线性代数子空间学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)子空间子空间第一页，共11页。12,nR 12,Hspan nR1122()().kksksH,H kR对任意对任意 有有11221122,sstt111222()(),ststH证明：零向量显然在证明：零向量显然在H中中. 任取任取H中两个向量中两个向量有有nR由定义，由定义，H是是 的子空间。的子空间。第1页/共11页第二页，共11页。12,npR 12,.,pHspan nR是是 的子空间的子空间.一般一般(ybn)地，地，我们有我们有命题：等价向量组生成命题：等价向量组生成(shn chn)相同的相同的子空间子空间.第2页/共11页第三页，共

2、11页。例例4.4.2 过原点的直线过原点的直线(zhxin)是一维子空是一维子空间，不过原点的直线间，不过原点的直线(zhxin)不是子空间不是子空间.例例4.4.3 在（欧式）空间在（欧式）空间(kngjin)中，中，设设1, ,0,TWx yx yR2,0,TWxzx zR30, ,TWy zy zR均是均是123,W W W3R的子空间的子空间.XY平面平面(pngmin)XZ平面平面YZ平面平面一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述. , 0 .nR两个特殊的子空间：两个特殊的子空间：第3页/共11页第四页，共11页。例：判别下列集合是否

3、为向量例：判别下列集合是否为向量(xingling)空间空间. 122222(1)0,(2)1,TnnTnnVxxxxxRVxxxxxR解：解： 221(1)0,0,TTnnaabbV 2210,TnnababV有有 21,0,.TnRaaV 有有所以，所以， 是向量空间。是向量空间。1V(2) 不是向量空间。不是向量空间。2V .2 ,2 , 2222VaaTn 则则 , 122VaaTn 因为若因为若第4页/共11页第五页，共11页。12,.mnColAspanR |,nColAbxRbAx存在，使得mR易知易知因此因此(ync)，ColA也称为也称为A的值域空间的值域空间Range(A)

4、.定理定理4.4.2 mn矩阵矩阵A的列空间的列空间ColA是是 的的子空间子空间.12,nA 记 则第5页/共11页第六页，共11页。134462 ,376A 33,4b例例4.4.4134 34 62 33 764A b Axb因此，方程组因此，方程组 相容，相容，b在在ColA中中.判断判断(pndun)b是否是否在在ColA中中.Axb解：解：b在在ColA中当且仅当方程组中当且仅当方程组 有解有解.13430618 15026513430618 150 000第6页/共11页第七页，共11页。|0 .nNulAxRAx定义定义4.4.3 设设A是是mn矩阵矩阵(j zhn)，A的零的

5、零空间空间NulA是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax=0的所有解的所有解向量构成的集合向量构成的集合. 即即第7页/共11页第八页，共11页。nRnR000AAA.NulA()00A kk Ac .kNulA所以所以NulA是是 的子空间的子空间.nR任意任意(rny)实实数数k，, 任取任取NulA中两个向量中两个向量第8页/共11页第九页，共11页。3 61 1712 231 ,24 584A12 01 30 01 220 00 00A124534523022000 xxxxxxx取取 为自由变量，则解为：为自由变量，则解为：245,x x x124534523 ,22 .xxxxxxx第9页/共11页第十页，共11页。然后，将一般解分解为以自由然后，将一般解分解为以自由(zyu)变量为权的向变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：量的线性组合（解的参数形式）：1245223452454455