函数连续性定义和间断点

1、一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 二、二、 函数的间断点函数的间断点 1x11211yxx1112xy y111xxyxx，yx11211x1121112xxy一、一、 函数在一点的连续性函数在一点的连续性可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;1.定义定义:)(xfy 在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续

2、在xxf设函数设函数且且0 x)()(lim00 xfxfxx注意注意:)(xf在在点连续点连续, 则极限运算和函数运则极限运算和函数运算算 可以交换顺序。即：可以交换顺序。即：(1)若若0 xf)lim(0 xfxx)(lim0 xfxx.)(0连续在xxf(2)函数函数存在存在例例1:讨论函数讨论函数 0001sin)(xxxxxf在点在点0 x处的连续性处的连续性 xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.函数函数 在在 点连续的等价定义点连续的等价定义)(xf0 x定义：设函数定义：设函数 自变量由自变量由 变到变到 , ,则则)(xf0 x

3、x0 xxx叫做叫做自变量的增量自变量的增量；相应的函数值由；相应的函数值由 变到变到 , ,)(0 xf)(xf则则 叫做叫做函数值函数值 的增量的增量y)()(0 xfxfy（改变量）（改变量）)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题: :0)()(lim:000 xfxxfx即)()()(000 xfxfxf右连续左连续例例2. 2. 证明函数证明函数xysin在在0 x点连续点连续 . .定义定义1 1：若：若)(xf在某区间上每一点都

4、连续在某区间上每一点都连续 , , 则称它在则称它在该区间上连续该区间上连续 , , 或称它为该或称它为该区间上的连续函数区间上的连续函数. .同理可证：函数同理可证：函数xycos在在0 x点连续点连续 . .3. 3. 区间上的连续函数区间上的连续函数 . .,)(,),(2上连续在闭区间则称函数处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续：如果函数在开区间定义baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .由例由例2 2知函数知函数xysin及及 在其定义域区间在其定义域区间),(内是连续的内是连续的xycos二、二、 函数的间断点函数

5、的间断点若函数0 x在)(xf点不连续，则称 在点 间断，0 x称为间断点间断点 . 0 x)(xf在在(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :则下列情形之一函数 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且在无定义 ;)(xf0 x1.1.可去间断点可去间断点，则称，则称 为为 的可去间断点的可去间断点但但如果如果 ，而，而 在在 点无定义，或者有定义点无定义，或者有定义Axfxx)(lim0f0 xAxf)(00 xf1x1121例例2 2：设：设11)(

6、2xxxf, ,讨论在讨论在x=1x=1的连续性的连续性1)0(,f.0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意：注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例3 3：设：设010)(2xxxxf, ,讨论在讨论在x=0 x=0处的连续性处的连续性0lim)(lim200 xxfxx解解: :)0()(lim0fxfx2.2.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4：.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( f

7、f.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy则称则称 为函数为函数 的跳跃间断点的跳跃间断点如果如果 在在 点存在左、右极限，但点存在左、右极限，但)(lim)(lim00 xfxfxxxxf0 x0 xf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点：特点：.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x3.3.第二类间断点第二类间断点f则称则称 为为 的第二类间断点的第二类间断点函数函数 在在 点的左、右极限至少有一个不存在，点的左、右极限至少有一个不存在，0 x0 xf例例5 5：处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数t

8、gxxf)(2xxytan2xyo例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间三、小结三、小结1.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;

9、 ;3.3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别; ;2.2.区间上的连续函数区间上的连续函数; ;第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点间断点间断点( (见下图见下图) )可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有一个不存在一个不存在第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x四、连续函数的性质与运算性四、连续函数的性质与运算性性质性质1:1:（局部有界性）（局部有界性）若函数若函数 在在 点连

10、续点连续)(xfy 0 x则存在则存在 的一个邻域的一个邻域 及定值及定值 ，当，当0 x),(0 xUM),(0 xUx时，有时，有 。Mxf)(当当 时，时，性质性质2:2:（局部保号性）（局部保号性）若函数若函数 在在 点连续点连续)(xfy 0 x，则存在，则存在 的一个邻域的一个邻域 ，0 x),(0 xU),(0 xUx有有 )0)(0)(xfxf或)0)(0)(00 xfxf或.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf性质性质3 3：（连续函数的四则运算法则）：（连续函数的四则运算法则）例如：例如

11、：,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx例例1 1：证明函数：证明函数 在在 内是连续的。内是连续的。nxy ),(）（即连续。在点则复合函数连续在点函数）（即点连续，在设函数).(lim)()(lim)(,)(),)(lim()(000000000 xfufxfxxfyuufyuxxxxuxxxxxx性质性质4 4：（复合函数的连续性）：（复合函数的连续性）例例2 2：讨论函数：讨论函数 的连续性。的连续性。21cosxy 在在 上连续，上连续，uycos),(在在 上各自连续连续，上各自连续连续，21xu ),

12、 0()0 ,(解：函数解：函数 可以看做是由可以看做是由 ，21cosxy uycos21xu 复合而成的，复合而成的，21cosxy 在在 上各自连续。上各自连续。), 0()0 ,(所以所以性质性质5 5：（反函数的连续性）：（反函数的连续性） 连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续且严格单调递增（递减）的函数且严格单调递增（递减）的函数. .五、初等函数的连续性五、初等函数的连续性定理定理2 2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .例如例如, ,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy

13、.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy定理定理1 1：基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf1 1、.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0

14、(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf2 2、.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的

15、区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续 )(xgf在在)0 ,(), 0( 上上处处处处连连续续 )(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2

16、2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2

17、、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续. .一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22,0,0,不存在不存在.

18、.二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .练习题答案练习题答案第一类间断点第二类间断点.)(1 . 1 0处无定义在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0 xx)(xfy x注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(

19、lim)(lim.)(1.1 000存在但处有或无定义在：情形xfxfxxfxxxxA.)( .)(2 . 1 00的值太高了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxA0 xxx.)( .)(2 . 1 00的值太低了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存

20、在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点.)( ,)()(lim 000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx 这点放哪儿能接上呢？xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间

21、断点称为无穷间断点0 xx xx. )(4 0无限震荡（无）定义，处有在：情形xxf：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！xy1sinxy11这种间断点称为震荡间断点。有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例3. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a21cos2sin2xx )(lnlim)0(20

22、xbfxblnbaln122e1当0 x时，xxsin2较x2sin2(A)等价无穷小量 (B) 同阶无穷小量 (C) 低阶无穷小量 (D) 高阶无穷小量是 （ ）课堂测验课堂测验2下列各式中正确的是 （ ） 1)11 (lim0 xxxB exxx)11 (lim0 C exxx)11 (lim D exxx)11 (limA3无穷小量是（ ）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零4. 已知已知2)1 (lim10 xxax，则，则a=_。20sin2(1) lim3xxx5. 计算计算22121(2) lim1xxxx一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_