2007年天津市高考数学试卷（理科）考点卡片

1、考点卡片1充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与q互为充要条件【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可证明题目需要

2、证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有

3、明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广2奇函数、偶函数【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称解题方法点拨：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x0时，f（x）x2+x那么当x0时，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x 命题

4、方向： 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况求参数或者求函数的表达式【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称解题方法点拨：运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（2）0，周期为2，那么在区间（2，8）函数与x轴至少有几个交点命题方向： 与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择

5、题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用3指数式与对数式的互化【知识点归纳】abNlogaNb；alogaNN；logaaNN指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）bf（x）logab；logaf（x）bf（x）ab（定义法）（2）af（x）ag（x）f（x）g（x）；logaf（x）logag（x）f（x）g（x）0（同底法）（3）af（x）bg（x）f（x）logmag（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）=1logablogag(x)；（换底法）（5）Aloga2x+Blogax+C0（A（ax）2+Bax+C0）（设

6、tlogax或tax）（换元法）4对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）5反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数yf（x）（xA）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到xg（y）若对于y在中的任何一个值，通过xg（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，xg（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函

7、数，这样的函数yg（x）（yC）叫做函数yf（x）（xA）的反函数，记作yf（1）（x） 反函数yf（1）（x）的定义域、值域分别是函数yf（x）的值域、定义域【性质】反函数其实就是yf（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f1（x）图象关于直线yx对称；函数及其反函数的图形关于直线yx对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数yf（x），定义域是0 且 f（x）C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是C，值域为0 ）奇函数不一定

8、存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2）6利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间

9、为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意

10、xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t1，2，函数g(x)=x3+x2f'(x)+m2在区间

11、（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：ln22×ln33×ln44××lnnn1n(n2，nN*)解：（）f'(x)=a(1-x)x(x0)（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）f'(2)=-a2=1得a2，f（x）2lnx+2x3g(x)=x3+(m2+2)x2-2x，g'（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2g'(t)0g

12、'(3)0(8分)由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：g'(1)0g'(2)0g'(3)0，-373m-9（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，0lnnnn-1nln22ln33ln44lnnn122334n-1n=1n(n2，nN*)【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数

13、的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件7利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值f（x0），x0是极小值点 2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与

14、它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f（x0）0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x

15、0）是极大值；如果f（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值 4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）； （2）求方程f（x）0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b（因为在端

16、点不可导）（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小 （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值（4）若函数f（x）在a，b上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在a，b上连续且有有限个极值点时，函

17、数f（x）在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点8利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来【实例解析】 例：已知函数yxlnx，求这个函数的图象在点

18、x1处的切线方程 解：ky'|x1ln1+11又当x1时，y0，所以切点为（1，0）切线方程为y01×（x1），即yx1 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结9简单线性规划【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最

19、值【例题解析】例：若目标函数zx+y中变量x，y满足约束条件x+2y80x40y3（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S=12BCAB=12×1×2=1 （2）由zx+y，得yx+z，则平移直线yx+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线yx+z得截距最小，此时z最小为z2+35，当直线经过点B（4，3）时，直线yx+z得截距最大，此时z最大为z4+37，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶

20、段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线ykx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （）A73 B37 C43 D34分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，43），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可解答：不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx+43过定点（0，43）因此只有直线过AB中点时，直线ykx+43能平分平面区域因为A（1，

21、1），B（0，4），所以AB中点D（12，52）当ykx+43过点（12，52）时，52=k2+43，所以k=73答案：A点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求zx+y的最大值与最小值分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y0来寻找最优解，求出目标函数的最值解答：先作可行域，如图所示中ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y0

22、，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使zx+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使zx+y达到最大值故zmin2，zmax7点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总

23、销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A50，0 B30，20 C20，30 D0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x+y501.2x+0.9y54x，yN+求目标函数zx+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表

24、格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则yx的最大值为（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA+OM|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成解答

25、：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，32）处取到最大值（2）依题意得，OA+OM=（x+1，y），|OA+OM|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（1，0）向直线x+y2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（1，0）的距离最小，因此|OA+OM|的最小值是|-1+0-2|2=322故答案为：（1）32（2）322点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(x-a)2+(y-b)2表示点（x，y）与点（a，

26、b）之间的距离；（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（4）y-bx-a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率【解题方法点拨】1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值10等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示等差数列的通项公式为：an

27、a1+（n1）d；前n项和公式为：Snna1+d2n（n1）或Sn=n(a1+an)2 （nN+），另一重要特征是若p+q2m，则有2amap+aq（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x210x+160的两个实根（1）求此数列an的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由 解：（1）由已知条件得a32，a68又an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）×22n4（nN*）数列an的通项公式为an2n4（2）令2682n4（nN*），解得n1362

28、68是此数列的第136项 这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式ana1+（n1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的【等差数列的性质】（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是

29、数列中的项，特别地，当s+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，an1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）11等差数列的前n项和【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列

30、就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示其求和公式为Snna1+12n（n1）d或者Sn=n(a1+an)2【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d1，S515，则S10解：d1，S515，5a1+5×42d5a1+1015，即a11，则S1010a1+10×92d10+4555故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可eg2：等差数列an的前n项和Sn4n225n求数列|an|的前n项的和Tn解：等差数列an的前n项和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（

31、n1）225（n1）8n29，该等差数列为21，13，5，3，11，前3项为负，其和为S339n3时，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，Tn=25n-4n2，n34n2-25n+78，n4点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用12等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特

32、殊数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0） 注：q1 时，an为常数列 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：第n项的通项公式，ana1qn1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和若m+nq+p，且都为正整数，那么有amanapaq例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q2

