光纤光学-第二章

1、第第1页页第第2页页光波导的模式光波导的模式2?光ABCD单模多模第第3页页电磁分离电磁分离 波动方程波动方程 wave equation纵横分离纵横分离 波导场方程波导场方程时空分离时空分离 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 Helmholtz equation分析思路分析思路光波导：约束光波传输的媒介光波导：约束光波传输的媒介导波光：受到约束的光波导波光：受到约束的光波亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程光线理论光线理论波动理论波动理论模式模式第第4页页一、一、 波动方程波动方程00BEtDHtDB 波动方程推导波动方程推导2202EEt 最简单的波动方程最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离电矢量与磁矢量分离2

2、202HHt F理想介质理想介质各向同性介质：各向同性介质：无自由电荷介质：无自由电荷介质： f=0， Jf=0非时变介质：非时变介质：0,0,ttDEBH 物质方程物质方程 边界条件边界条件 麦氏方程麦氏方程第第5页页一、一、 波动方程波动方程00BEtDHtDB 波动方程推导波动方程推导2202EEt 最简单的波动方程最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离电矢量与磁矢量分离2202HHt 物质方程物质方程 边界条件边界条件 麦氏方程麦氏方程波动方程的波动方程的标量标量形式形式222t直角坐标系中，电磁场的直角坐标系中，电磁场的每个分量都成立，也就是每个分量都成立，也就是说，电磁场向量的每个分说

3、，电磁场向量的每个分量都满足标量波动方程。量都满足标量波动方程。第第6页页一、一、 波动方程波动方程00BEtDHtDB 波动方程推导波动方程推导2202EEt 最简单的波动方程最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离电矢量与磁矢量分离2202HHt 物质方程物质方程 边界条件边界条件 麦氏方程麦氏方程波动方程的波动方程的标量标量形式形式222t式中式中 代表代表E和和H的各分量的各分量。在圆柱坐标中只有在圆柱坐标中只有Ez和和Hz分量才满足上述波动方程，分量才满足上述波动方程，横向电磁场分量不满足。横向电磁场分量不满足。第第7页页三、亥姆霍兹方程三、亥姆霍兹方程22022202EEtHHt 222

4、,itt 000EiHHiEDB Maxwell方程222200000022Ek EHk Hkk nfkcc Helmholtz方程rrcn000,1,空间时间分离空间时间分离 ,exp,expE r tE ri tH r tH ri t（频域Maxwell方程）第第8页页三、亥姆霍兹方程三、亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程的亥姆霍兹方程的标量标量形式形式220k 基本方程基本方程 直角坐标系直角坐标系2222222xyz 2222211()rrrrrz 圆柱坐标系圆柱坐标系222200Ek EHk H第第9页页左图表示左图表示 t = 0 时刻，电场及时刻，电场及磁场随空间的变化情况。磁场随空间的变

5、化情况。HyExz 自由介质中的单色均匀平面波自由介质中的单色均匀平面波若取若取Z轴方向为传播方向，则轴方向为传播方向，则()0( , )( , )itzE r tE x y e横场和纵场横场和纵场 称为纵向传播常数，其实就是波矢在称为纵向传播常数，其实就是波矢在Z方向的分量方向的分量kz。i ze纵向振荡因子纵向振荡因子第第10页页HyExz 自由介质中的单色均匀平面波自由介质中的单色均匀平面波横场和纵场横场和纵场 对于对于传播方向传播方向而言，电场及磁场仅具有而言，电场及磁场仅具有横向横向分量，因分量，因此称为此称为横横电磁波，或称为电磁波，或称为TEM波波。以后将会遇到在传播方。以后将会

6、遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的向上具有电场或磁场分量的非非TEM波。波。T Transverse第第11页页ExHyz 导电介质中的平面波导电介质中的平面波()0( , )( , )zit k zE r tE x y e()0( , )zitzE x y ee衰减因子衰减因子第第12页页矩形波导矩形波导圆波导圆波导微带线微带线电磁波在纵向(轴向)以的形式存在，在横向以的形式存在。1-2 波导方程波导方程 第第13页页一、波导方程一、波导方程横纵坐标分横纵坐标分离离, ,i zEex y zx y eHh 略去i te22222200ttkekh 222200ek ehk h222,izz

