理论力学10弯曲的应力分析与强度计算

1、第十章 弯曲的应力分析和强度计算弯曲的应力分析和强度计算10-1 弯曲内力剪力和弯矩一、概述2弯曲的应力分析和强度计算车削工件3弯曲的应力分析和强度计算火车轮轴4弯曲的应力分析和强度计算吊车梁直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。5弯曲的应力分析和强度计算平面弯曲MZ截面特征：杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴）受力特点：外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线6弯曲的应力分析和强度计算梁的基本形式Fq( x)Mx简支梁Fq( x)Mx外伸梁Fq( x)Mx悬臂梁7弯曲的应力分析和强度计算火车轮轴

2、简化为外伸梁8弯曲的应力分析和强度计算二、剪力与弯矩截面法求内力Fy=0cRA P Q = 01M= 0 M + P ( x a ) RA x = 01Q = RA P1剪力M = RA x P ( x a ) 弯矩19弯曲的应力分析和强度计算剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正，反之为负。弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。10弯曲的应力分析和强度计算思考：梁的内力符号是否和坐标系有关？答：无关。如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？A00EBCF P DX C = P cos 答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。11例1如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸

3、梁，试求-，-截面上的剪力和弯矩。解1、支座约束力、支座约束力MMB=0 +RA 4 P 2 q 2 1 = 0A=0P 2 RB 4 + q 2 5 = 0RA = 1.5kN , RB = 7.5kN12例12、计算内力、计算内力F = 0 MC = 0y1RA Q1 = 0RA 1 M 1 = 0M 1 = 1.5kN mQ1 = 1.5kNFx=0C2Q2 q 1 = 0M= 0 M 2 + q 1 0.5 = 0Q2 = 2kNM 2 = 1kN m13弯曲的应力分析和强度计算三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图 设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数Q

4、= Q(x)-剪力方程剪力方程M = M (x)-弯矩方程弯矩方程 梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。14例2 如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解 1、求支座约束力、求支座约束力 laRA = P l aRB = P l2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程AC段段 laQ ( x1 ) = RA = P l(0 x1 a )M ( x1 ) laM ( x1 ) = RA x1 =Px1 (0 x1 a ) lQ( x1 )15例BC段段2 aQ ( x2 ) = R

5、B = P l(a x2 l )Q ( x2 )RB aM ( x2 ) = RB (l x2 ) = P (l x2 ) l(a x2 l )3、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图la P lM ( x2 )a (l a ) P la Pl16例3 m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l， = 3Pl 2试绘剪力图和弯矩图。解 1、求支座约束力、求支座约束力 Fy = 0RA P = 0 3Pl Pl mA = 0 MA = 0 2 Pl RA = P m A = 22、确定剪力、弯矩方程、确定剪力、弯矩方程AC段段 l (0 x1 )Q( x1 ) = RA = P 2 l Pl (

6、0 x1 )M ( x1 ) = RA x1 + mA = Px 1 + 2217例CB段段3Q( x2 ) = P l( x2 l ) 2M ( x2 ) = P (l x2 ) l( x2 l ) 23、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图18例4如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。解 1、求支座约束力、求支座约束力 qlRA = RB = 22、确定剪力方程和弯矩方程、确定剪力方程和弯矩方程 qlQ ( x) = qx 2(0 x 2 33 d (15 10 ) 3232 不满足强度要求3 59例9 如图所示一铸铁制成的梁。已知截面图形对形心轴的惯 74性矩 I z = 4.

7、5 10 mm ， 1 = 50mm ，y2 = 140mm 。材料许用 y拉应力及许用压应力分别为 t = 30MPa ， c = 140MPa 。试按正应力强度条件校核强度。60例解9由弯矩图可知B，C截面的弯矩符号不同，截面上的中性轴为非对称轴，且材料的拉压许用应力不同故B，C截面都可能是危险截面。B截面截面 Bt MB 20 10 3= 50 10 = 22.2MPay1 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ3 BcBC MB 20 10 3y2 = 140 10 = 62.2 MPa 3 47 IZ 4.5 10 (10 )361例C截面截面 Ct9 MC 10 10 3=

8、140 10 = 31.1MPay2 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ3最大拉应力在C截面上，最大压应力在B截面上。 c max t 虽最大拉应力大于许用拉应力，但未超过5%，故可认为满足正应力强度条件。62例10 如图所示外伸梁受均布载荷作用。已知： = 160 MPa， = 80MPa 。试选择工字钢型号。解 绘制剪力图弯矩图Q max = 58kNM max = 44.1kN mWz M max = 276cm363例10在型钢表中查得工字钢的 Wz = 309cm 故选之。3 因工字形钢为薄壁截面，须进行弯曲切应力校核。由 *型钢表查得 I z / S z = 18.9cm

