平面向量全章1ppt课件

1、平面向量一平面向量一知两个力知两个力F1和和F2同时作用在一个物体上同时作用在一个物体上,其中其中F1=40N,方向向东方向向东,F2=30N,方向向北方向向北,求它们的合力求它们的合力.东东B 北北A O C F2 F1F 。表表示示合合力力则则为为邻邻边边作作平平行行四四边边形形，、以以，表表示示，表表示示如如右右图图所所示示，FOCOBOAFOBFOA21NOBACNOAOACRt3040 ，中中，在在22ACOAOCF 由由勾勾股股定定理理得得223040 N50 tan1，则则的的夹夹角角为为与与力力设设合合力力FF75. 04312 FF 37 。，方方向向是是东东偏偏北北答答：合

2、合力力大大小小为为 3750N什么是向量？向量和数量有何不同？什么是向量？向量和数量有何不同？向量：即有大小又有方向的量向量：即有大小又有方向的量数量：只需大小，没有方向的量数量：只需大小，没有方向的量向量的模向量的模向量的长度向量的长度在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：质量、身高、面积、体积数量有：质量、身高、面积、体积向量有：重力、速度、加速度向量有：重力、速度、加速度2. 向量如何表示？向量如何表示？AB, ,a b c 向量AB向量AB几何表示几何表示向量常

3、用有向线段表示：有向线段的长向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。注注: 以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段记为为终点的有向线段记为 线段线段AB的长度记作的长度记作 读为模；读为模；ABAB也可以表示：也可以表示：大小记作大小记作: cba、FG练习练习:1.:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？2.2.向量向量 AB AB 和和 BA BA 同一个向量吗？为什么？同一个向量吗？为什么？我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，我们

4、所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取恣意位置。所以数学中的向量也叫自在向量起点可以取恣意位置。所以数学中的向量也叫自在向量. .如图：他们都表示如图：他们都表示同一个向量。同一个向量。不是，温度只需大小，没有方向。不是，温度只需大小，没有方向。不是，方向不同不是，方向不同aa阐明阐明1 1：有向线段与向量的区别：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向有向线段：有固定起点、大小、方向向量：可选恣意点作为向量的起点、有大小、有方向。向量：可选恣意点作为向量的起点、有大小、有方向。ABCDABCD有向线段有向线段ABAB、CDCD是不同的。是不同的。向量向量 AB

5、 AB、CD CD 是同一个是同一个向量。向量。阐明阐明2 2：思索：思索： 1、假设两个向量相等，那么它们的起点和、假设两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合吗？终点分别重合吗？ 2、向量与是共线向量，那么、向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点必在不断线上吗？四点必在不断线上吗？ 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 、假设四边形、假设四边形ABCD是平行四边形，那是平行四边形，那么有么有 吗吗?AB CD AB DCABCD3. 什么是零向量和单位向量？什么是零向量和单位向量？零向量：零向量： 长度为长度为0的向量，记为的向量，记为 ；单位向量

6、：长度为单位向量：长度为1的向量的向量.0注注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.4. 什么是平行向量？什么是平行向量？方向一样或相反的非零向量叫平行向量方向一样或相反的非零向量叫平行向量.注：注：1.1.假设是两个平行向量，那么记为假设是两个平行向量，那么记为ba /2.2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对恣意向量我们规定，零向量与任一向量平行，即对恣意向量 ，a都有都有a/0三、向量之间的关系：三、向量之间的关系：练习练习.判别以下各组向量能否平行？判别以下各组向量能否平行？ab ab ABCABC向量的平行与线段的平行有什么区别

7、向量的平行与线段的平行有什么区别?0 .)5(; 00)4(;)3(;)2(;)1(ACDABBAAB其其中中正正确确命命题题的的个个数数是是大大于于向向量量向向量量向向量量向向量量就就是是有有向向线线段段定定不不平平行行方方向向不不同同的的两两个个向向量量一一长长度度相相等等和和向向量量向向量量否否正正确确练练习习：判判断断下下列列命命题题是是 1 .B2 .C2 .DB例例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用在图中分别用 向量表示向量表示A地至地至B、C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A地至地至B、 C两地的实践间隔两地的实践间隔(准确到准

