几个常用函数的导数

1、 几个常用几个常用函数的导数函数的导数教学目标教学目标1、让学生体验求导数的极限方法；、让学生体验求导数的极限方法；2、熟记并掌握五个常见函数的求导公式，并理解公式的证明过程；、熟记并掌握五个常见函数的求导公式，并理解公式的证明过程；3、能够灵活应用这八个导数公式解答相关的问题；、能够灵活应用这八个导数公式解答相关的问题；重点：重点：导数公式的推导和灵活运用；导数公式的推导和灵活运用；难点：难点：对导数公式的理解和把握；对导数公式的理解和把握；一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程

2、中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换成换成x0即为求函数在即为求函数

3、在点点x0处的处的 导数导数. 3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切

4、线的斜率。的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000( )( )().y f xf x x x函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处求导数反映了函数在点处求导数反映了函数在点(x(x0,0,y y0 0 ) )附近附近的变化规律的变化规律; ;1) |F1) |F(x)|(x)|越大越大, ,则则f(x)f(x)在在(x(x0 0 ,y ,y0 0 ) )附近就越附近就越“陡陡”2) |F2) |F(x)|(x)|越小越小, ,则则f(x)f(x)在在(x(x0 0 ,y ,y0 0 ) )附近就越附近就越“平平缓缓

5、”二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0 ()CC 公式一：为常数:( ),yf xC解1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.()( )0,yf xxf xCC 0,yx0( )lim0.xyf xCx 归纳总结：归纳总结：常函数常函数y=f =c的导数等于的导数等于（x）0它表示函数它表示函数y=c图象上图象上各点切线的各点切线的斜率都是斜率都是0；若若y=c表示路程关于时间的函数，表示路程关于时间的函数，则则y 可理解为：可理解为：=0物体的瞬时速度始终为物体的瞬时速度始终为0即物体始终

6、处于即物体始终处于静止状态静止状态事实上，各点切线就是事实上，各点切线就是原来的直线。原来的直线。二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数1x 公式二：:( ),yf xx解2) 函数函数y=f(x)=x的导数的导数.()( )(),yf xxf xxxxx 1,yx0( )lim1.xyf xxx 归纳总结：归纳总结：函数函数y=f =x的导数等于的导数等于（x）它表示函数它表示函数y=x图象上图象上各点切线的各点切线的斜率都是斜率都是1；若若y=x表示路程关于时间的函数，表示路程关于时间的函数，则则y 可理解为：可理解为：=1物体的瞬时速度始终为物体的瞬时速度始终为1即物体始终处于即物

7、体始终处于1匀速直线运动状态匀速直线运动状态思考探究思考探究：课本课本P13探究探究一次函数一次函数y=f(x)=kx（k0）的导数）的导数.kkx二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数22xx公式三：（ ）2:( ),yf xx解3) 函数函数y=f(x)=x2的导数的导数.222()( )()2,yf xxf xxxxxxx 222,yxxxxxxx 220002( )()limlimlim(2)2 .xxxyxxxf xxxxxxx 归纳总结：归纳总结：函数函数y=f =x2的导数等于的导数等于（x）2x斜率为斜率为2x处的切线的处的切线的它表示函数它表示函数y=x2图象上点图象上

8、点P （x， y）当当x变化时，切线的斜率变化时，切线的斜率也在变化也在变化若若x0，随着，随着x的增加的增加若若x0，随着，随着x的增加的增加y=x2减小得减小得y=x2增加得增加得越来越慢越来越慢越来越快越来越快若若y=x2表示路程关于时间的函数，表示路程关于时间的函数，则则y 可理解为：可理解为：=2x物体作变速运动，物体作变速运动，它在时刻它在时刻 x 的瞬时速度为的瞬时速度为2x二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数211xx 公式三：（ ）1:( ),yf xx解4) 函数函数y=f(x)=1/x的导数的导数.11()( )()xyf xxf xxxxxx x 1,()yxx

9、x x200111( )( )limlim.()xxyf xxxxx xx 21( ),2( ),13( ),yf xxyf xxyf xx、1y 21 yx 2yx通过以上我们能得到什么结论通过以上我们能得到什么结论? ? 4f(x)x,、y=12yx1(x )x(为常数）3.3.幂函数幂函数: :例：例：求下列函数的导数求下列函数的导数1(x )x(为常数） 幂函数幂函数: :(sin )cos ;xx xxsin)(cos4 4、三角函数：、三角函数：5、指数函数：、指数函数：) 10(ln)(aaaaaxx且特别：特别：xxee )(6、对数函数：、对数函数：1(log)(01)lna

10、xaaxa且特别：特别：xx1)(ln注意注意: :关于关于 是两个不同是两个不同的函数的函数, ,例如例如: :axxa 和 )3)(1 (x )(2(3x3 ln3x23x可以直接使用的基本初等函数的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式

11、若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则1 1、求下列函数的导数、求下列函数的导数xyytyx2 . 0log)3(2)2(sin)1( (7)2(8)xyye 2( ),(1)4,.af xxfa 、已知且求实数练习练习: :(6)lnyx341 (9) yxxvucos)4(xy3)5(填空填空(1) f(x)=80，则，则f (x)=_;_;)2(32的导数是的导数是xy _)1(_;)(,)()3(等于等于等于等于则则fxfexfx 03132 xxee_)1()4( xogaaxln10001205%( )(1 5%) .0110.0tpp tpptp例：假设

12、某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）0( )1.05ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0( )1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1)求

13、过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(1),(2)：2( 1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11|2,xPy 过 点的切线的斜率k22|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy 过 点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线是曲线y=x2上的两点，上的两点，(1

14、)求过点求过点P的曲线的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。(2)求过点求过点Q的曲线的曲线y=x2的切线方程的切线方程。(3)求与直线求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。三三.典例分析典例分析题型：求曲线的切线方程题型：求曲线的切线方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直线的斜率k11,440214yxxy 与PQ平行的切线方程:即：。00|21,x xyx切线的斜率k01,2x1 1( , )2 4M切点00,),xy解：设切点(01,2kyx又切线0001(),2yyx xx切线方程：74切线过(4, ),20014yx00071(4)42yxx，200017224yxx0017xx解得:或149),44切点为(1， )或(7,11491(1)(4)4242yxyx切