2.1-函数极限的性质ppt课件

1、性性质质 1 1（唯唯一一性性）若)(limxfxx存在，则极限值是唯一的。性性质质 2 2（局局部部有有界界性性）1.3.4 1.3.4 函数极限的性质函数极限的性质若)(limxfxx存在，则在点的 x附近，函数)(xf有界。即0M和0，) , (xNx时，有Mxf )( 。 函数极限具有与数列相类似的性质,且证明方法相同。 下面仅就xx 的情形加以叙述。性性质质 3 3（局局部部保保序序性性）推推论论 1 1（局局部部保保号号性性） 若0)(limxfxx（或0） ，则0，),(xNx时，0)(xf（或0） 。推推论论 2 2若Axfxx)(lim，Bxgxx)(lim，且0， ),(x

2、Nx时，恒有)()(xgxf，则BA 。若Axfxx)(lim，Bxgxx)(lim，且BA ，则0， ),(xNx时，)()(xgxf。注意注意定定理理3 3（海海涅涅定定理理）它它给给出出了了函函数数极极限限与与数数列列极极限限的的关关系系。 若存在 nx，xxn，xxnnlim，而 )(limnnxf不存在，则)(limxfxx不存在。Axfxx)(lim 对任意数列 nx，xxn，且xxnnlim，有Axfnn)(lim。若存在某两个数列 nx与 nx ，xxn，xxnnlim，与xxn ，xxnn lim，但)(lim)(limnnnnxfxf ，则)(limxfxx不存在。证证明明

3、：先取221nxn，xoy-11xy1sin则0nx，0nx)(n，而11lim)(limnnnxf，再取221 nxn，则0 nx，0 nx)(n， 而1) 1(lim)(lim nnnxf，xx1sinlim0不存在。例1证明：xxf1sin)(当0 x时极限不存在。 仅讲xx的情形。（1）BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim；（2）BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim；（3）ACxfCxCfxxxx)(lim)(lim；（4）)0( )(lim)(lim)()(limBBAxgxfxgxfxxxxxx。 设Axfxx)(lim，

4、Bxgxx)(lim，则（5）)( )(limNkxxkkxx。1.3.5 1.3.5 函数极限的运算函数极限的运算例 2设nnnnnaxaxaxaxP1110)(是 次多项式 n，求)(limxPnxx。解：)(lim)(lim1110nnnnxxnxxaxaxaxaxPnxxnxxnxxnxxaxaxaxalimlimlimlim1110)(1110 xPaxaxaxannnnn即 )()(limxPxPnnxx 则 .)()()(lim)(lim)()(limxQxPxQxPxQxPxxxxxx例 3求极限： 12712lim223xxxxx。解：)4)(3()4)(3(lim12712

5、lim3223xxxxxxxxxx744lim3xxx。 若)(xPn和)(xQm都是多项式，且0)(xQm，例 4求极限： （1）22039limxxx； （2）3722lim2xxx。解： （1）)39()39)(39(lim39lim22220220 xxxxxxxx61391lim) 39(lim202220 xxxxxx；（2）)22)(37)(37()37)(22)(22(lim3722lim22xxxxxxxxxx)22)(2()37)(2(lim2xxxxx.23462237lim2xxx例 5求下列极限（1）357243lim323xxxxx)(型； （2）357243lim

6、32xxxxx).(型解： （1）323323357243lim357243limxxxxxxxxxx; 73007003（2）. 0357243lim357243lim323232xxxxxxxxxxx 一般地，当mnNmnba, , 0时，有 . , 0 , ,lim1111mnnmbabxbxbaxaxammmnnnx当当解：baxxxx11lim21)1 ()()1 (lim2xbxbaxax，上式极限为零的必要条件是01a且0ba， 1a，1b。例 6已知0)11(lim2baxxxx，求常数ba 和。定定理理 4 4（夹夹逼逼定定理理）设在)(xN内)()()(xhxgxf且Axh

7、xfxxxx)(lim)(lim， 则Axgxx)(lim。 证证明明：Axhxfxxxx)(lim)(lim，0，0 , 0 21，当10 xx时，有Axf)(，从而)(xfA，当20 xx时，有Axh)(，从而 Axh)(，取) ,min(21，则当xx0时，有AxhxgxfA)()()(，故Axgxx)(lim。例7求极限:xxx1lim0。解：xxx1111， （0 x）当0 x时，111xxx；当0 x时，111xxx，1)1 (lim1lim00 xxx， 由夹逼定理可知11lim0 xxx。定理定理5 5（复合函数求极限定理）（复合函数求极限定理） 设由)( ),(xguufy构

8、成的复合函数)(xgfy 在)(xN 内有定义， 若uxgxx)(lim，Aufuu)(lim且当xx 时，uxg)(，则)(limxgfxxAufuu)(lim。分分析析：要证0，0 ， xx0 时， 有AufAxgf)()(成立。设在),(2xN内，uxg)(。证证明明：Aufuu)(lim，又uxgxx)(lim，对于上面的0，0 1，10 xx时， 有uxg)(。 uu 0 , 0 , 0时， 有 Auf)(。从而AufAxgf)()(成立，故)(limxgfxxAufuu)(lim。即uuuxg)(0成立，该该定定理理是是求求极极限限进进行行换换元元的的理理论论根根据据。 取),mi

