【讲座】“函数系列”解题教学研究

1、选择合适的数学问题，开展选择合适的数学问题，开展“函数系列函数系列”解题教学研究解题教学研究课程简介课程简介 本专题将解决的主要问题是：本专题将解决的主要问题是： 1.整体上提升对函数应用的理解，从四个角度对函数的应整体上提升对函数应用的理解，从四个角度对函数的应用进行研究：即从图象角度、值域角度、函数与方程角度和实用进行研究：即从图象角度、值域角度、函数与方程角度和实际问题角度进行研究，明确这几类问题解决的常规办法际问题角度进行研究，明确这几类问题解决的常规办法. 2.整体上提升对函数的概念与性质的理解，把握概念实质；整体上提升对函数的概念与性质的理解，把握概念实质； 3.整体上提升对函数性

2、质的把握，在导数工具的辅助下深整体上提升对函数性质的把握，在导数工具的辅助下深入研究函数的单调性，极值（最值）等问题入研究函数的单调性，极值（最值）等问题.进一步丰富研究一进一步丰富研究一些具体函数模型的方法些具体函数模型的方法.学习要求学习要求 1明确函数应用在中学数学中的地位和作用，把握明确函数应用在中学数学中的地位和作用，把握本部分内容与相关知识的联系，为后续研究函数的应本部分内容与相关知识的联系，为后续研究函数的应用奠定基础用奠定基础.2加深从加深从“形形”的角度对函数性质的理解，把握数的角度对函数性质的理解，把握数形结合思想的实质，进一步熟悉函数性质的应用，能形结合思想的实质，进一步

3、熟悉函数性质的应用，能够解决典型的问题够解决典型的问题.3明确求简单函数值域（最值）的常规方法，通过明确求简单函数值域（最值）的常规方法，通过典型题目分析，明确解题途径典型题目分析，明确解题途径.4.通过对简单实际问题的分析，把握利用函数与方程通过对简单实际问题的分析，把握利用函数与方程思想分析研究实际问题的一般步骤，明确解实际问题思想分析研究实际问题的一般步骤，明确解实际问题的一般流程的一般流程.学习要求学习要求 5加深对导数的概念和性质的理解，把握导数概念加深对导数的概念和性质的理解，把握导数概念的实质，进一步熟悉导数在研究函数性质中的应用，的实质，进一步熟悉导数在研究函数性质中的应用，能

4、够解决典型的问题能够解决典型的问题.6 明确导数内容的重点与难点，以及教学中的相关明确导数内容的重点与难点，以及教学中的相关注意事项，加强本部分内容教学实效性注意事项，加强本部分内容教学实效性.7对本专题内容学生在学习过程中的常见错误进行对本专题内容学生在学习过程中的常见错误进行分析并提出解决策略，明确解决相关问题的一般思路分析并提出解决策略，明确解决相关问题的一般思路. 第一课第一课目录 一、一、函数的概念与性质结构框图函数的概念与性质结构框图 二、选题二、选题如何深入把握函数的概念如何深入把握函数的概念 三、选题三、选题如何突出函数性质的本质如何突出函数性质的本质 四四、选题如何选题如何深

5、层理解关于导数的深层理解关于导数的内容内容 五、五、学生学生学习中常见的错误分析与解决策略学习中常见的错误分析与解决策略一、一、函数的概念与性质结构框图函数的概念与性质结构框图二、选题二、选题-如何深入把握函数的概念如何深入把握函数的概念1映射与函数映射与函数2函数的定义域函数的定义域（2）在实际问题中求函数的定义域）在实际问题中求函数的定义域. 在这类问题中在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制除了考虑解析式对自变量的限制 , 还应考虑实际问题对还应考虑实际问题对自变量的限制自变量的限制. 另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极

6、其重要的域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域义域.请给图片排个序故事一样吗？A? B? C?3函数的对应法则问题函数的对应法则问题三、选题三、选题-如何突出函数性质的本质如何突出函数性质的本质 函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用用.

