[理学]第八章 Laplace变换ppt课件

1、第二部分 积分变换拉普拉斯(Laplace)变换 第八章第八章 LaplaceLaplace变换变换本章学习目标 1、Laplace变换的概念; 2、Laplace变换的性质; 3、Laplace逆变换; 4、常微分方程的Laplace变换解法. 1. Laplace变换的概念傅氏变换对傅氏变换对函数绝对可积的函数绝对可积的要求是比较强的要求是比较强的,甚至很甚至很多初等函数也不满足这个条件多初等函数也不满足这个条件, 例如例如: 指数函数指数函数, 线线性函数以及幂函数性函数以及幂函数. 另外另外, 实际应用中许多以时间为实际应用中许多以时间为自变量的函数在自变量的函数在 内无定义内无定义,

2、对这样的函数就不对这样的函数就不能作能作Fourier变换变换. 鉴于上述及其其它更多的理由鉴于上述及其其它更多的理由, Laplace变换应运而生变换应运而生.)0 ,(从从FourierFourier变换到变换到LaplaceLaplace变换变换下面我们通过三个数学过程来引入下面我们通过三个数学过程来引入LaplaceLaplace变换变换: :(1).), 0(),(上的问题上的问题转化成半空间将全空间),( ),()()( ,)0 ,( 0), 0 1)(ttutftgtttu构造函数引进单位阶跃函数(2).)(), 0满足绝对可积条件上的函数使定义在tgdtetfdtththetg

3、thettt0| )(| )(| ,),()()()( ),0( 即上满足绝对可积的条件在这极可能使构造函数引进指数衰减函数.)(,作傅氏变换就可对足若绝对可积条件得到满th(3).)( 作傅氏变换对thdtetfdtetfdteetfdteetutfthsttitittit00)(0)( )( )()()( )(is令拉氏变换是对傅氏变换拉氏变换是对傅氏变换的一种改造的一种改造(推广推广)！.Fourier, 0变换则上式为单边若取变换：边更一般地，我们定义双 Laplacedtetfthst)( )(L L.，使得积分收敛其中，适当地选取.LaplaceLaplace变换的收敛域的集合，称

4、为数变换积分收敛的那些复使sLaplaceLaplace变换存在定理变换存在定理).( ),(Laplace)()(,)( )(),(Laplace)()(,)( )( ,),()(1 -0sFsFtftfsFtfsFsdtetfsFistfst记为像原函数逆变换的为称；相应地记为像函数变换的为则称的某个区域收敛在复平面积分如果对于复数上的实值函数是定义在设函数L LL L.,)Re(.0 ,| )(| , 00 ,)(,)2(;0) 1 ()( 且是解析的上一定存在则的拉氏变换在半平面成立使得及即存在常数指数函数的增长速度不超过某一时当连续的任何有限区间上分段在满足设函数CstMetfCMt

5、ftttfCt)(tfCtMetMetfCt0 ,| )(|ft几点说明：几点说明：.Laplace1只是它们的收敛域不同变换表达式，完全相同的）不同的信号可能会有.Laplace2关系和信号建立一一对应的应的收敛域，才能变换的表达式，连同相）只有.Laplace3敛域的公共部分变换的收敛域是各个收）.)(,Laplace4的分母的根相对应的且它的边界总是与边界的行于虚轴的直线作为变换的收敛域总是以平）sF例例1.1)(的拉氏变换求tf解解ttstststesdtedtetfsF0001)( )(有设,is于是时当对于注意到. 0| , 0,tsteet).0(Re 11 )(0ssessFt

6、tst例例2.,)(为实常数的拉氏变换求ketfkt解解)0)(Re( 1 1)( )(0)(00kskseksdteedtetfsFtttksstktst有设,is取取k k=0=0例例3.,sin)(为实常数的拉氏变换求kkttf解解有设,is220)(0)(0000000 11212121)(21)(212sin)( )(kskiksiksidtedteidtedteidteeeeidteeeidteieedtektdtetfsFtikstiksstiktstiktstiktstiktstiktiktstiktiktstst0)Re(0)Re(0)Re(siksiks例例4.1,)(为整

7、数的拉氏变换求mttfm解解有设,is |1 1)( 1010000mstmttstmstmstmstmtsmdtetsmetsdetsdtetdtetftL LL LL L0)Re(s1)1(122! 12) 1( 2) 1( ) 1( mmmmmmmmsmtsmmtsmmtsmmL LL L)0)(Re( 1 1 ss)0)(Re( sin22skskkt)0)(Re( cos22sksskt)0)(Re( !1ssmtmm)(Re( 1 ksksektL LL LL LL LL L熟记几个常用的公式熟记几个常用的公式: :Laplace变换的收敛域是各个收变换的收敛域是各个收敛域的公共部

