第八章粘性流体动力学基础

1、第八章第八章 粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础本章主要内容：本章主要内容：1.1.导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维尔导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维尔 -斯托克斯（斯托克斯（Navier-StokesNavier-Stokes）方程）方程2.2.讨论该方程的个别精确解讨论该方程的个别精确解: :二元平板间粘性流动二元平板间粘性流动 体的流动问题。体的流动问题。 课堂提问：为什么河水中间速度大课堂提问：为什么河水中间速度大, ,而靠近岸边而靠近岸边速度小速度小? ? 8-1 8-1 粘性流体的运动微分方程式（粘性流体的运动微分方程式（NSNS方程）方程） 与欧拉方程的推导类似，作

2、用于流体微团上与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。的力有：质量力、压力，粘性切应力。 取一六面体流体微团取一六面体流体微团1. 1. 流体微团上受力流体微团上受力: : 表面力：表面力： 法向应力法向应力 切向应力切向应力质量力：质量力：FXiYjZkyxzdydzdxyxzdydzdxyzyxypyyppdyyyzyzdyyyxyxdyyzzppdzzzyzydzzzxzxdzzz yzpzxxyxydxxxzxzdxxxxppdxxxpxyxz下标下标1 1、2 2 ：分别为切应力的位置和：分别为切应力的位置和切应力的方向切应力的方向 第一个下标：第一个

3、下标：切应力所处于的坐标面切应力所处于的坐标面构成点的应力张量，共有九个分量：构成点的应力张量，共有九个分量：第二个下标：第二个下标：切应力的方向切应力的方向 九个应力分量中，六个切向应力两两相等九个应力分量中，六个切向应力两两相等（8 81 1） x xx zx yy xy yy zz yz xz zppp（82） xyyxyzzyxzzx证明：取单位厚度微团证明：取单位厚度微团, 通过其形心并平行于通过其形心并平行于 轴线的力矩平衡关系如下轴线的力矩平衡关系如下:面力是二阶小量，面力是二阶小量，质量力是三阶小量质量力是三阶小量对形心取矩，忽略了对形心取矩，忽略了质量力引起的力矩：质量力引起

4、的力矩：()()02222yzzyyzyzzyzydydydzdzdzdy dzdydz dyyz力矩方程为：力矩方程为：zydydxzyyzyzdyyzpyzyyppdyyypzyzydzzzzppdzz形心形心应力张量中只有六个分量是独立的。应力张量中只有六个分量是独立的。同理可以证明另外两式成立，即同理可以证明另外两式成立，即 略去高阶小量后得：略去高阶小量后得： yzzyxzzxyxxy（8 81 1） x xyy zz yx zxyzyyz xxzppp2. N-S2. N-S方程的推导方程的推导 方向的平衡方程：方向的平衡方程：()()yxyxyxxxxdydzdydzdzdxdy

5、 dzyxpdxxdpp()zxzxzxdydxdydxXdxdydzdzzxyzdydzdxxzxzdxxxxppd xxxpxyxzxdxdydzaxyxydxx稍加整理，消去稍加整理，消去dxdydzdxdydz得方向的方程式，得方向的方程式，这就是应力形式的粘性流体运动微分方程这就是应力形式的粘性流体运动微分方程同理可得方向和方向的方程式同理可得方向和方向的方程式 单位质量流体的应力单位质量流体的应力单位质量流体的惯性力单位质量流体的惯性力单位质量流体的质量力单位质量流体的质量力1()1()1()y xxx xzxyy xy yzyzyzxzzzD VpXD txyzD VPYD tx

6、yzD VpZD txyz1()yxxxxzxDVpXDtxyz讨论讨论1.1.式（式（- -）中未知函数）中未知函数: :三个速度分量和六个三个速度分量和六个 应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，应力分量，加上连续性方程，只有四个方程， 方程组不封闭。方程组不封闭。2.2.若要求解，需补充方程。若要求解，需补充方程。3.3.应力与变形速度之间是否有某种关系？应力与变形速度之间是否有某种关系？ 流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流试验得知：试验得知： xd