33、3，y2q22×36故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：a10q1或a100q1an是递增数列；a100q1或a10q1an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列13数列的应用

34、【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合14数列的求和【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差数列前n项和公式：Snna1+12n（n1）d或Sn=n(a1+an)2等比数列前n项和公式：几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列an×bn的前n项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列（3）裂项相消法：适用于求数列1anan+1的前n项和，其中an为各项不为0的等差数列，即1ana

35、n+1=1d（1an-1an+1）（4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an） （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 【典型例题分析】典例1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn=1an2-1（nN*），求数列bn的前n项和Tn分析：形如1等差×等差的求和，可使用裂项相消法如：11×3+13×5+15

36、×7+199×100=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+(199-1100)=99200解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，a1+2d=72a1+10d=26，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n（）由（）知an2n+1，bn=1an2-1=1(2n+1)2-1=141n(n+1)=14(1n-1n+1)，Tn=14(1-12+12-13+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1)，即数列bn的前n项和Tn=n4(n+1)点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和

37、法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考15数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，记作limnana（注：a不一定是an中的项 ）2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项

38、的和，记做S=limnSn （2）【典型例题分析】典例1：已知数列an的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有4Sn=(an+1)2，其中Sn表示数列an的前n项和则limnnan=（）A0 B1 C12 D2解：4S14a1（a1+1）2，a11当n2时，4an4Sn4Sn1（an+1）2（an1+1）2，2（an+an1）an2an12，又an各项均为正数，anan12数列an是等差数列，an2n1limnnan=limnn2n-1=limn12-1n=12故选：C典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列an的公差为1（nN*）（1）求数列

39、an、bn的通项公式；（2）设cn=1n|P1Pn|(n2)，求limn(c2+c3+cn)的值；（3）若dn2dn1+an1（n2），且d11，求证：数列dn+n为等比数列，并求dn的通项公式解：（1）点Pn（an，bn）在直线l：y2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，bn2an+1，a10，等差数列an的公差为1（nN*），an0+（n1）n1bn2（n1）+12n1（2）解：由（1）可得ana1n1，bnb12n112n2，|P1Pn|=(an-a1)2+(bn-b1)2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)（n2）cn=1n|P1Pn|=15n(n-1)=15(1n-1-1n)

40、，c2+c3+cn=15(1-12)+(12-13)+(1n-1-1n)=15(1-1n)，limn(c2+c3+cn)=limn15(1-1n)=55；（3）证明：n2，dn2dn1+an1，2dn1+n2，dn+n2（dn1+n1），数列dn+n为等比数列，首项为d1+12，公比为2，dn+n=2n，dn=2n-n【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）（3）求数列极限最后往往转化为1nm（mN）或qn（|q|1）型的极限（4）求极限的常用方法：分子、分

41、母同时除以nm或an求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限利用已知数列极限（如等）含参数问题应对参数进行分类讨论求极限，00，00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限16向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB、BC，字母表示，用小写字母a、b，表示有向向量

42、的长度为模，表示为|AB|、|a|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量【向量的模】AB的大小，也就是AB的长度（或称模），记作|AB|【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向不确定【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB（与AB共线的单位向量是AB|AB|）【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性17平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的知识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ba（a0）x1y2x2y1018平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向

43、量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为，则：（1）ae=ea=|a|cos；（2）abab=0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当a，b方向相同时，ab=|a|b|；当a，b方向相反时，ab=-|a|b|；特别地：aa=|a|2或|a|=aa（用于计算向量的模）（4）cos=ab|a|b|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|ab|a|b|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：ab=ba；（2）数乘向量的结合律：（a）b=（ab）=a（b）；（3）分配律：（ab）ca（bc）【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为

44、（a±b）2=a2±2ab+b2（a-b）（a+b）=a2-b2a（bc）（ab）c，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“ab=ba”“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，ac=bca=c”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“（mn）tm（nt）”类比得到“（ab）c=a(bc)”；“acbc=ab”类比得到acbc=ba以上的式子中，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足

45、交换律，“mnnm”类比得到“ab=ba”，即正确；向量的数量积满足分配律，“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”，即正确；向量的数量积不满足消元律，“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”，即错误；|ab|a|b|，“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；即错误；向量的数量积不满足结合律，“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”，即错误；向量的数量积不满足消元律，acbc=ab”不能类比得到acbc=ba，即错误故答案为：向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“ab=ba”；向量的数量积满足分配律，故“（

46、m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；向量的数量积不满足消元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”；|ab|a|b|，故“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；向量的数量积不满足结合律，故“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到acbc=ba【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握19复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则20离散型随机变量及其分布列

47、【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出2、离散型

48、随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X，Y，表示，也可以用希腊字母，表示（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，pn，则得下表： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列（2）性质：pi0，i1，2，3，n；p1

49、+p2+pn121离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn=1n，E（x1+x2+xn）×1n，所以的数学期望又称为平均数、均值 期望的一个性质：若a+b，则E（a+b）aE+b 2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是

50、x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的ED是随机变量的期望标准差：D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：方差的意义：（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛22组合及组合数公式【考点归纳】1定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合（2）组合数：从

51、n个不同元素中，任意取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示2组合数公式：Cnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!m，nN+，且mn3组合数的性质：性质1 Cnm=Cnn-m性质2 Cn+1m=Cnm+Cnm-123二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理公式（a+b）n=i=0n niaibni通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开例1：用二项式定理估算1.01101.105（精确到0.001） 解：1.0110（1+0.01）10110+C10119×0.01+C102180.0121+0.1+0.00451.105故答案为：1.105 这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型例2：把(3i-x)10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数