7、 2222tz ()( , , , )( , )itzEex y z tx y eHh zlztt-垂直于垂直于z方向的横向方向的横向(Transverse)模式场模式场亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程第第14页页一、波导方程一、波导方程22222200ttkekh （纵向）传播常数，表示光场沿纵向的波动性。（纵向）传播常数，表示光场沿纵向的波动性。 e(x,y)和和h(x,y)表示光场（表示光场（E,H）沿波导横截面的分布，）沿波导横截面的分布，称为称为222k（横横向）向）传传播常播常数数22222txy 直角坐标系直角坐标系22222211trr rr 圆柱坐标系圆柱坐标系22222txy 直角

8、坐标系直角坐标系第第15页页二、模式二、模式l 波导场方程是一个典型的本征方程本征方程，其本征值为或。l 当时，求解波导场方程可得。l 通常将本征解定义为本征解定义为“模式模式”，它相应于某一本征值并相应于某一本征值并满足全部边界条件满足全部边界条件。l 每一个模式对应于电磁场的一种稳定存在形式，用电力线或磁力线将此形式描绘出来便是一种特定图案。波导中总的光场分布则是这些模式的线性组合：, ,ii ijziiiaeEx y zx y ebhH模式图形模式图形 第第16页页： 模式模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。一给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起波导中

9、允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。 模式的场矢量e(x，y)和h(x，y)具有六个场分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e、ez和hr、h、hz)。只有这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯一确定。第第17页页izit,将两式代入麦氏方程的两个旋度方程中：将两式代入麦氏方程的两个旋度方程中：( , , )( , ),i zE x y ze x y e( , , )( , )i zH x y zh x y eEjHHjE zyxAAAzyxkjiA并利用以下关系并利用以下关系 三、模式场的分量形式三、模式场的分量形式第第18页页2zzxehiexy22222k 式中：式中

10、：222zzyzzxzzyehieyxheihxyheihyx推导推导纵横关系式纵横关系式第第19页页22221111zzrzzzzrzzheeirrheeirrehhirrehhirr u 类似地，对于圆柱坐标，可得：类似地，对于圆柱坐标，可得：返回框图返回框图纵横关系式纵横关系式第第20页页1-3 模式及其基本性质模式及其基本性质 模式场分布、纵向传播常数（本征值）、横模式场分布、纵向传播常数（本征值）、横向传播常数、模式截止条件等向传播常数、模式截止条件等v求解问题求解问题v求解方法（波动光学方法）求解方法（波动光学方法） 由波导场方程求取由波导场方程求取Ez和和Hz （模式场的纵向分量

11、）（模式场的纵向分量） 由纵横关系式求取横向场分量由纵横关系式求取横向场分量 由边界条件获得本征值方程由边界条件获得本征值方程 由本征值方程求取本征值由本征值方程求取本征值第第21页页1-3 模式及其基本性质模式及其基本性质 （以平板波导为例）（以平板波导为例）xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波导结构图平板波导结构图More than 3 layersn1 n2 n3Width (in y)dd m n=n1-n2, 0.001-0.010.001-0.01 = = n/ /n1 1 n/n2 2 相对折射率差相对折射率差0.1-1If n2= n3, 对称波导（对

12、称波导（Symmetrical waveguide） n2n3, 非对称波导（非对称波导（Asymmetrical waveguide）第第22页页 Ez= 0， Hz= 0 的波，称为横电磁波，简记为的波，称为横电磁波，简记为 TEM波波 Ez 0， Hz= 0 的波的波 ，称为横磁波，称为横磁波，EyHx0，仅有，仅有Ex，Ez和和Hy三个场分量。三个场分量。简称为简称为 TM 波或波或 E 波波 Ez= 0， Hz 0 的波，称为横电波，的波，称为横电波，ExHy0，仅有，仅有Ey，Hx和和Hz三个场分量；三个场分量；简称为简称为 TE 波或波或 H 波。波。 传导电磁波的分类传导电磁波

13、的分类波导中可存在的波型1-3 模式及其基本性质模式及其基本性质 第第23页页平面波的反射与折射平面波的反射与折射（a）TE波波 （b）TM波波 代表进纸面，代表进纸面， 代表出纸面，角标代表出纸面，角标i、r、t分别代表入射、反射和折射分别代表入射、反射和折射1-3 模式及其基本性质模式及其基本性质 （以平板波导为例）（以平板波导为例）第第24页页第第25页页1-3 模式及其基本性质模式及其基本性质 （以平板波导为例）（以平板波导为例）电磁场沿电磁场沿z方向传输，方向传输，z 方向波导的几何形状不方向波导的几何形状不变。在变。在 y 方向波导是无方向波导是无限延伸的，同时由于对限延伸的，同时