8、确到1km).1:80000005.什么是相等向量和共线向量？什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向一样的向量叫相等向量长度相等且方向一样的向量叫相等向量注：注：1.假设向量假设向量 相等，那么记为相等，那么记为 ； 2.恣意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来恣意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。表示，并且与有向线段的起点无关。, a b ababc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量注：任一组平行向量都可以平移到同不断线上注：任一组平行向量都可以平移到同不

9、断线上.OabcABC,aOA bOB cOC 2 ./,/,/)6(;,)5(;)4(;)3(;|,|)2(;)1(AcacbbakmknnmDCABABCDABCDDCABbaba是是其其中中不不正正确确命命题题的的个个数数则则若若则则若若中中，一一定定有有平平行行四四边边形形是是平平行行四四边边形形，则则四四边边形形若若则则若若的的起起点点相相同同，终终点点相相同同两两个个向向量量相相等等，则则它它们们否否正正确确练练习习：判判断断下下列列命命题题是是 3 .B4 .C5 .DB0, 0.,.|,.,/.|,|.0, 0|.|,|. 1 aaGbabaFbabaEbabaDbababaC

10、aaBbabaA则则若若不不是是共共线线向向量量与与则则若若则则若若则则若若或或则则若若则则若若则则若若下下列列说说法法是是否否正正确确的的长长度度与与的的方方向向与与的的单单位位向向量量，则则是是若若000|. 2aaaaaaa 相等相等几几何何图图形形为为这这些些向向量量的的终终点点构构成成的的处处，上上点点移移动动到到直直线线的的所所有有向向量量的的起起点点平平行行把把平平行行于于直直线线Pll. 3l直直线线以以上上都都有有可可能能同同一一条条直直线线上上同同一一个个点点上上同同一一个个圆圆上上量量的的终终点点将将落落在在到到同同一一起起点点后后，这这些些向向把把所所有有相相等等的的向

11、向量量平平移移. 4DCBAB5.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、OABCDEFOACBDO ：解解OBDCEO OCABEDFO ABCDEF6.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、O7 7：如图：如图,EF,EF是是ABCABC的中位线的中位线,AD,AD是是BC BC 边是的边是的中中 线线, ,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为端点的有向线为端

12、点的有向线 段表示的向量中请分别写出段表示的向量中请分别写出1 1与向量与向量CDCD共线的向量有共线的向量有_个个, ,分别是分别是_；2 2与向量与向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_个个, ,分别是分别是_；3 3与向量与向量DEDE相等的向量有相等的向量有_个个, ,分别是分别是_。 ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA8 8：如图：如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，请分别写出：是平行四边形，请分别写出： 1 1与与

13、EDED共线的向量；共线的向量；2 2与与EDED相等的向量；相等的向量；3 3与与FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：解：1DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA2 2FBFB、AFAF、MCMC3BD、DC、EM课本课本 P8687嘉祥一中高一、一科数学组嘉祥一中高一、一科数学组知识回想知识回想 1. 向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量?数量只需大小没有方向数量只需大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示,线段的长度

14、表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。AB2用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如aAB,长度相等长度相等,方向一样的向量相等方向一样的向量相等.(正由于如此,我们研讨的向量是与起点无关的自在向量,即任何向量可以在不改动它的大小和方向的前提下,移到任何位置.) 上海上海香港香港台北台北引入引入1：上海上海香港香港台北台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法那么：向量加法的三角形法那么：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做

15、的的和和作作即即种种求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾连首尾连首尾相接首尾相接尝试练习一：尝试练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD1根据图示填空：根据图示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如图，知向量如图，知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 那么那么 OBab OABaba 三角形法那么三角形法那么作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：思索思索1：如图，当在数轴上两个向量共线时，：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法加法的三角

16、形法 那么能否还适用？如何作出那么能否还适用？如何作出两个向量的和？两个向量的和？abab12| |ababab 若 ， 方向相同，则ABCBCAabab00aaa规 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，则（或） 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合以上探求我们可得结论：| |abab 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F1F1和和F2F2的作用下

17、，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿一样的作用下，沿一样方向伸长了一样长度方向伸长了一样长度EOEO。从力学的观念分析，力。从力学的观念分析，力F F与与F1F1、F2F2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=F1+F2F=F1+F2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法