7、这部分内容常用到数形结合的思想方法这部分内容常用到数形结合的思想方法.2关于函数的奇偶性问题关于函数的奇偶性问题3 3关于函数的单调性问题：关于函数的单调性问题：（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？基本初等函数包括基本初等函数包括: 二次函数、指数函数、对数函数和幂函数二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.函数的图象上直观地反映着函数的性质函数的图象上直观地反映着函数的性质, 学习函数的学习函数的“捷径捷径”是熟知函数的是熟知函数的图象图象. 熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图熟知函数图象包括三个方面：作图，读

8、图，用图.掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑考虑.函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图

9、象，进而直观的发现函数式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质的性质.1关于二次函数的处理关于二次函数的处理2关于指数函数、对数函数和幂函数的处理关于指数函数、对数函数和幂函数的处理（四）（四）如何有效运用函数的图象帮助我们分析解决问题如何有效运用函数的图象帮助我们分析解决问题（五）（五）确定函数值域确定函数值域常见简单函数求值域的方法：最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一.函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起.函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的.本小节主要讨论两类常见的

10、函数最值的解决方法及其应用.1.基本初等函数在特定区间上的最值（或值域）问题.解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值（或值域）.2.一些简单的复合函数的最值问题.解决这类问题的方法通常有：（1）通过作出函数图象变成第1类问题；（2）通过换元法转化成第1类问题；（3）利用平均值定理求最值；（4）通过对函数单调性进行讨论进而求出最值.其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识。（5）转化成几何问题来求解。四四、学生学习中常见的错误分析与解决策略、学生学习中常见的错误分析与解决策略忽视函数的定义域：忽视函数的定义域：例例4： 求函数的单调区间求函数的单调区间.易错点：不优先考

11、虑函数的定义域而直接求导，但求导后函数的易错点：不优先考虑函数的定义域而直接求导，但求导后函数的 “模样模样”（类型）变化很大，导致定义域变化，因而出现问题（类型）变化很大，导致定义域变化，因而出现问题.简解：的定义域是，且，简解：的定义域是，且，令，得（舍去）令，得（舍去）. 列表分析如下：列表分析如下：所以函数的减区间是，增区间是.错因分析：研究一个函数要优先考虑自变量的取值集合，这是一个基本顺序.在本题中如果忽视它，将导致对于的无谓讨论.解决策略： 明确导数是研究函数性质的工具之一，遵循一般函数的研究顺序； 养成在定义域范围内研究函数问题的习惯； 有检验意识.例5： 设，分别是定义在上的

12、奇函数和偶函数.当时，且，则不等式的解集是（ ）A BC D 易错点：题目给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数，不知从何下手？ 错因分析：对于函数与导数要有整体的把握，才能从更高的观点出发，对于新情境问题找到突破口.不会研究较抽象的问题不会研究较抽象的问题解决策略：首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究.由你能产生什么联想？它和积的导数公式很类似，整理可得.令，则当时，是增函数再考虑奇偶性，函数是奇函数. 还有一个已知条件，进而可得，这样我们就可以画出函数的示意图，借助直观求解. 答案：D运用导数解决实际问题中建模能力弱运用导数解决实际问题中建模能力弱例6： 用总长14.8

13、m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m ,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积易错点：读不懂题，不能化未知为已知；即使能够建立函数关系也不关注实际背景错因分析：函数观念弱化，无法建立函数关系，建模能力弱解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解简解：设容器底面长方形宽为，则长为，依题意，容器的高为 显然，即的取值范围是记容器的容积为，则 对此函数求导得， 令，解得； 令，解得所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为答：容器底面的长

14、为m、宽为1m时，容器的容积最大，最大容积为例7： 求函数的单调区间.解：的定义域为，求导数得.令，得. 当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减.通过本例，明确求函数的单调区间的步骤： 确定的定义域（这一步必不可少，单调区间是定义域的子集）； 计算导数； 求出方程的根； 列表考察的符号，进而确定的单调区间（必要时要进行分类讨论）.例8： 求证：当时， 不等式两边都是关于的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数，通过

15、研究函数的单调性来辅助证明不等式.证明：构造函数，则.当时，有，从而，所以函数在上单调递减，从而当时，即当时， .通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用.典型高考题目剖析：典型高考题目剖析：一、关于导数内容的深层理解 （一）导数及其应用的结构框图（一）导数及其应用的结构框图1导数概念的建立：（1）平均变化率：对于函数，定义为函数从到的平均变化率.换言之，如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量，则比值就叫做函数从到之间的平均变化率.（2）函数在处的导数：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作，即（3

