B2. （2014重庆质检）（1+3x）n（其中nC N且n>6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于（）.A. 6 B.

25、 7 C. 8 D. 9解析（1+3x）n的展开式中含x5的项为C5（3x）5=C535x5,展开式中含x6的项为C636x6.由两项的系数相等得C5 35 = C6 36,解得n=7.答案B3. （2014济南调研）只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能 相邻出现，则这样的四位数有（）.A. 6个 B. 9 个 C. 18 个 D. 36个解析 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二 步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有 3种方法；第三步将余下的2个数放在四位 数余下的2个位置上，有2

26、种方法.故共可组成3X3X2= 18个不同的四位数.答案C4. 组合式C02C1+4C2 8Cn+（2）nCn的值等于（）.A. （ 1）n B. 1 C. 3n D. 3n1解析 在（1+x）n = Cn+Cnx+ Cnx2+i+Cnxn 中，与 x= 2,得原式=（1 2）n=（1）n.答案A5. 若卜一1）的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为（）.J C 工 C 1c，A.32 B.64 c- - 64 D.128解析 由题意知Cn=nnU = 15,所以n = 6,则；x1）=卜2）,令x= 1得所有项系数之和为g）=64 答案B6. （2014杭州检测）甲、

27、乙两人计划从A, B, C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同 的选法共有（）.A. 3 种 B. 6 种 C. 9 种 D. 12 种解析 甲、乙各选两个景点有C3c2=9种方法，其中，入选景点完全相同的有 3种.满足条件要求的 选法共有9-3 = 6（种）.答案B7. 若仅一1）8=20+21（1+乂） + 22（1+乂）2+28（1 + 乂）8,则 a6=（）.A. 112 B. 28 C. 28 D. 112解析 （x1）8= （x+ 1） 28= ao+ a1（1 + x） + a2（1 +x）2 + + a8（1 +x）8, - a6= c8（ 2）2= 4C8= 11

28、2.答案Ax y+ 20,8. （2014长沙模拟）已知x, y满足x+ y-2<0,（xCZ, yCZ）,每一对整数（x, y）对应平面上一个点,0< y<2则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为（）.A. 45 B. 36 C. 30 D. 27解析 如图所示，阴影中的整点部分为 x, y满足的区域，其中整数点（x, y）共有8个，从中任取3个有C8=56种取法.就#一户23其中三点共线的有1 + C3=11（种）.答案A9. （2014广州调研）已知a=2%os3+6,dx,则二项式32+：/的展开式中x的系数为（）.A. 10 B. 10 C. 80 D. 80

29、解析 a = 2/1fcosx+ 6dx=2sin;x+6IJ =-2,则 32 + 胃=卜2 （），Tr+1 = c5x2（5 "（ x）=（2）rc5x10 3令 10_3=1,得= 3.展开式中x的系数为（2）3C3= 80.答案D10. （2014衡水中学模拟）用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（）.A. 40 B. 20 C. 80 D. 30解析 先将3,5排列，有A2种排法；再将4,6插空排列，有2A2种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的 空中，有C5种排法.由分步乘法计数原理

30、知，共有A2 2A2 c5 = 40种.答案A、填空题111.T4= C6(2x)3"十的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中二项式系数最大的项等于 x解析 依题意,令x=1,有3n = 729,则n = 6, 展开式第4项的二项式系数最大，则3=160x2答案 160x212 . (2014郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种.解析 甲、乙作为元素集团，内部有 a2W排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A2种排法.将丙、 丁插在3个空档中有A2种方法.由分步计数原理，共

31、有 A2A2A2=24种排法.答案2413 . (2013新课标全国I卷)设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+ y)2m+1展开 式的二项式系数的最大值为b,若13a= 7b,则m=.解析 由二项式系数的性质，得 a=Cmm, b= Cmm+1 = Cmm+1,又13a= 7b,因此13cmm = 7Cmm+1,解得m =6.答案614 .甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位 置，则不同的站法种数是 (用数字作答).解析 当每个台阶上各站1人时有A3C7种站法，当两个人站在同一个台阶上时有c3c7c6种站法，因此不同的站法种数有 A3c7+C22C7c6= 210+126= 336(种).答案 33615 . (2014无锡质检)(x2 + 2)R1的展开式的常数项是 .解析 二项式1展开式的通项为：Tr + 1 = c5：21r (1)r=c5x2r 10 ( 1)r. x当 2r- 10= 2,即 r = 4 时，有 x2 c4x 2 ( 1)4=c4X(1)4=5;当 2r10=0,即 r=5 时，有 2 c5x0 ( 1)5= 2.展开式中的常数项为5 2 = 3.答案316 .将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人.分赴世博会的四个不同场馆服务, 不同的分配