2.18常数项级数的概念和性质ppt课件

1、 8.1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、级数的基本性质周累计排污量为周累计排污量为前前周的排污量为周的排污量为第第于是于是物残留量的物残留量的一周内可排除污染一周内可排除污染的情况下的情况下在没有新的污染物产生在没有新的污染物产生染物总量为染物总量为若设某湖泊现有有害污若设某湖泊现有有害污游排出的办法游排出的办法逐渐从下逐渐从下断将有害物质稀释断将有害物质稀释采用从上游引入清水不采用从上游引入清水不通常可通常可物质的污染物质的污染为消除湖泊受到的有害为消除湖泊受到的有害例如例如nnQunQnn, 2, 1,3231,.31,.,1 一、常数项级数的概念Qn321)31(131

2、nuuuQ 21QQQn,随随着着时时间间向向后后无无限限推推移移即即穷穷个个数数的的和和的的形形式式也也可可以以表表示示为为无无无无理理数数又又如如,6592141. 3, 即即之之和和可可以以表表示示为为无无穷穷个个数数量量总总排排污污量量,Q,QQnn将将收收敛敛到到时时即即当当 QQQn76543210161012101910151011101410113一般地，对于给定的数列一般地，对于给定的数列,21nuuu称称 nuuu21 nnnnnuuuuu2111,即即记作记作简称级数简称级数为常数项无穷级数为常数项无穷级数,通项）通项）

3、称为级数的一般项（或称为级数的一般项（或项项其中第其中第nun.,2121nnnnuuuSSuuun 即即记记作作称称为为级级数数的的部部分分和和项项和和级级数数的的前前定义定义8.1.,lim,21111SuuuuSuSSSSunnnnnnnnnn 记作记作并且有和数并且有和数收敛收敛则称级数则称级数即即有极限有极限如果其部分和数列如果其部分和数列对于给定的级数对于给定的级数., )(1发散发散数数则称级则称级发散发散没有极限没有极限如果部分和数列如果部分和数列 nnnuS例例1 1.0,0, )()18(111试试讨讨论论该该级级数数的的敛敛散散性性其其中中又又称称为为等等比比级级数数称称

4、为为几几何何级级数数无无穷穷级级数数 qaaqaqaaqnnn解解该级数的前该级数的前n n项部分和为项部分和为)1(11 qqaqaaqaqaSnnn,1)1(时时当当 q,1limqaSnn 有有.1,)18(qa 且其和为且其和为收敛收敛所以级数所以级数,1)3(时时当当 q,1)2(时时当当 q.)18(,1发发散散级级数数时时故故当当 q.所所以以上上面面级级数数发发散散,lim nnS有有,1时时当当 q; )(时时 nnaSn, )1(121 nnaS,的极限不存在的极限不存在时时nSn .1,11时发散时发散当当时收敛于时收敛于当当 qqqq综上讨论综上讨论 ,例例2 2解解因

5、为因为111)1(1 nnnnun)1(1321211 nnSn 1113121211nn111 n从而从而nnS lim.1)1(11 nnn有有所所以以，该该级级数数收收敛敛，且且 111limnn. 1 .)1(11的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnn例例3 3证明证明有有微微分分中中值值定定理理使使用用拉拉格格朗朗日日上上对对函函数数在在区区间间,ln1,xnn )1(11ln)1ln( nnnnnnn 利用不等式可得利用不等式可得nSn1211 ln)1ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn )1ln( n从而推出从而推出,lim nnS.11发发散散因因此此调调和和级级数数

6、 nn.11发散发散证明调和级数证明调和级数 nn例例4 4.,.121)421(218421,2:200说明理由说明理由判断结论是否正确判断结论是否正确解得解得有有于是于是设设作如下推导作如下推导对级数对级数 SSSSnnnn解解.,20不正确不正确结论结论不可能为负不可能为负为正数之和为正数之和由于级数由于级数 nn,2, q且且级数级数问题在于该级数为几何问题在于该级数为几何,发发散散.S并不存在和数并不存在和数二、级数的基本性质.,1111 nnnnnnnnuccuucuc有有且同时收敛时且同时收敛时同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散与级数与级数则级数则级数为非零常数为非零常数设设性