18、的的种种求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起点一样起点一样向量加法的平行四边形法那么：向量加法的平行四边形法那么：OABCabba 起点一样起点一样向量加法的平行四边形法那么：向量加法的平行四边形法那么： 文字表述为：以同一同点的两个向量为邻边作平行文字表述为：以同一同点的两个向量为邻边作平行四边形，那么以公共起点为起点的对角线所对应向量就四边形，那么以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。是和向量。例例1.如图，知向量如图，知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAO

19、B、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，那么，那么abba BCA平行四边形法那么平行四边形法那么尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)知向量知向量 ，用向量加法的三角形法那么和平行四边形，用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作出法那么作出a b 、ab abbba思索思索2:数的加法满足交换律和结合律，即对恣意数的加法满足交换律和结合律，即对恣意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对恣意向量那么对恣意向量 的加法能否也满足交换律和结合律？的加法能否也满足交换律和结合律？请画图进展探求。请画图进展探求。,a b OABCabba abb

20、a abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮船进展运输，长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮船进展运输，如下图，一艘船从长江南岸如下图，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.1试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度；试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度；2求船实践航行的速度的大小与方向用与江水速度的夹求船实践航行的速度的大小与方向用与江水速度的夹 角来表示。角来表示。2 3ADBC

21、,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮船进展运输，长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮船进展运输，如下图，一艘船从长江南岸如下图，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.1试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度；试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度；2求船实践航行的速度的大小与方向用与江水速度的

22、夹求船实践航行的速度的大小与方向用与江水速度的夹 角来表示。角来表示。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实践航行速度为答：船实践航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC1他还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？他还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？2两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思索：思索：如设如设,x yR xy()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如何定

23、义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回想：回想：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度一样，方向相反长度一样，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a1()a 3设设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab 2()aa()aaa00BACab设设,AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以

24、BCa b ababab他能利用我们学过的向量的加法法那么作出他能利用我们学过的向量的加法法那么作出 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法那么他能直接作出不借助向量的加法法那么他能直接作出 吗？吗？ a b三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba ba1假设从假设从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab2当当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 留意：留意：1起点必需一样。起点必需一样。2指向被减向量的终点。指

25、向被减向量的终点。ba普通地普通地abBabbAO三角形法那三角形法那么么a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 三、几何意义三、几何意义留意：留意：1起点必需一样。起点必需一样。2指向被减向量的终点。指向被减向量的终点。普通地普通地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba ba练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 知向量知向量 ，求作

26、向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 那那么么BAab DCcd 作作留意：留意：起点一样，衔接终点，指向被减向量的终点。起点一样，衔接终点，指向被减向量的终点。a b c d 练习：练习：ab知向量知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b 12ab34abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb他能用他能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab变式一变式一

27、本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 相互垂直？相互垂直？ ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直稳定练习：稳定练习：1 1、在、在 中，中， ， ，那么，那么ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如图，用、如图，用 表示以下向量：表示以下向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1) e g (2) f d (3) d g ab c BACab)+=+=+abba( ab )ca( bc向量的减法向量的减法一、定义利用向量的加法定义。一、定义利用向量的加法定义。二

28、、几何意义起点一样，由减向量的终点二、几何意义起点一样，由减向量的终点 指向被减向量的终点。指向被减向量的终点。向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法：零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 平行向量定义：平行向量定义： 相等向量定义：相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 复习复习(1)两个有共同起点且相等的向量两个有共同起点且相等的向量,其终点能够不同其终点能够不同.(2) (3)假设非零向量假设非零向量 共线共线,那么那么(4)四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,那么必有那么必有 = (5)向量向量 平行平行,那么那么 的方向一

29、样或相反的方向一样或相反ab与ab=ABDCab与判别以下命题能否正确判别以下命题能否正确, ,假设不正确假设不正确, ,请请简述理由简述理由. .ab与(6)共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同。同。 则若若 m m = = n n, ,n n = = k k, ,m m = = k k; ;CAB1 1、位移、位移ABBCAC+= OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间它们之间有什么关有什么关系系2 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F数的加法启发我们数的加法启发我们, ,从运算的角度看从运

