2015年天津市高考数学试卷（理科）解析版

1、2015年天津市高考数学试卷（理科）解析版参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，则集合AUB（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，8【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，UB2，5，8，则AUB2，5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练

2、掌握运算法则是解本题的关键2（5分）设变量x，y满足约束条件x+20x-y+302x+y-30，则目标函数zx+6y的最大值为（）A3B4C18D40【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由zx+6y得y=-16x+16z，平移直线y=-16x+16z，由图象可知当直线y=-16x+16z经过点A时，直线y=-16x+16z的截距最大，此时z最大由x-y+3=02x+y-3=0，解得x=0y=3，即A（0，3）将A（0，

3、3）的坐标代入目标函数zx+6y，得z3×618即zx+6y的最大值为18故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A10B6C14D18【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i8时满足条件i5，退出循环，输出S的值为6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S20，i1i2，S18不满足条件i5，i4，S14不满足条件i5，i8，S6满足条件i5，退出循

4、环，输出S的值为6故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题4（5分）设xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5（5分）如图，在圆O中，

5、M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为（）A83B3C103D52【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】17：选作题；5M：推理和证明【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可【解答】解：由相交弦定理可得CMMDAMMB，2×4AM2AM，AM2，MNNB2，又CNNEANNB，3×NE4×2，NE=83故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础6（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，3），且双曲线的一个焦点在抛物线

6、y247x的准线上，则双曲线的方程为（）Ax23-y24=1Bx24-y23=1Cx221-y228=1Dx228-y221=1【考点】KB：双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意，ba=32，抛物线y247x的准线方程为x=-7，双曲线的一个焦点在抛物线y247x的准线上，c=7，a2+b2c27，a2，b=3，双曲线的方程为x24-y23=1故选：B【点评】

7、本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）已知定义在R上的函数f（x）2|xm|1（m为实数）为偶函数，记af（log0.53），bf（log25），cf（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m0，从而f（x）2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：af（|log0.53|），bf（log25），cf（0），然后再比较自变量的值，根据f

8、（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）f（x）；2|xm|12|xm|1；|xm|xm|；（xm）2（xm）2；mx0；m0；f（x）2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且af（|log0.53|）f（log23），bf（log25），cf（0）；0log23log25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8（5分）已知函数f（x）=2-|x|，x2(x-2)2，

9、x2，函数g（x）bf（2x），其中bR，若函数yf（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（74，+）B（，74）C（0，74）D（74，2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用【分析】求出函数yf（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）bf（2x），yf（x）g（x）f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）0，得f（x）+f（2x）b，设h（x）f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）f（x）+f（2x）2+

10、x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）f（x）+f（2x）2x+2|2x|2x+22+x2，若x2，x2，2x0，则h（x）f（x）+f（2x）（x2）2+2|2x|x25x+8即h（x）=x2+x+2，x02，0x2x2-5x+8，x2，作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）2+x+x2（x+12）2+7474，当x2时，h（x）x25x+8（x-52）2+7474，故当b=74时，h（x）b，有两个交点，当b2时，h（x）b，有无数个交点，由图象知要使函数yf（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）b恰有4个根，则满足74b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判

11、断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二.填空题（每小题5分，共30分）9（5分）i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为2【考点】A1：虚数单位i、复数菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值【解答】解：由（12i）（a+i）（a+2）+（12a）i为纯虚数，得a+2=01-2a0，解得：a2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题10（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为83m3【考点】L!：

12、由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；该几何体的体积为V几何体2×1312×1+122=83故答案为：83【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11（5分）曲线yx2与yx所围成的封闭图形的面积为16【考点】69：定积分的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；52：导数的概

13、念及应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线yx与曲线yx2所围图形的面积S01（xx2）dx而01（xx2）dx（12x2-13x3）|01=12-13=16曲边梯形的面积是16故答案为：16【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数12（5分）在（x-14x）6的展开式中，x2的系数为1516【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】1

14、1：计算题；5P：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数【解答】解：（x-14x）6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r（x）6r（-14x）r（-14）rC6rx62r，令62r2，解得r2，展开式中x2的系数为116×C62=1516，故答案为：1516【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题13（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ABC的面积为315，bc2，cosA=-14，则a的值为8【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形

15、【分析】由cosA=-14，A（0，），可得sinA=1-cos2A利用SABC=12bcsinA=315，化为bc24，又bc2，解得b，c由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA即可得出【解答】解：A（0，），sinA=1-cos2A=154SABC=12bcsinA=12×154bc=315，化为bc24，又bc2，解得b6，c4由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA36+1648×(-14)=64解得a8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）在等腰梯形ABCD中，

16、已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=BC，DF=19DC，则AEAF的最小值为2918【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】2：创新题型；5A：平面向量及应用【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意，得到ADBCCD1，所以AEAF=（AB+BE）（AD+DF）（AB+BC）（AD+19DC）=ABAD+BCAD+19ABDC+19BCDC=2×1×cos60°+1×1×cos60°

17、+19×2×1+19×1×1×cos120°1+2+29-1181718+23=2918（当且仅当2=29时等号成立）；故答案为：2918【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三.解答题（本大题共6小题，共80分）15（13分）已知函数f（x）sin2xsin2（x-6），xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间-3，4内的最大值和最小值【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】56

