线性空间的定义与简单性质学习教案

1、线性空间的定义线性空间的定义(dngy)与简单性质与简单性质第一页，共13页。第1页/共13页第二页，共13页。设设V是一个是一个(y )非空集合，非空集合，P是一个是一个(y )数域，数域，在集合在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的

2、数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：第2页/共13页第三页，共13页。加法加法(jif)(jif)满足下列四条规则：满足下列四条规则： (1)(1) （具有这个（具有这个(zh ge)(zh ge)性质的元素性质的元素0 0称为称为V V的零元素）的零元素） (2)(2) ()() ,V (4)(4) 对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 ,V （称为称为 的的负元素负元素） 0 (3)(3) 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V有有第3页/共13页

3、第四页，共13页。1 (5)(5) (6)(6) ()()k lkl 数量数量(shling)(shling)乘法与加法满足下列两条规则：乘法与加法满足下列两条规则： (7)(7) ()klkl 数量数量(shling)(shling)乘法满足下列两条规则乘法满足下列两条规则 : :(8)(8)()kkk 第4页/共13页第五页，共13页。3线性空间线性空间(kngjin)的判定：的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但

4、这里的向量不一定是有序数组线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者第5页/共13页第六页，共13页。例例1 1Pn, Px Pn, Px 均为数均为数(wish)(wish)域域 P P上的线上的线性空间性空间例例2 2数域数域 P P上的次数上的次数(csh)(csh)小于小于 n n 的多项式的全体，再的多项式的全体，再添添法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示

5、上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 第6页/共13页第七页，共13页。的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P P上的一个上的一个(y )(y )线性线性空间，空间，例例3 3数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵m n 用用 表示表示m nP 例例4 4任一数域任一数域 P P 按照本身的加法按照本身的加法(jif)(jif)与乘法构成一与乘法构成一个数个数域域P上的线性空间上的线性空间第7页/共13页第八页，共13页。

6、例例5 5全体全体(qunt)(qunt)正实数正实数R R，kk aa判断判断 R R是否构成是否构成(guchng)(guchng)实数域实数域 R R上的线性空间上的线性空间 . .加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR R不构成实数域不构成实数域R上的线性空间上的线性空间. . 不封闭，如不封闭，如 12212log12 R 第8页/共13页第九页，共13页。2、 的负元素是唯一的，记为的负元素是唯一的，记为- - V证：证：假设假设 有两个负元素有两个负元素 、 ，则有，则有利用负元素，我们利用负元素，我们(w men)(w men)定义定义减法：减法： 01010202证：证：假设线性空间假设线性空间V有两个零元素有两个零元素01、02，则有，则有0()()()0 0,0() 第9页/共13页第十页，共13页。 两边加上两边加上 即得即得 0 0 0； (0)0kkkk 两边加两边加上上 k ；即得；即得k 00 ;00,00, ( 1),()kkkk 3、证：证：0(01), 第10页/共13页第十一页，共13页。( 1 )1( 1 )(1 1)00 两边加上两边加上 ，即得，即得 ( 1); ()()kkkk ，即得，即得 两边加上两边加