14、由于对称性，场分量在称性，场分量在 y 方向方向没有变化，即：没有变化，即：0y( )( )i zE re x exyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波导结构图平板波导结构图 从物理量随着指标变化来看，平板波导只与从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X X、Z Z两两个指标有关。又可称平板波导为二维波导。个指标有关。又可称平板波导为二维波导。( )( )i zH rh x e第第26页页波导方程：波导方程：22222200ttkekh 22222txy 直角坐标系直角坐标系一、波动光学方法（电磁场分析）一、波动光学方法（电磁场分析）波导方程：波导方程：22222200

15、ttkekh 22222txy 直角坐标系直角坐标系v TE 波波ez = 0， hz 0 的波的波 ，称为横磁波，称为横磁波，hyex0，仅有，仅有hx，hz和和ey三个场三个场分量。分量。xzd01n3n2nd1n纵横关系式纵横关系式222k22;zzyxihihehxx第第27页页在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：波导层：波导层：衬底层：衬底层：覆盖层：覆盖层：222222120;,1,2jjkkkk nj 令：令：对称波导：对称波导：32nn 22220120zzhxk nhxx 22220220zzhxk nhxx 22220320z

16、zhxk nhxx第第28页页dz = hn = 0n3n1n2xyz 1 1 n2 n3 n1 Z X 1 1 导模导模 衬底辐射模衬底辐射模 辐射模辐射模 第第29页页 cossin -d zxdAxBxxdhxxdDe222122220,1,2jjkkkk nj 解得：解得：其中，2220zzd hhdx 对于导模，在波导内应呈振荡形式的解。对于导模，在波导内应呈振荡形式的解。对于导模，在介质外场分量应迅速衰减。对于导模，在介质外场分量应迅速衰减。u 纵向场解基本形式纵向场解基本形式第第30页页u 导模条件导模条件波导内呈振荡形式解，应有2222221010kk n 介质板外场分量应迅速

17、衰减，应有对于导模对于导模2222222020kk n导模条件为：导模条件为：1020nknk波导内呈振荡形式解，应有2222221010kk n 第第31页页u 横向场解基本形式横向场解基本形式 cossin - xxdiBxAxdxdhxi Dexd cossin - yxdiBKxAKxdxdexiDexd2221222200Kkk第第32页页u 传播常数的确定（本征值方程）传播常数的确定（本征值方程）2221tanndn221202nkK222022nktand 或或 纵向传播常数纵向传播常数证明证明第第33页页221202nkK222022nk两式乘两式乘 d2后再相加后再相加222

18、21202222)(dnnkddK22012UKdWdVk dnn令：222UWVtanKKdtanKdKcotWUUtan;W UU 横向传播常数横向传播常数横向传播常数横向传播常数第第34页页 横向传播常数横向传播常数024681012024681012pt U () W () m=0 m=2 m=1 222WUVUtanU-UcotU22201Udk n22202Wdk n 模式截止模式截止222020Wdk n2222020k n截止条件：截止条件： 模式截止模式截止222020Wdk n第第35页页024681012024681012pt U () W () m=0 m=2 m=1

19、UtanU-UcotU222WUV 模式的阶数模式的阶数m越大，越大，越大，越大， 越小。越小。m=0，1，2，分别，分别对应着对应着TE0，TE1，TE2模式，模式，m称为称为TE模的阶数。模的阶数。第第36页页u 模式数量模式数量22220122()k annM 向下取整024681012024681012pt U () W () m=0 m=2 m=1 222WUVUtanU-UcotU 归一化频率归一化频率221202Vdnn波导中传输模式的数目与波导中传输模式的数目与V 有有关，关， V 是介质平板波导的结是介质平板波导的结构参量，它与波导的构参量，它与波导的 n1、n2 、 d 及

20、真空中的波长有关。及真空中的波长有关。 归一化频率归一化频率221202Vdnn 归一化频率归一化频率第第37页页22210nndkV第第38页页若若 V 2，则波导中存在许多传输模式。因此若，则波导中存在许多传输模式。因此若若设计一个多模介质板波导，应按下式选择介质平若设计一个多模介质板波导，应按下式选择介质平板的半宽度：板的半宽度：NAnnd022210波导波导数值数值孔径孔径若波导的若波导的V / 2，则图中的圆只能与则图中的圆只能与UtanU曲线的曲线的第第1个分支相交，这时波导中只存在一个个分支相交，这时波导中只存在一个TE模，即模，即 TE0模。模。第第39页页一对称介质平板波导，