30、算的角度看,AC,AC可以以为是可以以为是ABAB与与BCBC的的和和,F,F可以以为是可以以为是F1F1与与F2F2的和的和, ,即位移即位移, ,力的合成可看作向量的加力的合成可看作向量的加法法. .,abab +已知向量 求作向量向量的加法ab作法1在平面内任取一点O OAaAB =(2)作 ,bO Bab 作=+(3 )AB这种作法叫做向量加法的三角形法那么,abab +已知向量 求作向量还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的三角形法那么向量加法的三角形法那么位移的合成可以看位移的合成可以看作向量加法三角形作向量加法三角形法那么的物理模型法那么的物理模型oabABC作法1在

31、平面内任取一点OOAa OBb =(2)作 ,O Cab作=+(3 ) 还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的平行四边形法那么向量加法的平行四边形法那么这种作法叫做向量加法的平行四边形法那么力的合成可以看作向力的合成可以看作向量加法的平行四边形量加法的平行四边形法那么的物理模型法那么的物理模型o知向量a,b,分别用向量加法的三角形法那么与向量加法的四边形法那么作出a+babACa b= + AC a b= + ABC(1) 同向ab(2)反向ab00aaa+=+=规定：ABC,a bab 当线时来向 量是 共向 量,又 如 何作 出?判别判别 的大小的大小|abab+与1 1、不共

32、线、不共线aboABb+aba |abab+ab+ababab+| |abab+=+2 2、 共线共线(1)同向(2)反向| |abab+判别判别 的大小的大小|abab+与BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b()()abbaabcabc+=+=+ 数的加法满足交换律与结合律数的加法满足交换律与结合律,即对恣即对恣意意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 恣意向量恣意向量a,b的加法能否也满足交换律的加法能否也满足交换律与结合律与结合律?能否成立？能否成立？根据图示填空根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDA CB DC

33、BAEgefdcab根据图示填空根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方, ,经常经过轮渡进展运输经常经过轮渡进展运输. .如下图如下图, ,一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发, ,以以5km/h5km/h的速度向垂直于的速度向垂直于对岸的方向行驶对岸的方向行驶, ,同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实践航行的速度( (保保管两个有效数字管两个

34、有效数字) )解解:(1)CAD船速B 水速船实践航行速度(2)(2)求船实践航行的速度的大小与方向求船实践航行的速度的大小与方向( (用与江水速度间的夹角用与江水速度间的夹角表示表示, ,准确到度准确到度).).在在RtABC中中,CADB=2,=5ABBC 22ACABBC 2225 = 295.429 tan,2CAB因为70CAB船实践航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70()()abbaabcabc+=+=+小结小结1.向量加法的三角形法那么向量加法的三角形法那么(要点：两向量首尾衔接要点：两向量首尾衔接)2.向量加法的平行四边形法那么向量加法的平行四边形法那么

35、(要点：两向量起点重合组成平行四边形两要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边邻边)3.向量加法满足交换律及结合律向量加法满足交换律及结合律学习目的学习目的:1、向量的加法运算，及其几何意义、向量的加法运算，及其几何意义 2、向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量、向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量 的和向量的和向量 ABC1、位移、位移ABBCAC+= 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以以为是可以以为是AB与与BC的和，的和，F可以以为是可以以为是F1与与F2的的和

36、，即位移、力的合成可以看作向量的加法。和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。求两个向量和的运算，叫做向量的加法. + 已知向量 a , b, 求作向量abab作法1在平面内任取一点OoAB= (2)作 OAa ,b=+作(3 ) O BabAB+ 已知向量 a , b, 求作向量ab还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连aboABC作法1在平面内任取一点OOB= (2)作 OAa ,b=+(3 ) O Cab作起点一样，连对角起点一样，连对角ACab=+ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababa+=+=a00a规定：ABC 当 向 量是 共 线 向 量

37、 时又 如 何作 出 来 ?a a , ,b b, ,a a + + b baboABb+aba |abab+ 当 向 量不 是 共 线 向 量 时又 如 何作 出 来 ?a a , ,b b, ,a a + + b b|abab一般地，有+数的加法满足交换律与结合律，即对恣数的加法满足交换律与结合律，即对恣意意a，bR，有，有a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+a) 恣意向量恣意向量 的加法能否也满的加法能否也满足交换律与结合律？足交换律与结合律？ 、a b)+=+=+abba(ab)ca (bc练习：练习：1.AB BC AC 2.AC CA 04.0AB CD GA EF 证明：3

