线性代数全章学习教案

1、会计学1线性代数线性代数(xin xn di sh)全章全章第一页，共53页。2 例如: 在解析几何里，平面上直线的方程ax+by=c是二元一次方程；空间平面的方程Ax+By+Cz=D是三元一次方程;而空间直线视为两个平面相交(xingjio)，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示:线性关系问题简称(jinchng)线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。22221111DzCyBxADzCyBxA含有n个未知量的一次方程f(y)=a1x1+a2x2+anxn称为线性方程。关于变量(binling)是一次的函数f(y)=a1x1+a2x2+anxn称为线性函数。第2页/共53页第二页，共5

2、3页。3 线性代数作为独立的分支直到(zhdo)20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术(ji zhn sun sh)方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的实施行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具(gngj)，从而推动了线性代数的发展。第3页/共53页第三页，共53页。4 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线

3、性变换，以及(yj)与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。 线性代数的含义(hny)随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。第4页/共53页第四页，共53页。5 因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本(jbn)的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。 矩阵理论与线性方程组是线性代数的基本内容。矩阵是1850年由西尔维斯特首先提出

4、的，1858年卡莱建立了矩阵运算(yn sun)规则，矩阵理论广泛应用在线性代数中，矩阵是它的重要研究对象之一。第5页/共53页第五页，共53页。6二、研究(ynji)内容 基本(jbn)内容：矩阵(j zhn)理论线性方程组理论向量空间线性代数研究对象线性方程组线性代数研究工具矩阵线性代数研究方法矩阵的初等变换第6页/共53页第六页，共53页。71. 消元法与矩阵(j zhn)的初等变换2.3. 向量(xingling)空间Rn4. 线性方程组解的结构(jigu)5. 方阵的特征值与特征向量主要内容 矩阵理论基础 6. 二次型及其标准形*7. 线性空间与线性变换第7页/共53页第七页，共53

5、页。8矩阵(j zhn)行列式向量(xingling)组线性方程组二次型矩阵(j zhn)的初等变换第8页/共53页第八页，共53页。9教 材： “线性代数(xin xn di sh)” 江龙 等编1、线性代数(xin xn di sh)，同济版3、线性代数辅导(fdo)与提高， 胡建华 等编，矿大出版2、线性代数，刘慧，化学工业出版4、线性代数辅导与典型题解析 魏战线，西安交大出版社 参考书:三、教材与参考书 第9页/共53页第九页，共53页。10交作业(zuy)时间：每周二5,6节答疑(d y)时间：周1（8-11周），周4（2-11周） 时间：7、8节；地点：教1C300 每次全交第10

6、页/共53页第十页，共53页。11五、考核(koh)方式 1、平时成绩： 出勤、作业(zuy)、小测验2、考试成绩 第11页/共53页第十一页，共53页。12第12页/共53页第十二页，共53页。13一、矩阵(j zhn)的定义二、几种特殊(tsh)矩阵三、矩阵的初等变换行阶梯型矩阵与行最简形矩阵四、矩阵的等价关系第13页/共53页第十三页，共53页。14第14页/共53页第十四页，共53页。1511 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb线性方程组它的解取决于系数(xsh)和常数(chngsh)项kb1112112

7、1222212nnmmmnmaaabaaabaaab故对线性方程组的研究(ynji)可转 化为对这张表的研究(ynji). 引例1),21,21(njmiaij，；，第15页/共53页第十五页，共53页。161表示有航班(hn bn),0表示没有航班(hn bn) 引例2( P2 问题3 ) 四个城市间的单向(dn xin)航线如图：1234 0101001000011110可简单地用一个数表(sh bio)来表示：第16页/共53页第十六页，共53页。17 为表示它是一个整体(zhngt)，总是加一个大括号，并用大写字母A, B, C等记之。排成排成，；，个数个数由由),21,21(njmi

8、anmij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩阵。矩阵。简称简称列矩阵列矩阵行行称为称为nmnm ,。或或或或可简记为可简记为矩阵矩阵nmijnmijAaAaAA )()(列的数表列的数表行行的的nm A元素。元素。简称简称列的元素列的元素行第行第的第的第称为矩阵称为矩阵),(,jijiAaij第17页/共53页第十七页，共53页。18(1) 11的矩阵(j zhn)就是一个数。 (2) 行数与列数都等于(dngy) n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵(Square Matrix)或 n 阶矩阵。 (3) 只有一行(yxng)的矩阵 naaaA,21 称为(Row Matr

