1.5空间直线及其方程ppt课件

1、1.5 空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L1.5.1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量为这条直线的方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 1.5.2

2、 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式直线的对称式（点向式方程（点向式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组方向数直线的一组方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的方向余弦直线的方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直用对称式方程及参数方程表示直线线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 空间直线的三种方

3、程形式的互化空间直线的三种方程形式的互化因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx例例 2 2 一直线过点一直线过点)4 , 3, 2( A，且和，且和y轴垂直相轴垂直相交，求其方程交，求其方程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyxAB定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzzn

4、yymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式1.5.3 两直线的夹角两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求求过过点点)5, 2, 3( 且且与与两两平平面面34 zx和和152 zyx的的交交线线

5、平平行行的的直直线线方方程程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 4 4 求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程.解解设两直线的交点设两直线的交点N令令tzyx 12131. 1213 tztytx), 12 , 13(000ttt)3,2 , 33(000tttMN) 1, 2 , 3(1 sMN由题设知73:0t得交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取

6、所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx0)3(22)33(3000ttt定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns1.5.4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA

7、L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角1.5.5 杂例杂例例例1 求点求点P(-1,2,0)在平面在平面x+2y-z+1=0上的投影。上的投影。解：解：P(-1,2,0)Q如下图如下图只要过点只要过点P(-1,2,0)作平面的垂线，则垂足作平面的垂线，则垂足Q即为所求的投影即为所求的投影

8、分析分析210Pxyz 过点 且垂直于平面的直线方程为12121xyz令令12121xyzt得直线的参数方程为得直线的参数方程为122xtytzt 将上式代入平面方程，得将上式代入平面方程，得 t= -2/3从而投影从而投影Q的坐标为的坐标为(-5/3, 2/3, 2/3)例例2 10(3, 1,2)240 xyzPLxyz 求点到直线的距离。分析：分析：P(3,-1,2)M先求出过点先求出过点P且垂直于直线且垂直于直线L的平面，再求出垂足的平面，再求出垂足M，最后求出最后求出P,M两点间的距离即可。两点间的距离即可。解解直线直线L的方向向量的方向向量v=(0,-3,-3)则垂直直线则垂直直线

9、L，经过，经过P的平面方程为的平面方程为y+z-1=0联立方程组联立方程组1010240yzxyzxyz 解得解得即即M=(1,-1/2,3/2)11232xyz 从而从而222133 2|(31)( 1)(2)222PM 平面束平面束设直线设直线L由方程组由方程组1111222200A xB yC zDA xB yC zD(1)(2)所确定，其中，系数所确定，其中，系数A1,B1,C1与与A2,B2,C2不成比例，我不成比例，我们们建立三元一次方程建立三元一次方程:11112222()0A xB yC zDA xB yC zD(3)其中其中为任意常数，因为为任意常数，因为A1,B1,C1与与

10、A2,B2,C2不成比例，所以不成比例，所以对于任何一个对于任何一个值，方程值，方程(3)的系数：的系数：A1+ A2,B1+ B2,C1+ C2不全为零，从而方程不全为零，从而方程(3)表示一个平面。表示一个平面。而且对应于不同的而且对应于不同的值，方程值，方程(3) 表示通过直线表示通过直线 L的不的不同的平面。同的平面。反之，通过直线反之，通过直线L的任何平面的任何平面(除平面除平面(2) 外外)都包都包含在方程含在方程(3)所表示的一族平面内。所表示的一族平面内。像这种通过定直线的所有平面的全体称为平面束。像这种通过定直线的所有平面的全体称为平面束。而方程而方程(3) 就作为通过直线就

11、作为通过直线L的平面束的方的平面束的方程程.若一点在直线若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程上，则点的坐标必同时满足方程(1)和方程和方程(2),因而也满足方程因而也满足方程(3),故方程故方程(3)表示通过表示通过直线直线L的平面。的平面。-43521xyz求过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程例例3解解-43521xyz则过直线的平面束的方程为2523(23)0 xyyz-43521xyz将直线写成一般方程25230230 xyyz将点将点(3,1,-2)代入得代入得114从而得到所求平面方程为从而得到所求平面方程为 8x-9y-22z-59=0小结：小结：空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平