38、.AB BC CA 0方法与技巧：方法与技巧：5化简以下各式：化简以下各式：1.PB OP OB 2.()AB MBBO OM 6.ABCDBC 对于任一四边形，下列式子中不等于的是（ ）. A BAADDC . B BDDAAC . C ABBDDC . D DCBAAD D.,1baba求作向量已知向量、如图例ab|;| ,_) 1 (baba时当|:|,baba有一般地|;| ,_)2(baba时当|).|( | ,_)3(abbaba或时当./2,/5,2hkmhkm江水速度为向东的速度行驶以点出发、一艘船从长江南岸某例;,) 1 (实际航行的速度求小船向行驶若小船向垂直对岸的方.,)

39、2(小船实际航行的速度求的方向行驶若小船实际向垂直对岸最小值各是什么最小值各是什么的最大值和的最大值和则则已知已知|, 6| , 8|baba )+=+=+abba(ab)ca(bc1、以下说法正确的选项是A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.DDCAB BA aabbAB CD C练习练习:2:2CDBDACAB化简) 1 (:0CBBDCDCDCD 解 原式COBOOCOA化简)2(:()()()0OABOOCCOOAOBBA 解 原式3、判别以下命题能否正确，假设不正确，阐明理由

40、、判别以下命题能否正确，假设不正确，阐明理由01 BAAB、OBOAAB、23、相反向量就是方向相反的量、相反向量就是方向相反的量4、假设、假设 ，那么，那么A、B、C三点是一个三角形的定点三点是一个三角形的定点0CABCABaa 05、 6、两个向量是互为相反向量，那么两个向量共、两个向量是互为相反向量，那么两个向量共线线 例例3:化简化简(1);(2);(3). ABCBABBCDADCMNMPPQ解解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;(2)AB+BC+DA-DC=AB+BC+CD+DA=AB+BC+DA+CD=.0(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ)=MN-M

41、Q=MN+QM=QM+MN=QN.练习练习 1化简：化简：)()(BDACCDAB0)()(DAADCADCBDABBDCADCABBDACCDAB原式练习._BC, 5AC, 8AB的取值范围是则若13BC3ABACABACABAC,ABACBC解：,120| | 3|oABa ADbDABababab 如图已知向量练习3:，且，求和120oabADBCO|ba|DB|ba|AC|baDBbaAC3|AB|AD|ABCDADAB，故，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于，为邻边作平行四边形、解：以120oabADBCO33 3| |sin60322oAODODAD 由于菱形对角线互相垂直平

42、分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，则所以，所以因为1.1.向量加法三角形法那么向量加法三角形法那么aAbBCabaaAbBbOCab特点：首尾相接特点：首尾相接特点特点: :共起点共起点b a b Ba ABAab O特点：共起点，连终点，方向指向被减向量特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.2.向量加法平行四边形向量加法平行四边形法那么法那么3.3.向量减法三角形法那么向量减法三角形法那么复习回想复习回想: :实践背景实践背景33 ,aa 一一物物体体作作匀匀速速直直线线运运动动，一一秒秒钟钟的的位位移移对对应应向向量

43、量那那么么在在同同方方向向上上 秒秒的的位位移移对对应应的的向向量量用用表表示示，试试画画出出该该向向量量, ,看看看看它它们们有有何何关关系系？a3a 思索：知非零向量思索：知非零向量 , 作出作出 和和 , 他能阐明它们的几何意义吗？他能阐明它们的几何意义吗？ aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaa PNPQQMMNaaa （）（）（）3a 记作 -3a 记作 普通地，我们规定实数普通地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个向量，这种运算的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作叫做向量的数乘，记作 ，aa|;aa1 12 2当当 时，时， 的方

44、向与的方向与 的方向一样；的方向一样； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：a3(2 )a3(2 )a6a=abab22ab2a2b2()22abab3 26222 ,()()(), ,(),aaaa babab ( (1 1) )根根据据定定义义 求求作作向向量量和和为为非非零零向向量量并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？( (2 2) )已已知知向向量量求求作作向向量量和和并并进进行行比比较较，看看看看它它们们有有何何关关系系？探探求