8、分敛域的公共部分!2. Laplace变换的性质假定凡是需求拉氏变换的函数都满足拉氏积分定理中的条件假定凡是需求拉氏变换的函数都满足拉氏积分定理中的条件. .1 1 线性性质线性性质 , 设设为常数则为常数则2 2 像原函数的像原函数的延迟延迟( (时移时移) )性质性质 若若则对任意实数则对任意实数 )()(sFetfs).()(1tfFes L LL L L L L LL L )( )(11tfsF )( )(22tfsF)()( )()( 2121sFsFtftf)()( )()(21121sFsFtftf0,)(,0, )( )(tfttfsF时又当L L0L L即延迟了一个时间值开始

9、有非从而值开始有非从,0)(,00)(ttfttf3 3 像函数的（或像函数的（或s s域）域）平移性质平移性质 若若为复常数为复常数, ,则则 ),()(asFtfeatL L )( )(tfsFL La)()()()(0)(0asFdtetfdtetfetfetasstatatL L)()()( )()()(00)(0sFedueufedueeufdueufdtetftfssusssuustustL L例例5. 1 0)(的拉氏变换求tttu解解有由于,1)( stuL Lsetus1)( L L4 4 像原函数的像原函数的微分性质微分性质 则则若若一般地一般地, ,则则 )0()(fss

10、Ftf ) 0 () 0 () 0 () 0 ()() 1()2(21)(nnnnnnfsffsfssFstf)()0()()()()()(000ssFfdtetfstfetdfedtetftfstttststst0|)(| )(|,tstetftfet有时当分部积分分部积分 )( )(tfsFL LL LL LL L含含n+1项项像函数的像函数的微分性质微分性质 若若则则 sFdd一般地一般地, ,有有 nnsF) 1(ddn)(ttf)(tftn )( )(tfsFL LL LL L Fnddn)()(tfitn像函数的导函数像函数的导函数等于它的像原函等于它的像原函数乘以一个因子数乘以一

11、个因子-t的的拉氏变换拉氏变换例例1.,cos)(为实常数的拉氏变换求kkttf解解有由于,cos)(, 0)0(, 1)0(2ktktfff )0()0()()( cos22fsfsFstfktk L LL L于是2222)()( )(ksssFssFssFkL L例例2.,sin)(为实常数的拉氏变换求kktttf解解22ddsin ddsinksksktskttL L222)(2ksks像原函数的像原函数的微分性质微分性质像函数的微像函数的微分性质分性质例例3).(,11ln)()(tfsssFtf求的拉氏变换已知解解1111)() 1ln() 1ln()(sssFsssFL L)()(

12、 sFttf根据根据像函数的微分性质像函数的微分性质: :有有L L1111 1)(1ssttf)( 1tteet)(Re( 1 ksksektL L.Laplace).()(逆变换中常见与此相反的问题但在实际应用，求它的像函数前面，由已知函数sFtf利用拉氏变利用拉氏变换的性质，换的性质，凑！凑！利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变换！换！5 5 像原函数的积分性质像原函数的积分性质 )( 1)( ),()( ,)()(0tfstgsFtfdttftgt则设)( )( )()(,)()

13、(0tftgtftgdttftgt则设)( 1)( )( )0()( tfstgtfgtgs需要条需要条件！件！一般地一般地, ,)( 1)( tfstgn则设,)()(00ttdttfdttgn层积分层积分L LL LL LL LL LL LL LL LL LL LL L一个函数积分后一个函数积分后的拉氏变换等于这的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以因子个函数的拉氏变换除以因子s像函数的积分性质像函数的积分性质 dssFttfsFtfs)()( ),()( 则若一般地一般地, ,n层积分层积分L LL LL LL LdssFttfs)( )(1或者dssFdsttfssn)()( 像函数积分

14、像函数积分等于它的像原函数除以一等于它的像原函数除以一个因子个因子t的拉氏变换的拉氏变换例例4.sh)(的拉氏变换求tttf解解)1(21)1(212 sh sseettt由于L LL Ldstttssh sh 则L LL L11ln21)1ln(21)1ln(21)1(21)12(1 ssssdssss像函数的积像函数的积分性质分性质 例例6.2sin)(03的拉氏变换求dttettftt解解有由于记为),(422sin 12sGstL LL L4)3(2)3(2sin 213ssGtetL L4)3(22sin 12sin2303sstesdttetttdttesdttettttt0303

15、2sin dd2sinL Ldttettftt032sin)(L LL L分析方向分析方向求解方向求解方向利用利用LaplaceLaplace变换的性质可计算某些广义积分变换的性质可计算某些广义积分设设 L L )( )(tfsF有有),()(0sFdtetfst),()(0sFdtettfstdFdtettfsst)()(0定义定义微分性质微分性质积分性质积分性质若当若当s取某个实数取某个实数k时时, 上述各式左端的广义积分均收敛上述各式左端的广义积分均收敛,则可则可在上述各式的右端以在上述各式的右端以s=k代入来间接求得各广义积分的值代入来间接求得各广义积分的值.),()(0kFdtetf