9、ix)或 n 维行向量。(4) 只有一列的矩阵 maaaA21称为(Column Matrix)或 m 维列向量。第18页/共53页第十八页，共53页。19(5) 元素全为零的矩阵(j zhn)称为零矩阵(j zhn)，记为O 。(6) 矩阵(j zhn) 111E(约定(yudng)未写出元素全为零)称为(Identity Matrix)。(7) 矩阵 n 21称为(Diagonal Matrix) 。记作),diag(21n第19页/共53页第十九页，共53页。20(8) 矩阵(j zhn) nnnaaaaaa121122111称为下三角(snjio)矩阵。 nnnaaaaaa121211

10、211称为上三角(snjio)矩阵。注:都是方阵第20页/共53页第二十页，共53页。21设 ，如果qpijnmijbBaA )(,)(qnpm ,(此时称A与B是) 且), 1;, 1(njmibaijij 则称 ，记作 A = B。 0000 000000问： 与 相等吗？第21页/共53页第二十一页，共53页。22 称矩阵的下面三种(sn zhn)变换分别为第一、第二、第三种(sn zhn)初等行变换(1) 交换矩阵的某两行，记为jirr (2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为jirkr 类似(li s)定义三种初等列变换jii

11、jikcckkccc )3()0()2()1(以上(yshng)变换统称为矩阵的初等变换第22页/共53页第二十二页，共53页。23 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7r2r4 1 5 -1 -1 3 8 -1 1例如(lr) 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14r2 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1 4 4-812 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1r3-3r1 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 0 -7 2

12、 4第23页/共53页第二十三页，共53页。24jirr jirr ikrirk1jikrr jikrr - -初等列变换(binhun)也有类似的结果逆变换逆变换逆变换第24页/共53页第二十四页，共53页。25书P.5-定义(dngy)4 0000100021200211 00000000002100010230行阶梯形矩阵(j zhn)（1）矩阵可用一阶梯型的折线分成两部分，线下元素全为零；（2）阶梯竖线对应一行；（3）靠近阶梯竖线的右边元素非零。第25页/共53页第二十五页，共53页。26 - -0000420021102111 - -0000000020002110 10030102

13、1 - -0000420021002110第26页/共53页第二十六页，共53页。27行最简阶梯形矩阵(j zhn)(行最简形) 0000100001100201 00000000002100010210台阶(tiji)上的第一个元素为1,且其所在(suzi)列其它元素全为零。第27页/共53页第二十七页，共53页。28用初等行变换(binhun)将 A 化为行阶梯形矩阵，进而(jn r)化为行最简阶梯形矩阵。 - - - - 6333401211216010A21rr - - - -6333401260101121 书P6-定理1.1.1 例1第28页/共53页第二十八页，共53页。2931

14、41121120106032230963rrrr- - - 324212113010600216900651rrrr- - - - - 132431436rrrr- - - 34241486rrrrrr - - - - - - -1000810060101121-10000100001001211210000100200100001rr 注意(zh y):箭头不能为等号！ - - - -6333401260101121第29页/共53页第二十九页，共53页。30 - - - - - - -97963422644121121112 - - - - - - -9796321132211124121

15、121rr 321r - - - - - - - -3433063550022204121132rr - -143rr - -132rr - - - - - - -31000620000111041211221r243rr - -235rr - - - -00000310000111041211 - - - -0000031000301104010143rr 342rr - -21rr - -32rr - - 例2第30页/共53页第三十页，共53页。31 例3 - - - - -46333340122112126000 - - - -032203120 例4第31页/共53页第三十一页，共5

16、3页。32(等价关系)在一个(y )集合 S 中如果有一种关系 R 满足: (1) 自反性：aRa; (2) 对称性：aRb bRa; (3) 传递性：aRb, bRc aRc。则称 R 为 S 的一个(y )等价关系。 有了等价关系就可以(ky)把S的元素进行分类，把相互等价的元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单”的元素作为代表，常称这个代表为某某标准形。第32页/共53页第三十二页，共53页。33 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 。BA矩阵的等价(dngji)具有如下性质：(1) 自反性： (