45、求设设 为实数，那么为实数，那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特别的，我们有特别的，我们有()()(),().aaaabab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算算.对于恣意向量对于恣意向量 ，以及恣意实数，以及恣意实数 ，恒，恒有有ab ，1212().abab 12, 1()()aa （）3()abab（）2 ()aaa（）2、实数与向量积的运算律分配律分配律分配律分配律例例1.计算：计算：34322332(1)(2)(3)();()();()().aababaabcabc 13 412( )()aa 原

46、原式式233225( )ababab 原原式式解解:二.例题讲解3233252( )abcabcabc 原原式式2 263 ) 3( 342 );3()2(2 ) 4()0 .abcabcxaxaxa bx 计算:(1) （2）已知求141269126abcabc解：（）原式13a2 33244440 xaxaxab（ ）原等式可化为34xab 340 xab整理得练习练习: :思索思索:0 ().a abba 向向量量与与 共共线线，当当且且仅仅当当有有唯唯一一一一个个实实数数 ，使使向量共线定理向量共线定理(重点重点)abba 问问题题二二：如如果果向向量量 与与 共共线线那那么么，？ab

47、baab 对对于于向向量量 与与 ，以以及及实实数数问问题题一一：如如果果那那么么，向向量量 与与 是是否否共共线线？(0)a 例例2.如图，知恣意两个向量如图，知恣意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 他能判别他能判别A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO解解: 2 -() 3 -()2ABOBOAababbACOCOAababb 2ACAB , , ,A B C所以三点共线练习练习:如图，知如图，知AD=3AB，DE=3BC，试判别试判别AC与与AE能否共线。能否共线。A AD DE EC CB

48、 BAEADDE 解：解：333()3ABBCABBCAC .ACAE 与共线ABCMabD, ,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例3.如图,的两条对角线相交与点且你能用表示和111222MCACab 1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab :. ABCDACABADabDBABADab 解 在中() 如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量CD11221122 BCBABCBAC BCBA BCBA练习练习:ADCBA课堂小结课堂小结:(0)a 3334220 ( ) A.ba(a),a,

49、b B.mab,nab,m/n C.a,b ab. D.abcabc1 1. .下下列列各各式式叙叙述述不不正正确确的的是是为为非非零零向向量量 则则共共线线则则若若共共线线, ,则则存存在在唯唯一一的的实实数数 使使得得, ,则则练习练习:C1321123333 ABCDABD=2DB, CD=CA+ C ,( ) A. B. C.- D.-AB2 2. .在在三三角角形形中中, ,已已知知 是是边边上上一一点点, ,若若则则A33 ., , , ,( ). . . .oABCDA B Ca b cODAabcB abcC abcD abc已已知知一一点点 到到平平行行四四边边形形的的 个个

50、顶顶点点的的向向量量分分别别为为则则向向量量等等于于B4. 知四边形知四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD和和BC的中点，的中点， 求证：求证：12EF(ABDC) 1212124 .e eeeekek 6 6. .设设 ，是是两两个个不不共共线线的的向向量量，而而和和2 2共共线线，求求实实数数 的的值值12124 eeeke 解解：向向量量和和2 2共共线线12124 ,()ekeee 存存在在实实数数使使得得2 28k 24k 由由向向量量相相等等的的条条件件, ,得得0 ()a a 5 5. .求求已已知知向向量量的的 单单位位向向量量. .1321123333ABCDABD=

51、2DB, CD=CA+ C ,( ) A. B. C.- D.-AB 7 7. .在在三三角角形形中中, ,已已知知 是是边边上上一一点点, ,若若则则名师一号名师一号P 79P 79练习练习:AP91 A组组 9 11作业作业:思索题:1212124.e eeeekek 2.设 ，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数 的值12124eeeke 解：向量和2共线1212,(4)ekeee 存在实数使得28k 24k 由向量相等的条件,得(0)a a 1.求已知向量 的单位向量.例例1计算：计算：34a132ababa2 2332abcabc3 312a5b52abc 例：知向量例：知向量AB

