[理学]线性代数第1讲ppt课件

1、1线性代数线性代数12线性代数线性代数绪论绪论23问题：问题：1 1、什么是线性代数？、什么是线性代数？2 2、为什么要学线性代数？、为什么要学线性代数？3 3、怎么做才能学好线性代数？、怎么做才能学好线性代数？34axybaxy 一、什么是线性代数一、什么是线性代数？（一）线性（一）线性 线性线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，指量与量之间按比例、成直线的关系只有只有数乘和加减数乘和加减。线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种

2、函数形象地称为为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线线性性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。性函数。线性代数研究的都是线性问题线性代数研究的都是线性问题! !45 代数学的代数学的英英文名称是文名称是algebra，是，是9 9世纪阿拉伯世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原还原与对消的科学与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的是把本来淹没在方程中

3、的x把它暴露出来，还原了把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的方程是和代数紧密联系的。 “ “代数代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到18591859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为成为“代数学代数学”，一直沿用至今。，一直沿用至今。（二）代数（二）代数56 历史上历史上线性代数线性代数的第一个问题是关于解线的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成性方程组

4、的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。 另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了要求也促使了线性代数线性代数的进一步发展。的进一步发展。 67（一）线性方程组（一）线性方程组 求解线性方程组是数学问

5、题中最重要的问题，求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，超过超过75 %75 %的科学研究和工程应用中的数学问题，在的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。某个阶段都涉及线性方程组的求解。二、为什么要学线性代数：二、为什么要学线性代数： 线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。没什么再值得研究学习的，是这样的吗？没什么再值得研究学习的，是这样的吗？线性方程组线性方程组 22221211212111bxaxabxaxa是不是有解？有的话是唯

6、一解还是无穷多解？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？ 78 对于线性方程组我们主要研究三个问题对于线性方程组我们主要研究三个问题: : 前面的方程组有两个未知量，那如果有五个，前面的方程组有两个未知量，那如果有五个，十个，一百个十个，一百个把未知量的个数再把未知量的个数再代数代数一下，一下，n个个未知量呢？未知量呢？1 1、是否有解、是否有解? ?2 2、有唯一解还是有无穷多解、有唯一解还是有无穷多解? ?3 3、有无穷多解的话通解怎么表示、有无穷多解的话通解怎么表示? ?( (通解是指线性方程组所有解的通解是指线性方程组所有解的代数表示代数表示) )89（二）矩阵（二）矩阵 矩阵相关理

7、论知识在解决实际问题中也发挥着矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用：越来越重要的作用：用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用； 数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；图像就对应着一个矩阵； 著名的搜索引擎著名的搜索引擎GoogleGoogle则应用了矩阵的特征值和特则应用了矩阵的特征值和特征向量理论；征向量理论； 矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分矩阵相似于对角阵

8、的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。析及自动控制理论中不可缺少的工具。 910（三）向量、向量组、向量空间（三）向量、向量组、向量空间 对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。 进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。的认识。 （四）考研的需

9、要（四）考研的需要数学一：高等数学、线性代数和概率与统计数学一：高等数学、线性代数和概率与统计 数学二：高等数学和线性代数数学二：高等数学和线性代数 1011三、怎么做才能学好线性代数：三、怎么做才能学好线性代数：1 1、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑线上的，要对自己有信心。线上的，要对自己

10、有信心。 2 2、抽象性抽象性是线性代数的最大特点。所谓的抽象，是线性代数的最大特点。所谓的抽象，主要指的是我们研究的全是主要指的是我们研究的全是代数代数，不是具体的数。，不是具体的数。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。11123 3、 概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、的主要特

11、点，应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。能融会贯通，举一反三。 具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：具体在学习过程中，希望大家做到以下几点： (1)(1)课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习；课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习；(2)(2)注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算；用基本方法及基本运算；(3)(3)知识要成网。知识要成网。

12、1213 线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量组。向量组。 这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种上去，是学习线性代数种理论的叙述转移到另一种上去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。时应养成的一种重要习惯和素质。 131414 1515一、二阶行列式的引入16用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2

13、212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x1617;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.1718 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）

14、的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 181911a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算例如例如1223D) 4(3 71920 .,22221211212111bxaxabxaxa, aa aa D22211211 若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元

15、线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式2021 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa, aaaaD2221 1211 2122 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 2223则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.22211211221111

16、22aaaababaDDx 2324 . 12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 242511 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb对于三元线性方程组对于三元线性方程组用消元法可用消元法可解解得：得：二、三阶行列式二、三阶行列式2526122331223 313 2321233212 2331322 311122331223311321 3211233

17、21221 33132231,ba aa a ba b aba aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a a11 233123311321 31123 3121 3313 23121122331223311321 321123321221 33132231,a b aba aa a ba a bba aa b axa a aa a aa a aa a aa a aa a a1122 312 231121 3211 2321221 31223131122331223311321 321123321221 33132231a a ba b aba aa b

18、aa a bba axa a aa a aa a aa a aa a aa a a由方程组的九个系数确定由方程组的九个系数确定.2627333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .2728323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1

19、)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 2829333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa

20、332112aaa 2930 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .3031 ;,333323213123232221211313

21、212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb3132 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即3233 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaa

22、D 3334 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 3435 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxax

23、abxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 3536,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 36372-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 3738方程左端方程左端解解由由 解得解得2111230.49xx 例例3 3 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或3839例例4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 3940同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程