平面向量的夹角及坐标表示和运算zrb

1、2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示和运算及坐标表示和运算湖南师大附中湖南师大附中 张汝波张汝波一般地一般地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : aa(1)(2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同;(3)当当 时时,或或 时时,| | a a| |=| | | | |a a| |; ;000a0aaaa0a 一、数乘的定义：一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:二、二、数乘数乘的运算律：的运算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(

2、1)(1)结合律结合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :()()aa ()aaa()abab1.1.定理定理: : 向量向量 与非零向量与非零向量 共线的共线的等价条等价条件件是有且只有一个实数是有且只有一个实数 , ,使得使得. . abba三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理：2).证明三点共线证明三点共线:1).证明向量共线证明向量共线3).证明两直线平行证明两直线平行:AB BC AB=BC (1).A,B,C三点共线 AB= BC(2).A,B,C三点共线 OA=xOB+yOC(其中x+y=1)1 1212a = xe + ye ,b = me +neyxa ， b共

3、 线 a = b =.mn四四. .平面向量基本定理平面向量基本定理: : 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那那么对这一平面内的任一向量么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对，有且只有一对实数实数 ， 使使1 12 2aee12, 12,e e a说明：基底不唯一，且基底是不共线的两个向量。 (1).A,B,C,D四点共面 AB= AC+AD(2).A,B,C,D四点共面 OA=xOB+yOC+zOD (其中x+y+z=1)a与b的夹角是90 ，则a与b垂直，记作a b新授：新授：1.向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量a和b如图，则AOB= （018

4、0）叫做向量的夹角当 =0 时，a与b同向当 =180时， a与b反向oBAab共起点ABC思考:正ABC中,向量AB与BC的夹角为几度?D2.向量的正交分解向量的正交分解 12112212一个平面向量用一组基底e ,e 表示成= e + e的形式，我们称它为向量的分解。当e ,e 互相垂直时，就称为向量的正交分解。 在平面上在平面上, ,如果选取互相垂直的向量作为如果选取互相垂直的向量作为基底时基底时, ,会为我们研究问题带来方便会为我们研究问题带来方便. .3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OOxy平面内的任一向量平面内的任一向量 , ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,x

5、,y,使使 成立成立aaxiy j则称则称( (x，y) )是向量是向量 的坐标的坐标aji 如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴轴正方向正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底. .i j 、记作：记作：( , )ax y(1) (1) 与与 相等的向量的坐标均为相等的向量的坐标均为(x, (x, y)y)aa注意：注意：a(4)(4)如图以原点如图以原点O O为起点作为起点作 , ,点点A A的位置被的位置被 唯一确定唯一确定. .aOA a 1212abxxyy且此时点此时点A A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标

6、a（5 5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的, ,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同 (2) i=i+0j=(1,0)j=0i+ j=(0,1)0=(0,0)（1 1）与）与 相等的向量的坐标均为相等的向量的坐标均为（x,y)x,y)a注意：注意：（3 3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)(6)22axy 3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示aa( (x, yx, y) )A AO Ox xy yji例1.如图,用基底 ， 分别表示向量 并求它们的

7、坐标解：由图可知解：由图可知 12a=AA +AA =2i+3j(2,3)a同理，同理，23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij , , ,a b c d jiA A1 1A AA A2 2y yx xO O1 1abcd ij3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示随堂练习随堂练习1 a= 4,6 ,a=2b,b 、且且那那么么 的的坐标是坐标是 .(2,3)2a= x-2,3b= 1,y+2 、若若向向量量与与向向量量相相等等，那那么么x= ,y= .3AB= x,y , B -2,1 ,OA 、已已知知的的坐坐 是是那那么么的的标标坐标为坐标为 .(-

8、2-x,1-y)3 14a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,c13133131 A -a+b Ba-b Ca-b D -a+b22222222 、若若向向量量那那么么 等等于于、B5a= 3,-1 ,b= -1,2 ,-3a-2b 、已已知知那那么么等等于于_ _ _ _ _6B m,n ,AB 、已已知知 的的坐坐是是标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为(m-i,n-j)-7 -1 ，问题探究：问题探究：则已知),(),(2211yxbyxa 1 1、根据平面向量的坐标表示及向量的运算、根据平面向量的坐标表示及向量的运算，你能完成下

9、面的问题吗？，你能完成下面的问题吗？(1)你能用你能用 表示表示 吗？吗？ji和ba和？的坐标是什么？为什么ababa,（2）的坐标是什么？则，AByxByxA),(),(2211),(11yxA),(22yxBx xy yO O 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标的终点的坐标减去始点的坐标 2.2.已知已知问题探究：问题探究： 1122a+b=(x i+y j)+(x i+y j)1212=(x +x )i+(y +y )j 1212a+b=(x +x ,y +y )同理可得：同理可得：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量

10、和与差的坐标分别等于这两 个 向 量 相 应 坐 标 的 和 与 差两 个 向 量 相 应 坐 标 的 和 与 差 1212a-b=(x -x ,y -y ) 1122已知a=(x ,y ),b=(x ,y ),求a+b,a-b,a的坐4.4.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算()xyaij.xyij (,). xya实数与向量的积的坐标等于用这实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标个实数乘原来向量的相应坐标3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算xyo22(,)B xy11( ,)A x yABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,).xx yy例题讲解

11、例题讲解如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 坐标.AB 一个向量的坐标等于表示此向量的有一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标向线段的终点的坐标减去始点的坐标(2,1),( 3,4), aba b a b ab已知求 + , - , 3 +4的坐标.(2,1)( 3,4)( 1,5); ab(2,1)( 3,4)(5, 3); ab343(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)( 6,19). ab例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解解法解法1 1：设顶点：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）( 123 112AB （）， ）（， ）(3,4)DC

12、xyABDC 由，得(1,2)(3,4)xy1324xy22xy已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为( (2,1)2,1)、( (1,3)1,3)、(3,4),(3,4),求顶点求顶点D D的坐标的坐标11yxOABCD11yxOABCD解法解法2:2:由向量加法的平行四边形法则可知由向量加法的平行四边形法则可知BDBAADBABC -2- -1 ,1-33- -1 ,4-33,-1ODOBBD -1,3 + 3,-12,2课堂练习：课堂练习：( 2 , 4 )（-3，9）（-5，5） /1.若点O（0，0），A（1，2），B（-1，3），且OA =2OA, OB =3OB 则点A 的坐标为_点B 的坐标为_,向量A B 的坐标为_) 3, 5 . 2( 2.平行四边形ABCD的对角线交于O,且AD= 3,7 , AB= -2,1 ,则OB 的坐标为_.3.已知点P、A（3，7）、B（4，6），C（1， -2），是一个平行四边形的四个顶点，求P的坐标.课堂练习：课堂练习：4.已知a=(1,0)、b=(1,1),c=(-1,0),求实数与，使c=a+b.课堂练习：课堂练习：(1