一阶电路的冲激响应

1、一阶电路的冲激响应一、 单位冲激函数 单位冲激函数也是一种奇异函数，通常用符号(t)表示，因此单位冲激函数又被称为函数。单位冲激函数的定义为     所以单位冲激函数是宽度趋于0、高度趋于、面积为1的特殊函数。单位冲激函数可以看作是单位脉冲的一种极限。如图1是一个宽度为、高度为 的矩形脉冲，其面积     当宽度不断减小时，矩形脉冲的高度就不断增大，当脉冲宽度趋近于0时，其高度趋近于，但其面积不变，仍然为1，该极限情况即为单位冲激函数。由于      故     单

2、位冲激函数与t轴所包围的面积的大小称为该函数的强度，所以单位冲激函数的强度为1。单位冲激函数的波形如图2所示，用带箭头的线段表示，箭头旁边标注的是它的强度。如果冲激函数为Kd(t)，则该冲激函数的强度为K，如图3所示。图4所示波形则是一个延时的单位冲激函数，即  需要说明的是单位冲激函数的积分上、下限也可以不是正、负无穷，只要积分的上、下限包围了函数存在的那一点，积分就等于1，故有下面两式成立 二、 单位冲激函数的主要特性 当一个连续函数f（t）和单位冲激函数相乘时，由于t0时d(t)0，所以有 f(t) d(t)= f(0) d(t) 故 上式被称为筛选特性或采样特性。由此可推论得

3、 式（1）和式（2）的积分限可缩小，且有 三、单位冲激函数与阶跃函数的关系 四、电路中的冲激函数  图5所示电路，电容上原无储能即uc(0-)=0，当电源电压加到电容元件上后，不难得电容电压为uc(t)=e(t)，并且可知uc(0+)=1，即电容电压发生了跳变，此时电容不再遵守uc(0-)= uc(0+)的换路定则。而电容电流 即电容电流为冲激函数。换句话说，电容电压的跳变是冲激电流作用的结果。同理，当冲激电压作用于电感元件时，如图6所示电路，电感电流同样会发生跳变，且 当电感元件的初始储能为零，即iL(0-)=0时， 因此单位冲激电压使电感电流从0跳变到了1/L。 五、单位冲激响应

4、 单位冲激响应是零状态网络对单位冲激信号的响应。单位冲激响应通常用h(t)表示。下面介绍两种求解单位冲激响应的方法。 1、  零输入响应法 由于单位冲激函数只存在于t=0的一瞬间，在t¹ 0时其数值为零，所以当单位冲激激励作用于电路时，意味着单位冲激激励源在t=0的一瞬间将能量储存到了动态元件上，之后的响应便是由动态元件上的储能来提供的，因此其响应形式与零输入响应相同，故被称为零输入响应法。用零输入响应法求解单位冲激响应h(t)的步骤为   根据电路方程，求得uc(0+)或iL(0+)。   求解由uc(0+)或iL(0+)产生的零输入响应。  

5、;下面以图7（a）所示电路为例说明该方法。假设uc(0-)=0，以电容电压uc为变量，电路的KVL方程为 对该方程作0到0的积分，有   其中 部分，只有当uc为冲激函数时其积分才有值。为此假设uc为冲激函数，那么 就是冲激函数的一次微分，将它们代入到电路的KVL方程中，显然方程不成立，也就是说以上假设是错误的，故电容电压只可能为有限值，因此积分 为零。从而得 因此电容电压的单位冲激响应为 而电容电流的单位冲激响应为 电容电压和电容电流的单位冲激响应波形如图7（b）和（c）所示。 再如图8所示RL电路，其KCL方程为 对该方程作0到0+的积分，有 由于电感电流不可能为冲激函数，所以

6、，故上式积分得 因此电感电流的单位冲激响应为                                                 

7、;    电感电压的单位冲激响应为 2、利用单位阶跃响应求单位冲激响应 当单位阶跃信号作用于电路时，其响应为单位阶跃响应，且满足式子 对于同一个电路，如将激励源换成单位冲激信号，则对应的响应即为单位冲激响应，且有   对式（3）两边作微分运算，不难得出   比较（3）、（4）两式可得 因此单位阶跃响应的微分就是该电路的单位冲激响应。 例1115 电路如图，且知iL(0-)=0，求电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。 解：下面分别用两种方法求解电路。 零输入响应法 建立关于电感电流的微分方程，有 对方程两边积分求电感电流的初始值 由于电感电流不可能为冲激函数，所以有 iL(0+)iL(0)=5 故：iL(0+)=5A 时