21、一对称介质平板波导，d=1m, n1=2.234, n2=2.214，00.6328m，求：，求：(1)波导中存在哪些波导中存在哪些TE模模?(2)当光波长增加到多少时，波导中只有当光波长增加到多少时，波导中只有TE0模存在模存在?220120022.96()Vk dnnk因为因为/2V，可知波导中存在着，可知波导中存在着TE0模和模和TEl模。模。解：解： ： 2V2201241.19dnnm：第第40页页返回基本返回基本方程框图方程框图第第41页页u如果从如果从z方向来观察波导横截面，那么就只方向来观察波导横截面，那么就只能看到光波沿着能看到光波沿着x方向的上下运动，以下就方向的上下运动，

22、以下就从此观点出发来导出平板波导中的从此观点出发来导出平板波导中的导模条件导模条件。2、平板波导的几何光学分析、平板波导的几何光学分析第第42页页设一光波从薄膜下界面出发向上行进到薄膜上界面，在上设一光波从薄膜下界面出发向上行进到薄膜上界面，在上界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，此时会与原先从下界面出发的光波叠加在一起，若要发生此时会与原先从下界面出发的光波叠加在一起，若要发生相互加强，则两列波的相位差应为相互加强，则两列波的相位差应为2的整数倍。这个维持的整数倍。这个维持导模的条件称为导模的条件称为横向共振条件横向共振条件

23、。121322 (0,1,2,)xk dmm第第43页页平板波导的平板波导的模式本征方程模式本征方程12132222 (0,1,2,)xk dmm01cosxkk nkkxkzdABCD波前n1n2n31312222223221112132222221213222221211213sinsinarctan,arctan ()coscossinsinarctan,arctan ()coscosnnnnTEnnnnnnnnTM全反射全反射相移相移第第44页页u该方程的又称为该方程的又称为色散方程色散方程。u对于给定波导参数，可求出对于给定波导参数，可求出，当，当m取值不同取值不同时，时，值也不同。

24、值也不同。称为称为m阶导模的模角。阶导模的模角。u只能取一系列只能取一系列分立值分立值。u由由可以确定传播常数可以确定传播常数。011213cos (0,1,2,)k n dmm01cosxkk n第第45页页平板波导不同模式的传输路径比较平板波导不同模式的传输路径比较xm=0m=1xm=2x第第46页页v 程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系v 光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传播路径上有方向变化。播路径上有方向变化。v 光线方程：光线方程：v 光线向折射率大的方向弯

25、曲。光线向折射率大的方向弯曲。v 相位梯度方向与波矢量相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点邻近单方向一致，其模等于该点邻近单位距离内的相移。位距离内的相移。(弧度弧度/米）米） 22( )rnrddn( )n( )dsdsrrr 返回基本返回基本方程框图方程框图2-4 程函方程和射线方程程函方程和射线方程推导推导切线方向上的切线方向上的单位单位光程沿光程沿路径变化率路径变化率折射率梯度折射率梯度第第47页页二、二、 波动方程波动方程00BEtDHtDB tHEHBtBEHBEtt 两边取旋度：两边取旋度：22HHEttt 22EEEEE 2202EEEt 00均匀介质（均匀介质（ ）或

26、或变化缓慢的介质（变化缓慢的介质（ ） 222EEt最简单的波动方程最简单的波动方程非均匀介质非均匀介质返回返回波动方程波动方程第第48页页 称为传播常数，表征相位变化的快慢称为传播常数，表征相位变化的快慢00kk n 在物理学中，在物理学中，k常称为波矢量，或者称为波数。它常称为波矢量，或者称为波数。它指向波的传播方向。指向波的传播方向。2222220 xyzkkkkk 对于各向同性介质，对于各向同性介质，k的方的方向与能流方向一致。向与能流方向一致。第第49页页红色红色线条代表电力线线条代表电力线蓝色蓝色线条代表磁力线线条代表磁力线第第50页页 a b 传播方向 p/2 TE10TE10模

27、式场的三维图形模式场的三维图形第第51页页22En1AA12En1矩形波导中的空间模式A11En1A21En1A22En1A21En1E00E10E01E11第第52页页2 02 11 01 11 20 00 10 20 3模式数目光强为零最大光强圆波导(光纤)中的空间模式第第53页页LED、白炽灯、白炽灯LD、点源经准直透镜的光束、点源经准直透镜的光束光源光源 光纤光纤 光斑光斑初始端初始端导波模、辐射模（泄漏模）导波模、辐射模（泄漏模）导波模导波模波导、导波的概念！波导、导波的概念！返回模式返回模式的概念的概念第第54页页zyxzxyyxzei eihyei eihxeeihxy zyxz