7、vdy（-） 某瞬时一方形微团某瞬时一方形微团ABCDABCD，经过时间，经过时间dtdt后变为棱后变为棱形形ABCD ABCD ，微团的剪切变形速度为，微团的剪切变形速度为: : 牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速度成正比，比例系数为流体的粘性系数度成正比，比例系数为流体的粘性系数。 /xxdu dtduddtdtdydy剪切变形速度与速度剪切变形速度与速度梯度联系起来了梯度联系起来了 把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面剪切变形就有剪切变形就有 12()xyyxddddtdtdt也即也即()2()2()2yxxy

8、yxzyzyzzyxxzxzzxyvvdydxvvdzdyvvdxdz（87）xDACDCBBd2d1y 这就建立了切应力与速度之间的关系，即补这就建立了切应力与速度之间的关系，即补充了三个方程。充了三个方程。法向应力与线变形速度之关系法向应力与线变形速度之关系: : 对于理想流体，在同一点各方向的法向应力对于理想流体，在同一点各方向的法向应力（即压力）是相等的，即（即压力）是相等的，即= = y y = = z z = = 流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流体微团法线方向体微团法线方向有线变形速度有线变形速度，它将使粘性流体中，它将使粘性流体中的

9、的法向应力有所改变法向应力有所改变（与理想流体相比），产生（与理想流体相比），产生附附加法向应力。加法向应力。 将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得法向应力的表达式：法向应力的表达式：222222xxxyyyzzzvpppxvpppyvpppz (-） 可见，在可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的粘性流体中同一点任意三个互相垂直的法向应力是不相等的法向应力是不相等的，它们的总和为：，它们的总和为：32 ()yxzxyzvvvppppxyz（-） 问题：上式括号内表示

10、什么？问题：上式括号内表示什么？对于不可压缩流体，故有：对于不可压缩流体，故有：1()3xyzpppp (8-10) 即对于即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。 将切向应力和法向应力关系式代入（将切向应力和法向应力关系式代入（8-58-5）式得）式得2221(div )31(div )31(div )3xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzvvvvpvvvXvvtxyzxxvvvvpvvvYvvtxyzyyvvvvpvvvZvvtxyzzz (8-11) 这就是这

11、就是NSNS方程方程对于不可压缩流体，上式最后一项为零。对于不可压缩流体，上式最后一项为零。2222222222222222221()1()1()xxxxxxxxyzyyyyyyyxyzzzzzzzzxyzvvvvvvvpvvvXtxyzxxyzvvvvvvvpvvvYtxyzyxyzvvvvvvvpvvvZtxyzzxyz （8-12） 方程的矢量形式：方程的矢量形式：可压缩可压缩21()()3vvvFpvvt （8-13）不可压缩不可压缩21()vvvFpvt （8-14）讨论讨论1.1.方程（方程（8-128-12）的求解：）的求解：2.2.方程（方程（8-128-12）为偏微分方程，求

12、解时应给定边）为偏微分方程，求解时应给定边 界条件和初始条件。界条件和初始条件。3. 3. 物面上为无滑移条件（切向速度为零）物面上为无滑移条件（切向速度为零） 与理想流体不同。与理想流体不同。 三个速度和压力，加上连续性方程，方程封三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况下有解析解。下有解析解。- - 二元平板间粘性流体的流动二元平板间粘性流体的流动 粘性不可压缩流体里流过间距为的两静粘性不可压缩流体里流过间距为的两静止无限大平行平板。止无限大平行平板。流动状态：流动状态：定常层流，无剪切，有定常层流，无剪切，有压

13、力差驱动。压力差驱动。讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布本问题是本问题是N-S N-S 方方程的精确解之一程的精确解之一222222221() (a)1() (b)0 (c)xxxxxyyyxxxyyxvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxyvvxy 在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略去不计，方程和连续方程可简化为：去不计，方程和连续方程可简化为：只要积分上述方程便可求得速度分布只要积分上述方程便可求得速度分布所以所以 V VV(V() ) （8-15） 流速仅为的函数，与无关，即沿轴流速仅为的函数

14、，与无关，即沿轴任何一横截面上，速度分布都相同。任何一横截面上，速度分布都相同。 代入代入( () )得得 ：0ux将将( () )代入代入( () )可得可得: :0py(d),0 xyuVu( )pp x（8-16）所以所以 压力仅为的函数，与无关，即沿轴的压力仅为的函数，与无关，即沿轴的任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面上具有不同的压力。上具有不同的压力。 将（）式代入（）式，经移项后可得将（）式代入（）式，经移项后可得 221dud pd yd x (e)(e)考虑到（考虑到（8-138-13）和（）和（8-148-14）将偏微分改为常

