第二章 直线方程、直线及平面关系

1、两直线共面的条件两直线共面的条件定理8.0 两直线共面的充要条件是行列式形式为：0,2121sspp0222111121212ZYXZYXzzyyxx推论8.2 两直线相交的充要条件为00,212121SSSSPP设直线设直线L的一般式方程为的一般式方程为111122220(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 其中系数其中系数111,A B C与与222,A B C不成比例。不成比例。对于任意对于任意常数常数, 建立三元一次方程：建立三元一次方程：11112222()0A xB yC zDA xB yC zD 或或12121212()()()0(3)AA xBByCCzDD

2、3 平面束平面束由于系数由于系数111,A B C与与222,A B C不成比例，不成比例，所以所以对任意常数对任意常数, 不同时为不同时为121212,AA BB CC 零，零，因此方程因此方程(3)(3)表示一个平面。表示一个平面。 又由于满足又由于满足L的方程的方程的点必满足此平面方程，的点必满足此平面方程， 因此方程因此方程(3)(3)一定通过直线一定通过直线L的平面。的平面。反之，通过直线反之，通过直线L的平面（除的平面（除(2)(2)外）都包含外）都包含在在(3)(3)所表示的一族平面中。所表示的一族平面中。 通过定直线的所有平面的通过定直线的所有平面的全体称为全体称为平面束平面束

3、，而方程而方程(13)(13)称为通过直线称为通过直线L的的平面平面束方程束方程。例例7 7求过直线求过直线1010 xyzxyz 和点和点(2,1,1)M的的平面方程。平面方程。解法一解法一将直线方程化为标准式将直线方程化为标准式10 xyz所以已知直线的方向向量为所以已知直线的方向向量为,sjk 且过点且过点0(0,1,0)M因此所求平面的法向量为因此所求平面的法向量为00,1,1 2,0,1nsM M 01122201ijkijk 所以所求平面方程为所以所求平面方程为22(1)2(1)0 xyz 即即2220 xyz解法二解法二过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为(1)(1)

4、0 xyzxyz 所求平面过点所求平面过点(2,1,1),M(1)(1)(1)10 xyz 所以所以12(1)1110,3 所求平面方程为所求平面方程为244403333xyz 2220 xyz例例8 8求直线求直线在平面在平面0 xyz 上的投影直线方程。上的投影直线方程。解解 所求直线在与已知平面垂直的平面上，所求直线在与已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，和已知平面垂直，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，首先求首先求(1)(1)(1)(1)0 xyz 过已知过已知直直线的平面束方程为线的平面束方程为1010 xyzxyz 0)1()1( zyc

5、zyx 即即1,1,1 1,1,11110 1 2220yz所求直线方程为所求直线方程为010 xyzyz 因此因此 点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(

6、222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直

7、:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式

8、：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000z

9、yxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、实例分析实例分析例例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji机动 目录 上页 下页 返回 结束 241312zyx例例2. 求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示

10、: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求直线0101zyxzyx在平面上的投影

11、直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s机动 目录 上页 下页 返回 结束 417211kji)4,5,3(2所求为例例6. 求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示提示: 过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路: 先求交点例例7. 求过点) 1 , 1 , 1 (0M,12:1xzxyL且与两直线1243:2xzxyL都相交的直线 L.提示提示:21,LL将的方程化为参数方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设 L 与它们的交