线性变换的定义学习教案

1、线性变换的定义线性变换的定义(dngy)第一页，共23页。图 6.1例1在二维几何空间中，令是将每个向量旋转角的一个旋转变换（见图6.1） 2V一. 定义(dngy)及例子容易(rngy)看出：对任意向量,及实数 k 均有(+)()+()(k)k()1.两个(lin )实例第1页/共23页第二页，共23页。容易(rngy)看出：对任意向量,及实数 k 均有(+)()+()(k)k()例2在中，H是过原点的一个平面.令是对平面H的正投影变换（图6.2）3V图6.2第2页/共23页第三页，共23页。2.定义(dngy)第3页/共23页第四页，共23页。例3 对 的每个向量，规定是 的一个变换，我们

2、证明它是一个线性变换123(,)x xx =11223( )(,3,)xxxxx =-+3F3F1）对于 的任意两个向量 ， 与 ，有(+) = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)123(,)x xx =123(,)yyy =3F3.一些(yxi)例子=( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3)第4页/共23页第五页，共23页。=( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3)= k(x1, 3x1-x2, x2+x3)= k()因此(ync)，是F3的一个线性变换=( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+(

3、 y1, 3 y1- y2, y2+ y3)= ()+ ()第5页/共23页第六页，共23页。=(1,0,0), =(2,0,0), += ，()= , ()= ,()+()= ,而(+)= ,(+) _ ()+().(3,0,0)(1,3,0)(4,6,0)(5,10,0)(9,9,0)第6页/共23页第七页，共23页。1）对任意的X、YMn(F)，则有(X+Y)= = = ;A(X+Y)BAXB+AYB(X)+ (Y)2)对任意的kF，有(kX)= = = A(kX)Bk(AXB)k(X)所以(suy),是 Mn(F )的一个线性变换.第7页/共23页第八页，共23页。第8页/共23页第九

4、页，共23页。当k1时，是V的恒等变换(binhun)；是V的一个(y )线性变换，叫做V的一个(y )数乘（或 位似）变换.因此，恒等变换及零变换都是线性变换.当k0时，是V的零变换.第9页/共23页第十页，共23页。例7设Ca, b是定义在a, b上的一切连续函数作成(zuchng)的R上的线性空间. 对任意的f(x)Ca, b, 规定J(f(x).容易验证，D是Fx的一个线性变换，称为(chn wi)F x的微商变换（或微分变换）.J(f(x)仍是a, b上的连续函数线性变换，叫做Ca, b的积分(jfn)变换.J是Ca, b的一个()xaft d t 第10页/共23页第十一页，共23

5、页。二. 线性变换的基本(jbn)性质 1) 线性变换把零向量(xingling)变成零向量(xingling)；把任一向量(xingling)的负向量(xingling)-变成的象()的负向量(xingling)-().证 任取一向量(xingling)，有 (0)(0)0()0 所以(-)-()()+(-)(-)(0)0，第11页/共23页第十二页，共23页。2) 定义(dngy)1中的条件(1), (2)与以下条件等价： (3) 对任意的a, bF, , V，有 (a+b)a()+b().3）线性变换保持(boch)线性关系式，即对于V， 若有k1, k2, knF,及1,2,n V使得

6、 k11+ k22+ knn则 ()k1(1)+ k2(2)+kn(n), 第12页/共23页第十三页，共23页。特别(tbi)地，当0时，有K1(1)+ k2(2)+ kn(n)0. 若k1 ，k2，kn 不全为0，则得性质：4) 线性变换把线性相关的向量(xingling)组变成线性相关的向量(xingling)组.5) 设是V的一个线性变换, V是V的子空间(kngjin). V在下的象集合,记作(V), 即(V) =()V. 则(V)是V的一个子空间(kngjin).第13页/共23页第十四页，共23页。证对任意的，(V)总有, V使(),(). 由于是线性变换，所以，对任意的a, b

7、F,有 a +b a()+ b( )(a+b). 但V 是 V 的子空间，a+ bV, 因而 a +b (V), 故(V)是V 的一个子空间. 特别地，(V)是V的子空间，称为(chn wi)的象，可用Im()表示.第14页/共23页第十五页，共23页。6）设是V的一个(y )线性变换，W是V的一个(y ) 子空间，则W在之下的原象集合 V（）W 是V的一个(y )子空间 特别地，零子空间0在之下的原象集是 V的一个子空间，称为(chn wi)的核，用ker() 表示.即 ker()V()0第15页/共23页第十六页，共23页。VVker()O图6.4我们用图6.3和图6.4分别(fnbi)表

8、示子空间Im()和ker().VVIm()图6.3O第16页/共23页第十七页，共23页。性质5）和性质6）可总括(zngku)为： 在线性变换之下，向量空间V的 子空间的象集和原象集都是V的子 子空间.第17页/共23页第十八页，共23页。的求解问题，用线性变换的话来说，就是求向量 的原象的问题. 12(,)nb bb线性方程组例8在 中，令 ()A,是 中任意的向量，A是确定的F上的n阶方阵. 则 是 的一个线性变换. nF nFnF 1122nnxbxbAxb 而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核. 第18页/共23页第十九页，共23页。容易看出(kn ch)Im()=L(A1,

9、A2, An) =L(1, 2, , n)其中1(1,0,.,0), ? ?=2(0,1,.,0),., ? ?=(0,0,.,1).n ? ?=而1, 2, , n是A的列向量(xingling).第19页/共23页第二十页，共23页。习题6.11. 判断以下(yxi)的变换是否是线性变换，说出理由1) 在R3中,(x1, x2, x3)=(0,x1+ x2-3 x3,2x1-x2-2x3);2)在Q3中,(x1, x2, x3)= ( , x2- x3,21x23);x3) 在线性空间V中，(),是V中固定 的一个(y )向量；4) 在线性空间V中,()+,是V中 固定的一个(y )向量；第20页/共23页第二十一页，共23页。 5）在Mn(F)中，(X)XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个(y )方阵； 6）在Fx, (f (x)=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rnx中，(f(x)=xf(x)； 8）把复数域C看成(kn chn)它自己的线性空间,令 ()= , , C, 是的共轭复数 第21页/共23页第二十