高等数学第三节向量数量积与向量积ppt课件

1、 假设有一质点在常力假设有一质点在常力 (大小与方向均不变大小与方向均不变) F 的的作用下，作用下， 那么位移那么位移 ，AB s规定两向量规定两向量 a , b 的正方向之间不超越的正方向之间不超越 180 的的夹角为向量夹角为向量 a 与与 b 的夹角，的夹角， 记作记作 (a , b) ，或，或 (b , a).由点由点 A 沿直线挪动到点沿直线挪动到点 B，由物理学可知，由物理学可知，力力 F 所做的功为所做的功为),(cossFsF WFAsB定义定义 1 1两向量两向量 a 、b 的模及其夹角余弦的连的模及其夹角余弦的连乘积，乘积，称为向量称为向量 a 、b 的数乘积或点积，的数

2、乘积或点积，记为记为 a b ， 即即),(cosbababa 由数量积的定义，由数量积的定义，上述作功问题可以表示为上述作功问题可以表示为W = F s. abab( a )baba( b ) 称为向量称为向量a 在向量在向量 b 上的上的投影投影 ，记为，记为ab , ),(cosbaa定义定义 2 2即即),(cosbaaa b类似地类似地),(cosabb ab所以，两向量的数量积也可以用投影表示为所以，两向量的数量积也可以用投影表示为.abba abba交换律交换律,abba 结合律结合律),()()(为为数数量量mmmbaba 分配律分配律.)(cabacba 由数量积的定义可知由

3、数量积的定义可知所以所以. 1 kkjjii,),cos()1(2aaaaaaa 当当 a、b 均均为非零向量，为非零向量，当当 a 、b 中至中至少有一个是零向量时，少有一个是零向量时，我们规定零向量与任何向量都我们规定零向量与任何向量都垂直垂直.即即 a 与与 b 垂直垂直.那么那么 cos ( a , b ) = 0.(2) (2) 假设两个非零向量假设两个非零向量 a a、b b 相互垂直，相互垂直， 即即a b.即有即有a b = 0；反之，反之，且且 a b = 0 时，时， 那么那么 cos ( a , b ) = 0，从从而而断断定定 2),( ba这样，这样， 两个向量相互垂

4、直的充要条件是两个向量相互垂直的充要条件是由这个结论可得由这个结论可得. 0 ikkjjia b = 0. ba)()(222111kzjyixkzjyix kizxjiyxiixx 212121kjzyjjyyijxy 212121kkzzjkyzikxz 212121.212121zzyyxx 即即.212121zzyyxxba 因此，因此， 两向量的数量积等于它们对应坐标乘积两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和之和. 利用利用数量积的运算规律有：数量积的运算规律有：2.数量积的坐标计算式数量积的坐标计算式,111kzjyixa 设设,222kzjyixb 均为非均为非零向量，零向量，3

5、.两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式,111kzjyixa 设设kzjyixb222 由两向量的数量积定义可知由两向量的数量积定义可知:),(cosbababa .222222212121212121zyxzyxzzyyxx 例例 1 知知 a = i + j，b = i + k，求求a b,),(cosba及及 ab .解解由公式可得由公式可得 , 10011,0,10,1, 1 babababa ),(cos2222221010111 ,21 .22212 ),(cosbaa b例例 2 设力设力 F = 2i -3 j+4k作用在一质点上，质作用在一质点上，质点

6、由点由A1,2,-1沿直线挪动到沿直线挪动到B3,1,2. 求：求：(1)力力F所做的功；所做的功；2力力F与位移与位移 的夹的夹角力的单位为角力的单位为N，坐标的单位为，坐标的单位为m.AB所以力所以力 F所做的功为所做的功为 解解，)J(1934) 1() 3(22 ABFW 由于由于 F = 2i -3 j+4k，,32) 12() 21 () 13(kjikjiAB ABFABFABF ),(cos2222223) 1(24)3(219 又又,9429. 0 所以，力所以，力F与位移与位移 的夹角约为的夹角约为.7219o AB 且与且与 a 垂垂直，直， 由于它在由于它在 x y 坐

