2.18极限存在准则与两个重要极限ppt课件

1、1.8 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限1.8.1 极限存在准则极限存在准则(1)( )( )( );g xf xh x定理定理1.8.1(夹逼定理夹逼定理) 若函数若函数( ), ( ), ( )f x g x h x满足：满足：(2) lim ( )lim ( ).g xh xalim ( ).f xa那那么么单增有上界数列必收敛单增有上界数列必收敛. 单减有下界数列必收敛单减有下界数列必收敛. 定理定理1.8.2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.2lim.!nnn例例1 利用夹逼定理求利用夹逼定理求222 .2!1 2 .nnn 221 n解：因为解：因为0

2、 4lim0,lim00,nnn由由夹夹逼逼定定理理知知：22222111lim0.12nnnnn4n而而2lim0.!nnn练习：证明练习：证明2222211112nnnn22nnn21nn例例2 设设a0,11,2,3,nnxa xaxn证明证明xn极限存在极限存在,并求极限并求极限.证：证：再证数列有界再证数列有界11,xaa用数学归纳法用数学归纳法:假设假设11,kxa那么那么1kkxax1aa先证该数列单调先证该数列单调 用数学归纳法用数学归纳法:21,xaaax设设,1kkxx那么那么kkxx2112kxkx证得数列证得数列nx单调有界单调有界,故极限存在故极限存在.设设limnn

3、xb由由1nnxax两边取极限得：两边取极限得：bab解得解得114,2ab01nxanx211aaa 即即xn有界有界.114.2ab（舍舍去去）为什么？为什么？0sin lim1xxx1.8.2 1.8.2 两个重要极限两个重要极限1.,B CBOCx如如图图：在在单单位位圆圆周周上上,OC OBACOC BDOC是是半半径径 且且,BDBDOBxtan0 ,x.20 x可设可设xsin21xtan21x21即即,tansin xxx即即证证:, 0 x先设先设xsin,ACACOCAOC的的面面积积BOC扇扇形形的的面面积积BOC的的面面积积sin cos1, xxx0sin lim1x

4、xxD由夹逼定理得：由夹逼定理得：0sin lim1,( ).uuuxu其中xxxtanlim0例例1 求求0tan limxxx解解: :0sin1limcosxxxx00sin1limlimcosxxxxx= 1例例2 求求0sin3limxxx解：解：3ux令0sin3limuuu= 300sin3sin3lim3lim3xxxxxx练习：练习：00sin2sin2(1)lim(2)lim3sin3xxxxxx0sinlim(0)sinxxx一般的，有一般的，有201coslimxxx解解: :20cos1limxxx例例4 求求2202sin2limxxx220sin12lim22xx

5、x20sin12lim22xxx122limsinnnn解解: :2limsin .nnn例例3 求求2sinlim1nnn2sin2lim2nnn= 2.arctan,xu解：令解：令那么那么002arctan2limlim33tanxxxuxu例例5 求求02arctanlim3xxx2300arcsinarctanlim1;lim1.xxxxxx1lim 1xxex2. 10lim(1)ttte用于解决幂指函数的极限问题，其特点是：用于解决幂指函数的极限问题，其特点是：1lim 1nnen(1)无穷大无穷小， 且无穷小 无穷大=1其经济背景是连续复利的计算问题，见教材其经济背景是连续复利

6、的计算问题，见教材59-60页页.()()1lim1()e例例6 求求xxx31lim333lim 1xxx333lim 1xxx3e 1lim 1xxx例例7 求求()( 1)1 lim 1 ()xxx 11lim 1 ()xxx e1 ()()1lim1()e120lim(1)xxx例例8 求求110lim(1) (1) xxxxxee 111100lim(1)lim(1)xxxxxx2lim1xxxx解解: :2lim1xxxx例例9 求求2(1)lim1(1)xxxxx2lim(1)1lim(1)xxxxxx231.eee1lim1xxxx例例10 求求e11lim.lim11xxxxxxx11lim 1xxx解：原式解：原式=例例11 求求0ln(12 )limsin 3xxx解：解： 0ln(1 2 )limsin3xxx1200limln(12 )2sin33