9、n(21，则当xx0时， 0)(uxg和uxg)(同时成立，例 8求极限:xxnx11lim0（Nn）.) 1)(1(1lim11lim11lim21110aaaaaaaxxnnananx.111lim211naaanna解：设nxa 1，则1nax，当0 x时，1a，0 x时，1a，由定理 5 得.111lim0nxxnx例 9证明： （1）1lim0 xxe； （2）) 10(limaaaxxxx.证证明明： （1）0，要使11xxee，只要)1ln(x，取)1ln(，则当 x0时，恒有1xe，故1lim0 xxe。再证1lim0 xxe.令tx，则当0 x时，0t，且0 x时，0t，11

10、limlimlim000ttttxxeee，故1lim0 xxe.先证1lim0 xxe.（2）用类似的方法可证) 10( 1lim0aaxx. xxxxaaa，令xxt，则当xx 时，0t，xttxxxxxxxxxaaaaaa0limlimlim.作作业业习习 题题 1.21.2（P33) P33) 8(2)(5)(6)(7)(8)(9)(10);8(2)(5)(6)(7)(8)(9)(10);9(2)(3) 9(2)(3) 证证明明：作单位圆，取圆心角xAOB ， 由于0 x，不妨先设20 x，1 1重重要要极极限限 1sinlim0 xxx。OABCxAOB的面积扇形AOB的面积AOC面

11、积，xxxtan2121sin21，xxxcos1sin1，1sincosxxx，1.3.6 1.3.6 两个重要极限两个重要极限1sinlim0 xxx。1 sinlim0 即当20 x时，1sincosxxx。当02x时，有20 x， 1)sin()cos(xxx，即1sincosxxx，当20 x时，有1sincosxxx。 1coslim0 xx，11lim0 x，证证明明：先证x的情形。1x，有 1xxx，或 xxx1111， 若记 xn，则当x时，n，且 1)11 ()11 ()111 (nxnnxn， ennnnnnn11)111 ()111 (lim)111 (lim，2 2重

12、重要要极极限限 exxx)11 (limennnnnnn)11 ()11 (lim)11 (lim1， 由夹逼定理得exxx)11 (lim。再证x的情形，令tx ，则当x时，t，tttxttttx)111 ()1()11 ()11 ()111 ()111 (1ttt， 综上可得exxx)11 (lim。从而eettxxttx1)111 ()111 (lim)11 (lim1，e) 1 1 (lim 极限exxx)11 (lim的另一种形式是 xxx10)1 (lim 证证明明：令xu1，则当0 x时，u，.)11 (lim)1 (lim10euxuuxx例 7求极限： （1）xxxtanli

13、m0； （2）20cos1limxxx。解： （1）1cos1limsinlim)cos1sin(limtanlim0000 xxxxxxxxxxxx； （2）2022020)22sin(21lim2sin2limcos1limxxxxxxxxx1tanlim0 xxx21cos1lim20 xxx.21)sin(lim2120ttt2xt 令例 8求极限（1）xxx35sinlim0； （2）xxxarcsinlim0。（2）令txarcsin，则tx sin，当0 x时，0t，1sinlimarcsinlim00ttxxtx。1arcsinlim0 xxx解： （1）3555sinlim3

14、5sinlim00 xxxxxx.35sinlim350tttxt5 令例 9求极限： （1）203coscoslimxxxx；解解：2020sin2sin2lim3coscoslimxxxxxxxx. 4)4sin22sin(lim0 xxxxx 另解另解：2020)cos1 ()3cos1 (lim3coscoslimxxxxxxxx2020cos1lim9)3(3cos1limxxxxxx. 42129（2）30sin1tan1limxxxx解：)sin1tan1(sintanlimsin1tan1lim3030 xxxxxxxxxx)sin1tan1()cos1 (tanlim30 x

15、xxxxxsin1tan11cos1tanlim20 xxxxxxx4121211。（3）nnxxx2cos2cos2coslim2解：令nxxxy2cos2cos2cos2，当0 x时，xxynnsin2sin2， nnxxy2sinsin21， 故xxxxxxxxynnnnnnnsin)sin2sin2(lim2sinsin21limlim。当0 x时，1y ，11limlimnny。 0 x1, 0 x,sin2cos2cos2coslim2xxxxxnn。（4）),(sinsinlimNnmnxmxx解：令tx，则当x时，0t，ntmtntnmtmnxmxnmttxsin) 1(sin

16、) 1(lim)sin()sin(limsinsinlim00sinsinlim) 1(sinsin) 1(lim00nmntntmtmtntmttnmnmt.) 1(nmnm解： （1）方法方法1 1：由复合函数极限计算方法由复合函数极限计算方法， 方法方法2 2： 熟练掌握后可不设新变量熟练掌握后可不设新变量，例 10、求极限：（1）2)11 (limxxx； （2）xxx)21 (lim；（3）xxx)11 (lim； （4）xxx3)21 (lim。设21)(uuf，xxu)11 ( ，当x时，eu，于是有.lim)11(lim)11 (lim2121212euxxeuxxxx.)11

17、(lim)11 (lim21212exxxxxx以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的，以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的，也很重要，应熟练掌握。也很重要，应熟练掌握。（2）.)21(lim)21 (lim222exxxxxx（3）.)11(lim)11 (lim11exxxxxxexxx1)11 (lim（4）6623)21(lim)21 (limexxxxxx。例 11求极限： （1）xxxx)1(lim； （2）.)1212(lim23 xxxx解： （1）exxxxxxxxxx1)11 (1lim)111(lim)1(lim；（2）令uxx111212，则21 ux， 当x时，u，1 23 )11 (lim)1212(limuuxxuxx.)11 ()11(lim1 euuuu另另解解：23 23 )1221 (lim)1212(limxxxxxxx.)()1221(lim11112x)23(2 212eexxxx212. :1(1) lim(1)xxx例求下列极