7、标面上，坐标面上， 向量向量 a = 4i + 3j + 7k垂直垂直例例 3 3 求在求在 x y 坐标面上与坐标面上与的单位向量的单位向量.解解设所求的向量为设所求的向量为 b = x , y , z .所以所以 z = 0 . 又由于又由于 b 是单位向量是单位向量所以所以 , 1 b, 0 ba即有即有 0z,1222 zyx.0734 zyx解之得解之得0,54,53 zyx故所求向量故所求向量jib5453 .5453jib 或或 它的正方它的正方向由右手法那么确定，向由右手法那么确定，定义定义 3 3 设有两向量设有两向量 a，b ，假设向量，假设向量 c 满满足足:);,(si

8、n1babac ) )( (2) c (2) c 垂直于垂直于 a a，b b 所确定的平面，所确定的平面，那么称向量那么称向量 c 为为 a 与与 b 的向量的向量积，积，记为记为 a b，即，即 c = a b .因此向量积也称为叉积因此向量积也称为叉积.由向量积的定义可知，由向量积的定义可知， a b 的模等于以的模等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积为邻边的平行四边形面积.向量积具有以下运算规律：向量积具有以下运算规律：;abba );()()(bababa .)(cabacba 由向量积的定义可知由向量积的定义可知:(1) i (1) i j = k j = k ， j k = i

9、 ，ki = j ; (2) 两个非零向量两个非零向量 a ，b 相互平行的充分必相互平行的充分必要条件是要条件是 ab = 0. c = abab所以所以 sin (a , b) = 0.当当 a ，b 中至少有一个为零向量时，中至少有一个为零向量时，现实上，现实上， 假设假设a / b ，那么那么 ( a , b ) = 0或或 ， 即有即有 , 0),(sin bababa因此因此 a b = 0. 当当 a、b 为非零向量，为非零向量，反之，反之，且且 a b = 0 时，那时，那么么ba sin (a , b) = 0.0,0 ba因因为为 从而断定从而断定 (a , b) = 0

10、或或 ，即即 a / b . 我我们规定零向量与任何向量平行们规定零向量与任何向量平行. 这样，两个向量这样，两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为平行的充要条件是这两个向量的向量积为 0 .由此可知由此可知:,0 ii.0 kk,0 jj利用向量积的运算规律有：利用向量积的运算规律有：2 .向量积的坐标计算式向量积的坐标计算式,111kzjyixa 设设.222kzjyixb ba)()(222111kzjyixkzjyix kizxjiyxiixx 212121k jzyjjyyijxy212121k kzzjkyzikxz212121.)()()(122112211221kyxyx

11、jzxzxizyzy 将上式将上式表示为：表示为： 为了便于记忆，为了便于记忆， 我们借用行列式记号，我们借用行列式记号，.222111zyxzyxkjiba 由于两个向量由于两个向量 a，b 平行的充要条件是平行的充要条件是 a b = 0，因此，可将因此，可将 a，b 平行的充要条件表示为平行的充要条件表示为:,01221 zyzy,01221 zxzx.01221 yxyx当当 x2，y2，z2 全不为零时，有全不为零时，有,212121zzyyxx 我们商定相应的分我们商定相应的分子为零，例如子为零，例如:当当 x2，y2，z2 中出现零时，中出现零时，,021211zzyyx 应了解

12、为应了解为:., 021211zzyyx ba211112 kji.35kji 由公式得由公式得解解,2 kjia 设设例例 4,kjib .ba 求求 求以求以 A(2, 2 , 0)，B(1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )为顶点的为顶点的 ABC 的面积的面积.例例 5 5解解 由向量积的定义可知由向量积的定义可知 ABC 的面积的面积.21ACABS ，因因为为 1,2,3 AB ,2,3,1 AC ACAB231123 kji,75kji 故故 ABC 的面积的面积.325)7(512121222 ACABS 假设假设 a b = c，那么那么 c 同时垂直于同时垂直于a 和和 b ，例例 6 6 求同时垂直于向量求同时垂直于向量 和和 3,5,4 a .1,2,2 cb的的单单位位向向量量解解由向量积的定义可知，由向量积的定义可知，bac 122354kji ,22kji 因此，与因此，与 ca b 平行的单位向量应有两个：平行的单位向