18、：三角函数的求值【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=-12sin（2x-6），由周期公式可得；（）由x-3，4结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值【解答】解：（）化简可得f（x）sin2xsin2（x-6）=12（1cos2x）-121cos（2x-3）=12（1cos2x1+12cos2x+32sin2x）=12（-12cos2x+32sin2x）=12sin（2x-6）f（x）的最小正周期T=22=；（）x-3，4，2x-6-56，3，sin（2x-6）1，32，12sin（2x-6）-12，34，f（x）在区间-3，4内的最大值和最小值分别为34，-12【点评】本题考查

19、两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题16（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，

20、然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有P（A）=C22C32+C32C32C84=635，事件A发生的概率为635；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（Xk）=C5kC34-kC84（k1，2，3，4）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 114 37 37 114随机变量X的数学期望E（X）=1×114+2×37+3×37+4×114=52【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型

21、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题17（13分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点（）求证：MN平面ABCD（）求二面角D1ACB1的正弦值；（）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别

22、为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与MN的数量积为0，即得结论；（）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（）通过设A1E=A1B1，利用平面ABCD的一个法向量与NE的夹角的余弦值为13，计算即可【解答】（）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），又M、N分别为B1C、D1D的中点，M（1，12，1），N（1，2，1）由题可知：n=（0，0，

23、1）是平面ABCD的一个法向量，MN=（0，-52，0），nMN=0，MN平面ABCD，MN平面ABCD；（）解：由（I）可知：AD1=（1，2，2），AC=（2，0，0），AB1=（0，1，2），设m=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由mAD1=0mAC=0，得x-2y+2z=02x=0，取z1，得m=（0，1，1），设n=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由nAB1=0nAC=0，得y+2z=02x=0，取z1，得n=（0，2，1），cosm，n=mn|m|n|=-1010，sinm，n=1-(-1010)2=31010，二面角D1ACB1的正弦值为31010；（）解：由题意可设

24、A1E=A1B1，其中0，1，E（0，2），NE=（1，+2，1），又n=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，cosNE，n=NEn|NE|n|=1(-1)2+(+2)2+12=13，整理，得2+430，解得=7-2或2-7（舍），线段A1E的长为7-2【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题18（13分）已知数列an满足an+2qan（q为实数，且q1），nN*，a11，a22，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和an的

25、通项公式；（2）设bn=log2a2na2n-1，nN*，求数列bn的前n项和【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）通过an+2qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知bn=n2n-1，nN*，写出数列bn的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）an+2qan（q为实数，且q1），nN*，a11，a22，a3q，a5q2，a42q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差

26、数列，2×3q2+3q+q2，即q23q+20，解得q2或q1（舍），an=2n-12，n为奇数2n2，n为偶数；（2）由（1）知bn=log2a2na2n-1=log22n2n-1=n2n-1，nN*，记数列bn的前n项和为Tn，则Tn1+212+3122+4123+（n1）12n-2+n12n-1，2Tn2+2+312+4122+5123+（n1）12n-3+n12n-2，两式相减，得Tn3+12+122+123+12n-2-n12n-13+121-(12)n-21-12-n12n-13+1-12n-2-n12n-14-n+22n-1【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分

27、类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19（14分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c，|FM|=433（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】2：创新题型；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率为33，计算可得a23c2、b22c2，设直线FM的

28、方程为yk（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，233c），利用|FM|=433计算即可；（）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x（-32，1）与x（1，0）两种情况讨论即可得到结论【解答】解：（）离心率为33，c2a2=a2-b2a2=13，2a23b2，a23c2，b22c2，设直线FM的斜率为k（k0），则直线FM的方程为yk（x+c），直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c，圆心（0，0）到直线FM的距离d=|kc|1+k2，d2+(c2)2=(b2)2，即（|kc|1+k2）2+(

29、c2)2=(b2)2，解得k=33，即直线FM的斜率为33；（）由（I）得椭圆方程为：x23c2+y22c2=1，直线FM的方程为y=33（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx5c20，解得x=-53c，或xc，点M在第一象限，M（c，233c），|FM|=433，(c+c)2+(233c-0)2=433，解得c1，a23c23，b22c22，即椭圆的方程为x23+y22=1；（）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，F（1，0），t=y-0x+1，即yt（x+1）（x1），联立方程组y=t(x+1)x23+y22=1，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）26，又

30、直线FP的斜率大于2，6-2x23(x+1)22，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0且x1，解得-32x1，或1x0，设直线OP的斜率为m，得m=yx，即ymx（x0），联立方程组y=mxx23+y22=1，消去y并整理，得m2=2x2-23当x（-32，1）时，有yt（x+1）0，因此m0，m=2x2-23，m（23，233）；当x（1，0）时，有yt（x+1）0，因此m0，m=-2x2-23，m（，-233）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（，-233）（23，233）【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基

31、础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）nxxn，xR，其中nN，且n2（）讨论f（x）的单调性；（）设曲线yf（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）g（x）；（）若关于x的方程f（x）a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2x1|a1-n+2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】16：压轴题；2：创新题型；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用【分析】（）由f（x）nxxn，可得f（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性（）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n1n-1，f（x0）nn2，可求g（x）f（x0）（xx0），F（x）f（x）f（x0）由f（x）nxn1+n在（0，+）上单调递减，可求F（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+）上单调递减，即可得证（）设x1x2，设方程g（x）a的根为x2'，由（）可得x2x2'设曲线yf（x）在原点处的切线方程为yh（x），可得h（x）nx，设方程h（x）a的根为x1'，可得x1'x1，从而可得：x2x1x2'-x1'