利用函数性质判定方程解的存在

1、第四章 函数应用理解教材新知1函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.1利用函数性质判定方程解的存在给定的二次函数给定的二次函数yx22x3，其图像如下：，其图像如下：问题问题1：方程：方程x22x30的根是什么？的根是什么？提示：提示：方程的根为方程的根为3,1. 问题问题2：函数的图像与：函数的图像与x轴的交点是什么？轴的交点是什么？ 提示：提示：交点为交点为(3,0)，(1,0) 问题问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：提示：相等相等 问题问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函

2、数值符号有什么特点？函数值符号有什么特点？ 提示：提示：在每一点两侧函数值符号异号在每一点两侧函数值符号异号 1函数的零点函数的零点 (1)函数的零点：函数函数的零点：函数yf(x)的的 与与 称为这个函数的零点称为这个函数的零点 (2)函数函数yf(x)的零点，就是方程的零点，就是方程 的解的解 2零点存在性定理零点存在性定理若函数若函数yf(x)在闭区间在闭区间a，b上的图像是上的图像是 ，并且在，并且在区间端点的函数值区间端点的函数值 ，即，即 ，则在，则在(a，b)内，内，函数函数yf(x) 零点，即相应的方程零点，即相应的方程f(x)0在在(a，b)内至少有一个实数解内至少有一个实数

3、解图像图像横轴的交点的横横轴的交点的横坐标坐标f(x)0连续曲线连续曲线符号相反符号相反f(a)f(b)0至少有一个至少有一个 1方程方程f(x)0有实数解有实数解函数函数yf(x)的图像与的图像与x轴有交点轴有交点函数函数yf(x)有零点有零点 2f(a)f(b)0只能判断出零点的存在性，而不能只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图和图(2)分别有分别有4个零点和个零点和1个零点个零点 3函数函数yf(x)在区间在区间(a，b)内存在零点，却不内存在零点，却不一定推出一定推出f(a)f(b)0如图如图 例例1求下列函数的零点求下列

4、函数的零点 (1)yx2x20； (2)f(x)x41. 思路点拨思路点拨先因式分解，再确定函数的零点先因式分解，再确定函数的零点 精解详析精解详析(1)yx2x20(x2x20)(x5)(x4)， 方程方程x2x200的两根为的两根为5,4. 故函数的零点故函数的零点5,4；(2)由于由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，方程方程x410的实数根是的实数根是1,1.故函数的零点是故函数的零点是1,1.一点通一点通求函数的零点常用方法是解方程求函数的零点常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解一元二次方程可用求根公式求解(2)高次方程可用因式分解法求根高次方程可用因式分解法求

5、根1若函数若函数f(x)axb有一个零点是有一个零点是3，那么函数，那么函数 g(x)bx23ax的零点是的零点是_ 解析：解析：函数函数f(x)axb的零点是的零点是3， 3ab0， 即即b3a.于是函数于是函数g(x)bx23axbx2bx bx(x1)，令，令g(x)0，得，得x0或或x1. 答案：答案：0，1 例例2判断下列函数有几个零点？判断下列函数有几个零点？ (1)yex2x6； (2)ylog2xx2. 思路点拨思路点拨借助函数的单调性和图像解答借助函数的单调性和图像解答 精解详析精解详析(1)由于由于y1ex在在R上单调递增，上单调递增，y22x6在在R上单调递增，上单调递增

6、，yex2x6在在R上单调递增上单调递增 又又f(0)10650. yf(x)在在(0,3)上有一个零点从而知此函数只有一上有一个零点从而知此函数只有一个零点；个零点； (2)函数对应的方程为函数对应的方程为log2xx20.即求函数即求函数ylog2x 与与yx2图像交点个数图像交点个数 在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有有2个交点从而函数个交点从而函数ylog2xx2有两个零点有两个零点 一点通一点通 判断函数零点个数的方法主要有：判断函数零点个数的方法主要有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判解方程：当能直接求解零

7、点时，就直接求出进行判断断 (2)用定理：零点存在性定理用定理：零点存在性定理 (3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)的图像，其交点的横坐标是的图像，其交点的横坐标是f(x)g(x)的零点的零点答案：答案：C答案：答案：C5若若f(x)ax3ax2(a0)在在6,6上满足上满足f(6)1，且，且 f(6)1及及f(6)1， 得得f(6)1f(6)10， 即即g(6)g(6)0时，时，g(x)单调递增；当单调递增；当a0，a0三种情况讨论列出关三种情况讨论列出关于于a的不等式，最后求得结果的不等式，最后求得结果 精解详析精

8、解详析(1)当当a0时，方程即为时，方程即为2x10，只，只有一根，不符合题意有一根，不符合题意 一点通一点通 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (2)结合草图考虑三个方面：结合草图考虑三个方面：与与0的大小；对称轴与的大小；对称轴与 所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系 (3)写出由题意得到的不等式写出由题意得到的不等式 (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分这类问

9、题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性6若函数若函数yax2x1只有一个零点，求实数只有一个零点，求实数a的取值的取值 范围范围7若把例题改为若把例题改为“方程的所有根为正数，求方程的所有根为正数，求a的取的取 值范围值范围”应如何处理？应如何处理？ 1判断函数零点个数的方法有以下几种：判断函数零点个数的方法有以下几种： (1)转化为求方程的根，能直接解出如一次、二次转化为求方程的根，能直接解出如一次、二次函数零点问题函数零点问题 (2)画出函数的图像，由与画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有轴交点的个数判断出有几个零点几个零点 (3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定至少存在一个零点，个数有可能不确定 (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点图像的交点 2函数的零点的作用：函数的零点的作用： (1)解决根的分布问题解决根的分布问题 (2)已知