概率论与数理统计复习资料

1、概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1. 事件的关系AuBAoBABABA0©AB=©2. 运算规则(1)AoB二BoAAB二BA(2) (AoB)oC=Ao(BoC)(AB)C=A(BC)(3) (AoB)C=(AC)o(BC)(AB)oC=(AoC)(BoC)(4) AoB=ABAB=AoB3. 概率P(A)满足的三条公理及性质：(1)0<P(A)<1(2)P(Q)=1(3) 对互不相容的事件A,A,A,A，有P(Ya)二工P(A)(n可以取g)12nkkk=1k=1(4) P(©)=0(5)P(A)=1P(A)(6) P(AB)=P(A)

2、P(AB)，若AuB，贝yP(BA)=P(B)P(A)，P(A)<P(B)(7) P(AoB)=P(A)+P(B)P(AB)(8) P(AoBoC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率(1) 定义：若P(B)>0，则P(AIB)=P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B,B,AB为完备事件组，P(B)>0，则有12ni(3) 全概率公式：P(A)=EP(B)P(AIB)iii=1P(B)P(AIB)(4) Bayes公式：P(BIA)=kk*P(B)P(

3、AIB)iii=17. 事件的独立性：A,B独立oP(AB)=P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1. 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=x)=p满足(1)p>0,(2)工P=1iiiii(3)对任意DuR，P(XeD)=工pii:xieD2. 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足(1)f(x)>0,卜sf(x)dx二1；-g(2)P(a<X<b)=Jbf(x)dx；(3)对任意aeR,P(X=a)=0a3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(1,p)P(X=1)=p，P(X=0)=q=1-pppq二项式分

4、布B(n,p)P(X=k)=Ckpkqn-k,k=0,1,2,An，nnpnpqPoisson分布P(九)九kP(X=k)=e-九,k=0,1,2,Ak!九九几何分布G(p)P(X=k)=qk-1p,k=1,2,A1pqp2均匀分布U(a,b)f(x)=,a<x<b，b-aa+b2(b-a)212指数分布E(九)f(x)=九e-人,x>01九1九2正态分布N(卩Q2)1(x-u)2f(x)=ie2o2电'2兀oo24.分布函数F(x)=P(X<x)，具有以下性质(1)F(-g)=0,F(+s)=1；(2)单调非降；(3)右连续；(4) P(a<X<b

5、)=F(b)-F(a)，特别P(X>a)=1-F(a)；(5) 对离散随机变量，F(x)二工p；ii:xi<x(6) 对连续随机变量，F(x)=Jxf(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F'(x)二f(x)-g5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有xU,(1)(0)=0.5；(2)(-x)=1-(x)；(3)若XN(卩Q2)，则F(x)=O(-)；o(4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧«分位数，则P(X>u)=a=1一(u)Otaa6随机变量的函数Y=g(X)(1) 离散时，求Y的值，将相同的概率相加；先求分布

6、函数，再求导。(2) X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f(y)=f(gt(y)1(gt(y)'I，若不单调,YX第三章随机向量1二维离散随机向量，联合分布列P(X=x,Y=y)=p，边缘分布列ijijP(X=x)=p，P(Y=y)=p有ii*j-j(1)P.>0；(2)工p=1；(3)ijijijP=工p，p=Ypi-j-jijji2.二维连续随机向量，联合密度f(x,y)，边缘密度f(x),f(y)，有XY(1)f(x,y)>0；(2)J+8J+8f(x,y)=1；(3)P(X,Y)gG)=Hf(x,y)dxdy；G88f-x)=J+8f-x

7、,y)dy，f-y)=J+8f-x,y)dxX8Y83二维均匀分布f(X,y)=<1,(x,y)gG_、m(G)，其中m(G)为G的面积0,其它4二维正态分布(X,Y)N(片,巴,Q12,QP)，其密度函数(牢记五个参数的含义)1I1f(x,y)=-expit-z)2兀QQJ1p2I2(1P2)12%且Xn(卩Q2),yn(卩,Q2)；11225(Xp)21-Q212P(x一卩)(y一卩)丄(y一卩)22p12+2QQ12二维随机向量的分布函数F(x,y)=P(X<x,Y<y)有1)关于x,y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3)F(x,s)=F(x,y)=F(一卩一)=0