17、2) 对称性：(3) 传递性：AA ABBA 则则若若,CACBBA 则则若若,第33页/共53页第三十三页，共53页。34本节要求(yoqi)1、掌握矩阵的定义、几种特殊(tsh)矩阵、矩阵的相等 的定义。2、掌握矩阵(j zhn)的初等变换的定义。3、掌握行阶梯型矩阵及行最简形的定义，会用行 初等变换把矩阵化成行阶梯型进而化成行最简形。4、理解矩阵等价的定义及等价关系具有的性质。第34页/共53页第三十四页，共53页。35解线性方程组的消元法讨论(toln)有n个未知数m个方程的线性方程组 是否(sh fu)有解？ 若有解，解是否(sh fu)唯一？ 如何求出所有的解？ mnmnmmnnn

18、nbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111第35页/共53页第三十五页，共53页。36若B=(b1, b2, bm)TO，则称(1)为非齐次线性方程组若B=(b1, b2,， bm)TO，即： 则称(2)为(1)对应(duyng)的齐次线性方程组（或(1)的导出组） ) 1 (22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa) 2(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa第36页/共53页第三十六页，共53页。37) 1 (22112222

19、212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211系数(xsh)矩阵增广(zn un)矩阵第37页/共53页第三十七页，共53页。38解线性方程组解互换(1)与(2) 例1 - -)3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx - -)3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx - -241412114212 2414421-2121121rr - - 24442212321321

20、321xxxxxxxxx第38页/共53页第三十八页，共53页。39 2414421-21211 - - 24442212321321321xxxxxxxxx(2)-(1)2, (3)-(1)4 - - - - - - - - 243223123232321xxxxxxx131242rrrr- - - 2-4-3-022-3-01211第39页/共53页第三十九页，共53页。40(3)-(2) - - - - - - - - 243223123232321xxxxxxx 2-4-3-022-3-01211 - - - - - - - 4222312332321xxxxxx 4-2-0022-3

21、-0121123rr - -第40页/共53页第四十页，共53页。41(3) (-1/2)消元过程结束，以下过程称为“”。 - - - - - - - 4222312332321xxxxxx 4-2-0022-3-01211 210022-3-01211 - - 213r - - - 222312332321xxxxxx第41页/共53页第四十一页，共53页。42(2) (-1/3) - - - - 2233221xxxx 21002-0103-011 - - 312r(1)-(3)2，(2)+(3)2 2100603-03-011322312rrrr - - - - - 26333221xx

22、xx第42页/共53页第四十二页，共53页。43所以(suy)，消元法增广矩阵(j zhn)的初等行变换消元过程(guchng)就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简形的过程。(1) (2)原方程组的解为： - - - - 221321xxx 21002-0101-00121rr - - - - - - 221321xxx唯一解第43页/共53页第四十三页，共53页。44 - - - - - - - - - - - -154332232411213431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx解： - - - - - - -1540133223241112113

23、11 - - - - -200000012000651011311同解方程组最后一个(y )方程0= -2是矛盾方程，所以(suy)方程组无解。 例2第44页/共53页第四十四页，共53页。45解线性方程组 - - 73526332132132xxxxxxx解：增广(zn un)矩阵 - - 703151216330A 例3 7031633051-2121rr 第45页/共53页第四十五页，共53页。465121- -6330703113rr - -5121- -633021102331rr - -5121- -63300000312 r5121- -21100000212rr - -1301

24、- -21100000同解方程组同解方程组1331 - -xx 232 xx即1331 xx232 - - xx，令令kx 3则原方程组的解为 - - kxkxkx321213.,021113321Rkkxxx - - 即即有无穷(wqing)多解第46页/共53页第四十六页，共53页。47 - - - - - - - - 4325242122432143214321xxxxxxxxxxxx 例3 - - - - - -413215124212121 - -0000043431004745021如何(rh)写出方程组的解？第47页/共53页第四十七页，共53页。48 总结1、行阶梯(jit)型矩阵的最后一行的第一个非零元素出现在矩阵的最后一列，则方程组无解。（此时出现0=一个非零数这样的矛盾方程）2、行阶梯型矩阵的最后(zuhu)一行的第一个非零元素不在矩阵的最后(zuhu)一列，且阶梯的行数=未知量的个数，则方程组有