9、 ， d = 7.5mm ，则 max Qmax= = 40.9MPa Iz d * Sz可以选用工字钢。64弯曲的应力分析和强度计算提高粱弯曲强度的主要措施设计梁的主要依据为弯曲正应力强度条件 max M= ( ) max Wz提高粱的强度，从以下四个方面考虑： 合理地安排梁的支座和载荷； 采用合理的截面形状； 采用等强度梁 合理地使用材料65弯曲的应力分析和强度计算一、合理地安排梁的支座和载荷合理安排支座和载荷，以降低最大弯矩。M max 1 2= ql 8M max 1 2=ql 4066弯曲的应力分析和强度计算分散载荷辅助梁M max 1= Pl 4M max 1= Pl 867弯曲的

10、应力分析和强度计算二、采用合理的截面形状 弯曲截面系数 Wz 不仅与截面尺寸有关，还与截面形状有关。为了减少材料的消耗，减少自重，应取 Wz / A较大的截面形状。68弯曲的应力分析和强度计算从正应力分布角度分析 梁横截面上的正应力是按线性分布的，靠中性轴越近应力越小。工字形截面有较多面积分布在离中性轴较远处，作用着较大的面积，而矩形截面梁在中性轴附近分布较多承担较小应力的面积。因此，当两种截面的最大应力相等时，工字形截面形成的弯矩较大，抗弯能力较强。69弯曲的应力分析和强度计算 对于抗拉、压强度不等的材料，应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到，对于这种情况宜采用中性轴为非对称轴的截面7

11、0弯曲的应力分析和强度计算注意截面的合理放置 bhWz 6 = 0.167 h=Abh2 hbWz 6 = 0.167b=Abh712弯曲的应力分析和强度计算 上述梁的合理截面形状是由满足弯曲正应力强度条件出发，仅由减少材料消耗、减轻自重的角度考虑。工程实际中选用合理的截面，还必须综合考虑是否满足切应力强度条件、刚度条件和稳定性等条件，是否满足结构和使用上的要求以及工艺、管理等方面的因素，才能最后决定。72弯曲的应力分析和强度计算三、采用等强度梁 横力弯曲时，梁的弯矩是随截面位置变化的，若设计成等截面梁，则除最大弯矩所在的截面以外，其他各截面的正应力均未达到许用应力值，材料强度得不到充分发挥。

12、为了减少材料消耗，减轻自重，可把梁制成横截面随截面位置变化的变截面梁。变截面梁若截面变化比较缓慢，弯曲正应力公式仍可适用。当变截面梁各横截面上的最大弯曲正应力相等，且等于许用应力，即 max M ( x)= Wz ( x)这种梁称为等强度梁。 M ( x)Wz ( x) = 等强度梁截面的变化规律73弯曲的应力分析和强度计算等高度矩形截面等强度梁h 为常量 b( x ) hW ( x) = 6 PM ( x) = x 22 3Pb( x ) = 2 x h l(0 x ) 2按上述设计左右两端点处。从切应力强度条件考虑 max P 3 Qmax 3 2= 2 A2 bmin hbmin 3P=

13、 4h 74弯曲的应力分析和强度计算四、合理地使用材料 不同材料的力学性能是不同的，应尽量利用每一种材料的长处。例： 可将两种以上的材料按一定规律复合后，形成一种新的更好的新材料。 混凝土的抗压性能远高于抗拉性能，在用它制造梁时，可在梁的受拉区域放置钢筋，组成钢筋混凝土梁。在这种梁中，钢筋承受拉力，混凝土承受压力。 夹层梁表层用高强度材料，芯子用轻质低强度的填充材料，这种梁既能降低自重，又能有足够的强度和刚度。75弯曲的应力分析和强度计算思考：铸铁字形截面梁的许用拉应力为50MPa ，许用压应力为200MPa。则上下边缘距中性轴的合理比值是多少？Py1y2答：y1 / y2 = 4 : 176弯曲的应力分析和强度计算本章小结 弯曲梁内力计算截面法求剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程的建立，剪力图和弯矩图的画法。 载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系及其在画剪力图和弯矩图中的应用dM ( x) = Q( x) dxd M ( x) = q( x) 2 dx2用叠加法作剪力图和弯矩图77弯曲的应力分析和强度计算纯弯曲梁横截面上的正应力 M = EI xz1 M=y IZ max M= WZ矩形截面梁的弯曲切应力 QS= I zb*z max 3Q= 1.5 平均 2 bh梁弯曲时正应力强度条件 max M= ( )