28、xyyxzhi hieyhi hiexhhiexy得各个分量的方程：得各个分量的方程：消去消去hy第第55页页用用ez和和ez表示表示ex的表达式：的表达式：2()zzxehiexy22222k 式中：式中：类似可以得到用类似可以得到用ez和和hz表示表示ey，hx，hy的表达式：的表达式：222zzyzzxzzyehieyxheihxyheihyx返回返回第第56页页基本的波导方程式可化为：基本的波导方程式可化为：, 0y2222zxzyzxzyieexihexihhxiehx2()zzxiehexy222zzyzzxzzyieheyxihehxyihehyx返回返回第第57页页本征值方程（

29、特征方程）的导出本征值方程（特征方程）的导出上面求出的场分量应满足电磁场的边界条件，即当上面求出的场分量应满足电磁场的边界条件，即当 xd 时，横向场分量应保持连续。时，横向场分量应保持连续。当当xd 时，应有时，应有ey1=ey2，hz1=hz2，由这两个关系式由这两个关系式可得到可得到当当x-d 时，也应有时，也应有ey1=ey2，hz1=ez2，由这两个关系由这两个关系式可得到：式可得到：1tantan0AKdBKd1tantan0AKdBKd第第58页页组成线性齐次方程组，要使组成线性齐次方程组，要使A，B有非零解，须令其有非零解，须令其系数行列式为零：系数行列式为零：1tantan0

30、1tantanKdKdKdKd由上式得由上式得TE模的特征方程式模的特征方程式：tandtand 或或返回返回第第59页页q 光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。q 平面波在任意方向传输的波函数：平面波在任意方向传输的波函数： 相位因子相位因子 对非均匀介质，相位既与位置有关，又与传播路径对非均匀介质，相位既与位置有关，又与传播路径上的折射率有关，用光程函数表示上的折射率有关，用光程函数表示 波函数略去时间因子波函数略去时间因子 相位梯度相位梯度 ：表示光线传播过程中相位的：表示光线传播过程中相位的变化率变化率q 由麦克斯韦方程推导程函方程由麦克斯韦

31、方程推导程函方程:0,expr tjtEEkr0nkrkr0000kn ， 00exprjkrEE ,rn r r2.4-1 程函方程程函方程第第60页页由：由：等式左边：等式左边：与等式左边相等：与等式左边相等：0j EH 000000jkrjkrjkreee EErErEr 0000000000jkrjkrkjkrejk erjk er ErErEr 000000jkrjkrjk erjHe Err0000kr ErHr000000000rk ErHrHrHr第第61页页由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向

32、一致。三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向一致。条件：条件：将（将（2.4-1a）代入（代入（2.4-1b） ，利用矢量恒等式利用矢量恒等式EH相位梯度相位梯度00,k ABCACBABC 2000rrn EE 2000rrn EE 0020000 (2.4-1a) (2.4-1b)0 (2.4-1c)0 (2.4-1b)rnrrr EHHEEH第第62页页q 电场矢量振幅不能处处为零，因而必然有：电场矢量振幅不能处处为零，因而必然有：q 或者：或者：q 式（式（2.4-2a）称为）称为程函方程程函方程；q 相位梯度相位梯度 方向与光波传播方向一致，其模等方向与光波传播方向一致，其模等于介质折

33、射率；于介质折射率；q 程函方程给出波面变化规律：程函方程给出波面变化规律： 在均匀介质中，光波传输方向不变；在均匀介质中，光波传输方向不变； 在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变。在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变。 2rrn 2222, ,rrrnx y zxyz（2.4-2a）（2.4-2b）22n， ( )rn r r第第63页页2.4-2 光线方程（射线方程）光线方程（射线方程）q r ：光线传播路径光线传播路径S上某点的矢径上某点的矢径q dr/ds:传播路径切线方向上传播路径切线方向上单位矢量单位矢量, ,q 根据相位梯度的定义，矢量根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向方向与相位梯度方向一致，大小等于：与相位梯度方向一致，大小等于：q 由程函方程由程函方程 rddsrr ( )rn r（2.4-3) rddsn(r)r因此因此dn(r)(r)ds r相位梯度等于路径切线方向上的相位梯度等于路径切线方向上的单位光程单位光程路径路径Srr+drzydrxdr/ds第第64页页上式对路径上式对路径 S S 求导求导 dd(r)d(r)rdsdsds r光线方程是矢量方程，表示光