15、微分）将偏微分改为常微分（）式的积分结果为：（）式的积分结果为： 221()2dpuHydx （-） 0,0duydy积分应用了物面边界条件：积分应用了物面边界条件：,0yH u 上式左边为的函数，右边为的函数，因此上式左边为的函数，右边为的函数，因此两边相等的条件为两边均为常数。即两边相等的条件为两边均为常数。即d pCd x（8 8-1717） 将上式代入（将上式代入（- -）式可得）式可得（8 8-2020） 2max2(1)yuuH 速度分布为抛物线规律，这是层流的速度分布为抛物线规律，这是层流的重要特性。重要特性。2max12dpuHdx （8 8-1919） 所以所以 轴上速度为最

16、大值，即轴上速度为最大值，即= 0，u = umax讨论：讨论：3.最大速度与平均速度的关系如何？最大速度与平均速度的关系如何？2.平均速度如何求？平均速度如何求？1.已经求得速度分布，如何求流量？已经求得速度分布，如何求流量？4.由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内层流流动时横界面上最大速度？层流流动时横界面上最大速度？5.实际问题中测得管内最大速度后有何实际义？实际问题中测得管内最大速度后有何实际义？6. 由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失 表现为哪个流动参量的下降？表现为哪个流动参量的下降？N-SN

17、-S方程的精确解之二方程的精确解之二无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流0vw0,0,( )uvwuuu yxyzx不可压连方不可压连方动量方程动量方程2222221()uuuupuuuuvwtxyzxxyzU0U x xu uy y2h2h简化为简化为221.upconstyx积分积分2121( )2pu yyc ycx21221210212pyhuhc hcxpyhuUhc hcx 动量方程2222221()uuuupuuuuvwtxyzxxyz122/ 21/ 22cUhpcUhx得得U0U x xu uy y2h2h221()()

18、22Upuyyhhyhx剪切流动剪切流动 + + 压差流动压差流动 1()()2yhhuUphyhx下板表面切应力下板表面切应力 1()()2y hhuUphyhx上板表面切应力上板表面切应力+ +两板之间的流量，平均速度，能量损失如何两板之间的流量，平均速度，能量损失如何计算？计算？思考问题思考问题( )?u y I believe all of you can do it very well.1Ux xu uy y2h2h2U例例8-1 两平行平板相距两平行平板相距h h10mm10mm，上板相，上板相对对下板下板以以U U1.51.5/s/s的速度向上运动，垂直距离为的速度向上运动，垂直

19、距离为m m的流层两点压力分别为的流层两点压力分别为: :2212250/80/pKN mpKN m粘性系数和密度分别为粘性系数和密度分别为: :3a0.9p s1260/kg m试确定：试确定： 1）速度和切应力分布；）速度和切应力分布； 2）最大流速；）最大流速； 3）上板上的切应力）上板上的切应力 解：解： 1 1）速度分布由如下办法求得：速度分布由如下办法求得：21()()2dpgzUyuhyydxh 两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布为为(x(x轴平行

20、下板向上）：轴平行下板向上）： 粘性剪切，压差，重力作用下粘性剪切，压差，重力作用下, 定常二元定常二元N-S方程简化为：方程简化为：连续性方程化简为：连续性方程化简为：0( )(4)xxuuf yx即222222221() (1)1() (2)0 (3)xxxxxyyxxxxyyxvvvvpvvXxyxxyvvvvpvvYxyyxyvvxy(2)cosapgyhppy式化简为：时，cos()apgyhp 积分得积分得221sin0 xupgxx由由(1)有有221()xudpgHxdx所以所以2121()2xd pgHuyc ycdx两次积分得两次积分得00 xxyuyhuU ，积分常数由如下边界条件确定积分常数由如下边界条件确定21()()2xd pgHUyuhyydxh这是这是x x轴平行平板向下的速度表达式，如果向上，轴平行平板向下的速度表达式，如果向上，则与教材一