16、kt),()(0kFdtettfktdFdtettfkkt)()(0特别特别, 取取k=0例例7dtettdttett003cos1 )2( ;2cos ) 1 (计算下列积分计算下列积分: :解解有由,4cos2t ) 1 (2ss13342cos3203stssdtteL LL L有由,11cos1 )2(2ssstdssssdtettsst11cos1 20ss1ln212., 1 即得令 s像函数的积分性质（像函数的积分性质（8.9）视视3 3为为s s7 7 卷积与卷积定理卷积与卷积定理定义定义4.14.1ttftftftfdtfftftfttftf02121212121).()(,

17、)()()()(, 0)()(,0 :)(),( 记为的卷积与称为则积分时当都满足条件设-2121)()()()(dtfftftftdtffdtff021021)()()()(0t事实上事实上, ,).()(sin)( ,)(2121tftfttfttf的卷积设例例8 8解解tttddttftf0021)cos()sin()()(dtttt00)cos()cos(ttt0)sin()sin(0tdttttsin卷积定理卷积定理则若),( )( ),( )(2211tfsFtfsF)()()(*)(2121sFsFtftfdtedtffdtetftftftfsttst002102121)()()

18、(*)()(*)( L LL LL LL Lotddtetffst021)()(t) 1 () 1 (ddueuffustu)(021)()()()()()(21021sFsFdedueuffssu)2()2().( )( ,)1 (1)(122sFtfsssF求已知例例9 9解解tdttttf0)sin(sin*)(dtttt00)cos()cos(ttt0)sin()sin(0tdttttsinL L有已知,111)1 (1)(2222sssssFtsts21211 ,sin11L LL L).( )(,1sFtf于是L L利用拉氏变换利用拉氏变换的某些性质和的某些性质和一些已知的拉一些已

19、知的拉氏变换对，可氏变换对，可求出某些像函求出某些像函数的拉氏逆变数的拉氏逆变换！换！3. Laplace逆变换逆变换-围道积分法围道积分法反演积分公式的推导反演积分公式的推导dteetutfsFiFtit)()()()(,有由拉氏变换定义deiFetutftttfetutftitt)(21)()( ,)0( )(,)()(,有处续点的连在件满足傅氏积分定理的条若因此deiFtutfetit)()(21)()( ,则有将上式两边同除dsesFitutfisiist)(21)()( ,则有令这是求像函数的拉氏逆变换的一般公式这是求像函数的拉氏逆变换的一般公式, , 称为称为反演积分公式反演积分公

20、式. . 右端的积分称为右端的积分称为反演积分反演积分. . .)(,)Re(的存在域中位于且条直线平面上与虚轴平行的一其积分路径是sFss)0( )(21)( tdsesFitfiist因此有平面s.)(,)(的奇点直线的右边不含有因此此在存在域中解析由于sFsF存在域)Re(s如何计算上面的积分？如何计算上面的积分？利用留数计算反演积分利用留数计算反演积分-留数法留数法定理定理3.13.1nkkstiistnsesFsdsesFissFssssF11,)(Re)(21 .)Re( . 0)(, )2( , ) 1 ( )( 则有的半平面内使这些奇点全在且实数时当限个孤立奇点在有限复平面内只

21、有有满足如下条件：设平面s存在域)Re(sRC.232 ,Re:iRsC).( )( ,) 1)(2(1)(12sFtfsssF求已知例例1 1解解L L计算准则，有由留数的一级极点和二级极点分别是由于,)(1, 221sFss,) 1)(2()2(lim2 ,)(Re222tstsstessesesFs)1 (2ddlim)!12(1) 1)(2() 1(ddlim)!12(1 1 ,)(Re12222tesesssessesFstsstsstsst21,)(Re)(kkstsesFstf4. 常微分方程的Laplace变换解法.) 3()2(;) 1 (微分方程的解取拉氏逆变换，得出原到像

22、函数；解上述的代数方程，得函数的代数方程，将微分方程转化成像在方程两端取拉氏变换一般步骤：一般步骤：.1|, 0|3200的解满足初始条件求方程 tttyyeyyy例例1 1解解得初始条件并应用在方程两边取拉氏变换记,),( )( sYtyL L,11)(3)0()( 2)0()0()(2ssYyssYysysYs11)(3)(21)(2ssYssYsYs. 1|, 0|00ttyy)3)(1)(1(2)32)(1(2)(2sssssssssY解得而有三个一级极点, 3, 1, 1)(321ssssYtstssteesssssesYs41)3)(1)(1(2) 1(lim 1,)(Re1tst

23、ssteesssssesYs83)3)(1)(1(2) 1(lim 1 ,)(Re1tstssteesssssesYs3381)3)(1)(1(2)3(lim 1 ,)(Re31,)(Re)(kkstsesYsty从而.)(,)0(0 ),()()(为已知函数均为常数，其中求方程tfcbacxttftbxtxa例例2 2解解得并应用初始条件变换对方程两边取拉氏记,)()( ),( )( sFtfsXtxL L),()()0()(sFsbXxssXacxt0|)(111)()(sFabsaabscbasacsFsX解得上式的拉氏逆变换为L L).()()(sFsbXacsasX).(*1)(tfeacetxtabtab).(