52、AD3BCDE3试判别试判别，AEAC与能否共线。能否共线。ABCDEABDECBCAB 33 BCAB 3AC 3 与与 共线共线 AE ACDEADAE 解：解：1.,R,()(1) 0,0,;(5)0,0,;.2.3 .4 .5aaaaaaaaaaaaaaaABCD 已知则在以下各命题中正确的命题共有与 方向一定相反与 方向一定相同与 是共线向量与方向一定相同与方向一定相反如图，在恣意四边形如图，在恣意四边形ABCDABCD中，中，E E为为ADAD的中的中点，点，F F为为BCBC的中点，那么的中点，那么2ABDCEF 2.3.1平面向量根本定理平面向量根本定理2.3.2平面向量正交分

53、解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示普通地普通地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : aa(1)(2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向一样的方向一样; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向一样的方向一样;(3)当当 时时,或或 时时,|;|aa000a0aaaa0a一、数乘的定义：一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:二、数乘的运算律：二、数乘的运算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)结合律结合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :aa)()(aaa)(baba )(1. 1. 定理定理: :

54、向量向量 与非零向量与非零向量 共线的充要条件是有共线的充要条件是有且只需一个实数且只需一个实数 , ,使得使得. . abab三、向量共线的充要条件：三、向量共线的充要条件： 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题直线平行问题. .但要留意的是但要留意的是: :向量平行和直线平行在重合概念向量平行和直线平行在重合概念上有区别上有区别. .普通说两直线平行不包含两直线重合普通说两直线平行不包含两直线重合, ,而两向量平行而两向量平行那么含两向量重合那么含两向量重合. . 设设 、 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个

55、不共1e2e线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，1e2e我们研讨我们研讨 a 与与 、 之间的关系。之间的关系。1ea2e研讨研讨OC = OM + ON =OC = OM + ON =21OA + OBOA + OB11e2e2即即 a = + . a = + .1ea1eA A2eO OaC CB B2eN NM M M MN N平面向量根本定理 一向量 a 有且只需一对实数 、 使21共线向量，那么对于这一平面内的任 假设 、 是同一平面内的两个不1e2e11ea = + 2e2示这一平面内一切向量的一组基底。我们把不共线的向量 、 叫做表1e2e1一

56、组平面向量的基底有多少对？有无数对思索E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思索 (2)假设基底选取不同，那么表示同一 向量的实数 、 能否一样？ 21可以不同，也可以一样O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE (1)(1)不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内一切向量叫做这一平面内一切向量 的一组基底的一组基底; ; 12,e e 平面向量根本定

57、理平面向量根本定理:(4)基底给定时基底给定时,分解方式独一分解方式独一.(2)基底不独一基底不独一;12e ,e0 假设假设 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只需一对实数有且只需一对实数 , 使使1 12 2aee12, 12,e e a(3) 任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向都可以沿两个不共线的方向 的的 方向分解成两个向量方向分解成两个向量 和的方式；和的方式；a12,e e 1 12 2,ee阐明：阐明：知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 1e2e1e2e1e2e15 .2e23eO

58、ABC例例2：凸四边形：凸四边形ABCD的边的边AD,BC的中点分别为的中点分别为E,F, 用用 表示表示1EF(ABDC)2 DABCEFCDAB,EF例例3.3.如图如图, , 不共线不共线, , 用用 表示表示OBOA,OBOA,OP)(RtABtAPOPBA(1)OPt OAtOB 变式：变式： 不共线不共线, ,点点P P在在O O、A A、B B所在的平面内所在的平面内, ,且且 求证：求证：A A、B B、P P三点共线三点共线,OA OB (1)()OPt OAtOB tR 311:,.,10khOBkOQOAhOPQPOBOAGABCG求证已知点分别交于点的直线与过点的重心为

59、、设例 例4、 如图，知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM 21=(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =21211e设AB = ,AD = ,那么有：1e2e41= - .2e1e1e2e1e21= - + = 2141= - - 2e1e1e2e211e- -+ 评析评析 可以在详细问题中适当地选取基底，使其他向量可以用基底来表示，再利用有关知识处理问题。向量的夹角向量的夹角)1800( 两

60、个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 Bbb AOBab那么那么 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab留意留意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必需是两向量必需是同起点的同起点的 与与 同向同向abOABaba向量的正交分解向量的正交分解121 12212,e eeee e 一个平面向量用一组基底表示成 的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，假设选取相互垂直的向量作在平面上，假设选取相互垂直的向量作为基底时，会为我们研