2.1-积分变换第讲ppt课件

1、积分变换积分变换第第4讲讲本文件可从网址math.vip.sina上下载卷积定理与相关函数卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分12( )()dff t称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)1212( )( )( )()df tf tff t卷积的图示f1(t)f2(t)Of2(-t)OOtf2(t-t)在积分中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 那么12( )()dff t1212122121( )( )( )()d()( )d( )()d( )( )f tf tff tf tu f uuf u f tuuf tf t 即卷积满足交

2、换律.下证卷积满足结合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)为此, 令12122323( )( )( )( )()d( )( )( )()( )dg tf tf tff ts tf tf tf tv f vv那么12333123( )*( )*( )( )*( )( )()d( )()d()df tf tf tg tf tg u f tuuff uf tuu交换二重积分的次序, 得令v=t-u, 则u=t-v, 123123123( )( )( )( )()d()d( )()()ddf tf tf tff uf tuuff uf tuu)()()()()

3、(d)()(dd)()()(32111321tftftftstftsfvvfvtff上式例1 证明 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证 根据卷积的定义).()()()(d)()(d)()(d)()()()()()(31213121321321tftftftftfftfftftfftftftf任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为( )( )() ( )d( )f tttff t因而, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则

4、. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称群.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称环.如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作域了.例2 假设120000( )( )10e0tttf tf ttt求f1(t)*f2(t)f1(t)1OOf2(t-t)1t由卷积的定义有1212()00( )( )( )()d1 edee de (

5、e1)1etttttttf tf tff t tO1-e-t1卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w)那么 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)以及12121( )( )( )( )2f tf tFF证 按傅氏变换的定义, 有j1212j12jj()12jj()1212( )( )( )( )ed( )()ed( )e()ed d( )e()ed( )( )ttttf tf tf tf ttff tdtff ttff tt dFF F相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分12( )()d

6、f t f tt称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即121212212112( )( )()d()( )d( ),( )()( )dRf t f ttf tf ttRRf tf tt而积分记为即当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分( ) ()df t f tt称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即( )( ) ()dRf t f tt根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(-t)=R(t)事实上,()( ) ()dRf t f tt()() ( )d( )Rf uf uuR令t=u+t, 可得关于互相关函数, 有如下的性质:R21

7、(t)=R12(-t)前面已经证明过12121( )( )d( )( )2f t f ttFFdjj2jjj()( )e,1( ) ()d( ) ( )ed211( ) ed( )ed221( )( )ed2f tFf t f ttFFFSRS则有即令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 那么假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 那么f2(t+t)F2(w)ejwt可得1212j12j12( )( )()d1( )( )ed21( )ed2Rf t f ttFFS即R12(t)S12(w),

8、 且易证S21(w)= S12(w)例3 求指数衰减函数00( )(0)e0ttf tt的自相关函数和能量谱密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1当t0时, 积分区间为0,+)()02( )( ) ()deedeee220tttRf t f ttt当t0时, 积分区间为-t, +)2ee2ee2edeed)()()(22)(ttttttftfR因而, 当t时, 自相关函数可合写为| |1( )e2R j| |j2201( )( )edeed211ecosdSR 并求得能量谱密度为例4 利用傅氏变换的性质, 求d(t-t0),000jj0j022e,( )( )1,()e12(

9、),e2()1( )( )jd11j( )( )( )djj1( )j( )jttttu ttttu ttu ttu t 以及的傅氏变换因由位移性质得由得由例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t)()(2j)()j(1)()j(121)(2ee)()()(j1)(002200000jj00Ftutftutt例6 若F(w)=F f(t), 证明( )( )d(0) ( )j:( )d( ) ()d( )( )1( )( ),( )( )j1( )( )( )( )j1( )(0) ( )jtttFf ttFf ttfu tf tu tu tf tFu tf tFFF 证F奈奎

10、斯特采样率假设时间函数f(t)在区间-a, a之外全为零, 并假设f(t)F(w)tOf(t)aaOF(w)aatttfFde)()(j现将f(t)进行周期化, 产生fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示.tOfT(t)aa)(21de)(212,e)(jjnaatnnntnTFattfacanTnctfnnnnnTntnTFaFctfn)()(21)(e)(jtOfT(t)aaOFT(w)12.根据对称原理有FT(t)2pfT(-w)OtFT(t)i1 t2.OfT(-w)aa假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在-2pB,2pB之外为0.B称为f(t)的带宽.OF(w)2pB2BOtf(t)2j2( )( )edBtBf tF现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)jj( )( )()( ) (), ()(),1()1( )( )12( )() ()nnnnnnnnn tnnnn tnng tf tttf ttttn ttttttetg tf tetGFntt 是周期为的周期函数 可展开为傅氏级数则如下图:Oti1 t2.OG(w)/