16、）函数的导函数（导数）：当变化时，是的一个函数，我们称它为函数的导函数（简称导数），即.例1 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则函数在处的导数_ 通过本例分析，强调导数定义的重要性及数形结合思想的应用.（二）导数的几何意义教学注意事项（二）导数的几何意义教学注意事项1关注对于曲线切线的重新认识：曲线的切线为曲线割线的极限位置.2导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.3强调切点的重要性：切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.选择如下例题：例2 ：1）求曲线在 点处的切线方程； 2）过点 作 曲线的切线，求切线的方程.对于（1），根据

17、导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程.对于（2），注意到点不在曲线上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程.解：（1）曲线在点处的切线斜率为，从而切线的方程为，即.（2）设切点的坐标为.根据导数的几何意义知，切线的斜率为，从而切线的方程为. 因为这条切线过点，所以有，整理得，解得，或.从而切线的方程为，或，即切线的方程为，或.通过此例，引导学生关注运用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是： 函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即； 切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切

18、线与曲线的方程. （三）导数的运算教学注意事项（三）导数的运算教学注意事项 1熟悉导数公式表，即几种常见函数的导数： （为常数）； （，）； ； ； ； （，且）； ； （，且）2明确导数的运算法则： ； ； （）3关注简单的复合函数（仅限于形如）的导数：设函数，则函数称为复合函数其求导步骤是：，其中表示对求导，表示对求导对求导后应把换成教学中教师可以选择如下例题：例3 求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）； （4）.解：（1）方法一：.方法二：（2）方法一：方法二：（3）方法一：方法二：（4）.通过此例题，教师强调理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件.运用公式和求导法则

19、求导数的基本步骤为： 分析函数的结构特征； 选择恰当的求导法则和导数公式求导数； 化简整理结果.应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.（如（1）（2）题的方法二较方法一简捷）.对于（3），方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将表示为和的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解. 方法二较方法一简捷.对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确.（四）定积分与微积分基本定理教学须知（四）定积分与微积分基本定理教学须知1曲边梯形的面积

20、与定积分：（1）定积分定义：设函数定义在区间上. 用分点把区间分为个小区间，其长度依次为，.记为这些小区间长度的最大者.当趋近于时，所有的小区间的长度都趋近于.在每个小区间内任取一点，作和式.当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即.其中叫做被积函数，叫做积分下限，叫做积分上限，此时称函数在区间上可积. 教学中应突出：分割近似代替求和取极限的步骤，概念非常抽象，结合图形帮助分析.（2）明确定积分性质：定积分有三条主要的性质： （为常数）； ； （）.性质 对于有限个函数（两个以上）也成立；性质 对于把区间分成有限个（两个以上）区间也成立.在定积分的定义中，限

21、定下限小于上限，即.为了计算方便，我们把定积分的定义扩展，使下限不一定小于上限，并规定：.（3）明确几种典型的曲边梯形面积的计算方法： 由三条直线，轴，一条曲线 围成的曲边梯形的面积. 由三条直线，轴，一条曲线 围成的曲边梯形的面积. 由两条直线，两条曲线， 围成的平面图形的面积. 由三条直线，轴，一条曲线围成的曲边梯形的面积，即在区间上，有正有负，求曲边梯形的面积时应分段计算. 2、微积分基本定理：如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数. 原函数在上的改变量简记作，因此微积分基本定理可以写成.教学中可选择如下例题： 例4 计算下列定积分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （

22、6）. 解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.教学重要明确求一般分为两步： 求的原函数； 计算的值，对于求较复杂函数的定积分还要依据定积分的性质.例5 求曲线，及直线所围成图形的面积.解：两条曲线，的交点为，故所求面积.（五）例举导数在研究函数性质中的应用（五）例举导数在研究函数性质中的应用1利用导数判断函数的单调性：（1）函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数在区间 内可导， 如果恒有，那么函数在区间内单调递增； 如果恒有，那么函数在区间内单调递减.值得注意的是，若函数在区间内有（或），但其中只有有限个点使得，则函数在区间内仍是增函数（或减函数）.（2）一般地，如果一个

23、函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”.2利用导数研究函数的极值：（1）设函数在点附近有定义，如果对 附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果 对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点.（2）需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点.如在处的导数值为零，但不是函数的极值点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.（3）函数在区间上的最值：在区间上的最大值（或最小值）是在区间内的极大值（或极小值）及