7、质性质8.18.1则则有有与与的的部部分分和和分分别别为为与与级级数数设设级级数数,11nnnnnnScuu nnncScucucu 21 证明证明,由由数数列列极极限限的的性性质质于于是是,时时当当 n,同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散与与nnS ,11同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散与与即级数即级数 nnnnucu,limlimnnnnSc 且在收敛时有且在收敛时有.11 nnnnuccu即即有有.)(,)(,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且有且有收敛收敛则级数则级数都收敛都收敛与级数与级数若级数若级数性质性质8.28.2则则有有与与为为的的部部分分和和

8、分分别别与与设设级级数数, )(111nnnnnnnnnnTSvuvu )()()(2211nnnvuvuvu 证明证明)()(2121nnvvvuuu nnTS 即有即有 111nnnnnnnvuvu）（,极限存在极限存在时时由于由于nnTSn nnnnnnTS limlimlim ,2 . 81 . 8 和和性性质质由由性性质质.111 nnnnnnnvbuabvau）（且且有有极极限限也也存存在在知知,nnTS 且且有有也也收收敛敛级级数数以以及及任任意意常常数数与与对对于于收收敛敛级级数数,)(,111nnnnnnnbvaubavu 由例由例1 1和例和例2 2可知，可知，且且有有，收

9、收敛敛级级数数 11)1(32)1(nnnnn 1111)1(132121)1(32)1(nnnnnnnnnn32112121 ,617 ,11收收敛敛发发散散级级数数 nnnnvu.1发散发散）（必有必有nnnvu .,11时时收收敛敛或或同同时时发发散散同同与与则则级级数数为为任任意意正正整整数数设设 knnnnuuk,1 knnkuCk 记记对于任意给定的正整数对于任意给定的正整数kknnCS 性质性质8.3证明证明.,11有相同的敛散性有相同的敛散性与与级数级数因此因此 knnnnuu于是有于是有项部分和分别为项部分和分别为的前的前项部分和与项部分和与的前的前设级数设级数, )(,11

10、knSknunuknnknnnn ., 且收敛于原级数的和且收敛于原级数的和级数级数的级数仍然为收敛的级数仍然为收敛收敛级数加括号后所成收敛级数加括号后所成得级数得级数将相邻两项加括号将相邻两项加括号例如例如,)(1212 nnnuu: 2nnSS子子列列的的原原级级数数部部分分和和数数列列其其部部分分和和数数列列实实际际上上是是性质性质8.4 )()()(2124321nnuuuuuu,2也也必必然然收收敛敛其其子子列列nS,1收收敛敛必必有有部部分分和和数数列列收收敛敛时时当当级级数数于于是是nnnSu ,242nSSS.S且有相同的极限且有相同的极限 对于收敛级数，可以对它的项任意加括号

11、，对于收敛级数，可以对它的项任意加括号，但要注意不能改变相关项的次序但要注意不能改变相关项的次序.注意注意1 1注意注意2 2 加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛 （即性质的逆命题不一定成立）（即性质的逆命题不一定成立）.的的相相邻邻两两项项合合并并得得级级数数将将级级数数 11)1(nn )11()11()11(收敛，且和为零，收敛，且和为零，但原级数发散的但原级数发散的. 0lim,)(1 nnnnuu即即有有则则其其一一般般项项趋趋向向于于零零收收敛敛如如果果级级数数级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件,1收收敛敛由由于于级级数数 nnuSSSnnnn 1limlim从而有从而有nnu lim性质性质8.5证明证明)(lim1 nnnSS1limlim nnnnSS. 0 且有且有则有和数则有和数,S （2一般项趋于零只是级数收敛的必要条件，一般项趋于零只是级数收敛的必要