8、；(4)F(+8,+8)=1，F(x,+8)=F(x)，F(+8,y)=F(y)；XYP(X1<X<x2,y1<Y<y2)=F(X2,y2)F(X1,y2)F(X2,y1)+F(X1，y1)；Q2F-xy)对二维连续随机向量，f(x,y)=-W6. 随机变量的独立性X,Y独立oF(x,y)二F(x)F(y)XY(1) 离散时X,Y独立op二ppiji-j(2) 连续时X,Y独立of(x,y)二f(x)f(y)XY(3) 二维正态分布X,Y独立op=0，且X+YN(卩+卩Q2+2)12127. 随机变量的函数分布(1)和的分布Z二X+Y的密度f(z)二J+"f(

9、z-y,y)dy二J+"f(x,z-x)dxZ-8-8(2)最大最小分布第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X)二工xp，E(g(X)二工g(x)p；iiiiii连续时E(X)十xf(x)dx，E(g(X)J8g(x)f(x)dx；-8-8二维时E(g(X,Y)=工g(x,y)p，E(g(X,Y)二卜卜g(x,y)f(x,y)dxdyijij-8-8i,j(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；(6)E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(7)X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2. 方差(1) 方差D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)-(EX)2，标准差

10、c(X)=、D(X)；(2) D(C)=0,D(X+C)=D(X)；(3) D(CX)=C2D(X)；(4) X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3. 协方差(1) Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；(3) Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)；1212(4) Cov(X,Y)=0时，称X,Y不相关，独立n不相关，反之不成立，但正态时等价;(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4相关系数PXY=1X(1；W1卩

11、XY<I卩XYl=GWP(Y=aX+b)=15-k阶原点矩vk=E(Xk)，k阶中心矩卩丘=E(X-E(X)k第五章大数定律与中心极限定理1. Chebyshev不等式PlXE(X)l>8<D(X或PlXE(X)l<8>1-82822. 大数定律1)设随机变量3. 中心极限定理X,X,A,X独立同分布E(X)=p,D(X)=°2,12i=1XN(np,no2),i近似1no2或一mXN()n1i近似ni=1nmXnpi或4N(0,1),no近似(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p，则对任意x，有mnplimP<x=0(x)或理解

12、为若XB(n,p)，则XN(np,npq)n8jnpq近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本(1) 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)；(2) 样本数字特征：1、O2样本均值X二一乙X(E(X)=p，D(X)=)；nini=1样本方差S2=m(XX)2(E(S2)=o2)样本标准差n1ii=1S=.二m(XX)2n1ii=1样本k阶原点矩v=工Xk，样本k阶中心矩p=工(X一X)kkniknii=1i=12. 统计量：样本的函数且不包含任何未知数3. 三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)X2分布X2=X2+X2+A+X2X2(n)，其中X,X,A,

13、X独立同分布于标12n12n准正态分布N(0,1)，若XX2(n),YX2(n)且独立，则X+Yx2(n+n)；12127Xt分布tY7nt(n)'其中xN(0,1),Y”2(n)且独立;F分布F-Y/n.F(ni,叮，其中x兀2(ni)，Y兀2(n2)且独立，有下面的2F(n,n)二1-a121性质F(n,n),F214正态总体的抽样分布(1)XN(卩Q2/n)；1n(2)工(X卩)2x2(n)；Q2ii=1(3)価_gx2(n1)且与X独立;Q24)XRS/4nt(n1)；95)(n1)S2+(n1)S2+32-n+n212(XY)(RR)innt=+2t(n+n2),SVn+n12W*12S2/Q2(6)F=1F(n1,n1)S2/Q21222第七章参数估计1矩估计：(1)根据参数个数求总体的矩；(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2极大似然估计：(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数