24、中的最大者（或最小者）.（4）应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质.第二课第二课一、一、数学数学解解题题研究研究 解题、研究解题是数学教师的必修课之一。在教学中我们发现许多的题目虽然千变万化，结构错综复杂，究其实质往往可归结为某一题源，对于一些难度较大的综合题（比如高考试题中的解答题）虽然题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题甚至奇妙独特，但仔细推敲，还是运用一些常见的数学思想方法， 目标目标“化神奇为平常，化复杂为简单化神奇为平常，化复杂为简单”1.数学数学解解题题研究的意义研究的意义 数学解题就是单纯地解决数学问题，具体数学教学过程中的解题就是

25、板演出解题的步骤。 解题注重的是题目或源于数学的问题的求解过程，即展示的重点是题目求解的结论数学题内容设计选择要有：基础性、核心性、启发性、典型性和阶梯性数学题呈现方式主要有：一题多问、一题多变、一题多解、多题一解、易错题辨析等五种类型2.数学解题数学解题特点特点1）审题。这一步骤中，一定要认真读题，注意解剖和联系。也就是通过读题确定已知条件和未知条件，把条件的各个部分分开。如有需要，可画出图形，引入适当的符号标记已知条件。 2）分析思路。关键是找出已知条件和结论之间的联系，确定解题时要利用的知识点，及用什么样的数学思想和方法解题。 3）写出过程。在书写解题过程的时候，先确定关键步骤，再把一些

26、小的步骤填全。有些数学题的解答过程要遵循一定的惯例。4）及时反思。一道题完成以后应及时反思其解法的优缺点，思考是否还有其他解法，试着改变一下已知条件或结论，做变式练习，等。3.数学解题数学解题常规步骤：常规步骤：教师的解题技能与学生的题技能有所不同，主要在数学重要内容中面向一些特定知识和方法上进行试题设计，关注常见解题中的一些漏点、盲点、易错点，关注数学思想方法的运用。数学思想与数学方法 数学思想是指现实世界的空间形式、数量关系及其模式结构反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，而数学方法是在有关数学活动中积累起来的数学研究和数学问题解决得以完成的途径和手段。 数学思想与数学方法既有联系又

27、有区别，区别在于：数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，而数学思想是数学方法的灵魂，它指导着知识和方法的运用；同时，数学思想与数学方法又互为表里，在数学活动中表现形态不具备明确的界限，故通常将两个概念统称为数学思想方法对条件、结论及其相互关系进行分析通过创造性思维实现转译通过创造性思维实现转译构造适当的“数学对象或形式”通过推演实现转化通过推演实现转化所求（证）结论 1.如果关于x的方程 |x2|1|=a有四个不同的解，则实数a的取值范围是（ ） A.(1,1) B.(0,1 C.(0,1) D.(0,2) 此题可以利用绝值的性质求解，也可以令f(x)=|x2|1|，g(x)=a将问题

28、转化为函数f(x)与函数g(x)的图像交点问题，本题考查了数形结合的思想。 数学教师的解题能力不仅体现在会不会解题，更体现在解题方法和策略的使用，并能站在一定的高度解读试题 高考考试说明的要求 强调能力立意，突出问题解决强调能力立意，突出问题解决” “以能力立意命题以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的高是数学的学科特点和考试目标所决定的高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，不不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以

29、数学知识为载体，测量考生而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力从而检测考生已有的和潜在的学习能力高考考试说明的要求 命题命题时是时是突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，力求突破固突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住问题的实质，考查学生定的解答模式，要求考生抓住问题的实质，考查学生创造性地对试题提创造性地对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法 通性通法通性通法问题是问题是以中学数学的基础

30、知识为基本素材，考查学生应用知识以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生应用知识分析问题、解决问题的能力分析问题、解决问题的能力 高考主要考查学生的高考主要考查学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，强调综合性、应用性，加强思维品质的考间想象能力、数据处理能力，强调综合性、应用性，加强思维品质的考查查析题析题解题解题二、二、数学数学析析题题研究研究5.数学数学析析题题 研究的意义研究的意义研究研究数学数学析析题题的意义：的意义： 更好地帮助教师打造高效课堂，高效课堂需教学的有效更好地帮助教师打造高效课堂，高效课堂需教学的有效为前提，如为前提，如:要对教学中如何根据具体的数学问题选择恰当要对教学中如何根据具体的数学问题选择恰当的教学方式与方法；如何引导学生独立思考；如何提高学的教学方式与方法；如何引导学生独立思考；如何提高学生的数学综合运用能力；如何加强创新精神、实践能力以生的数学综合运用能力；如何加强创新精神、实践能力以及理性精神的培养及理性精神的培养.析题是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求析题者暴