刘鸿文材力第十三章能量方法机械

1、第十三章第十三章能量方法能量方法13.1 概概 述述几何法：应 力应 变变 形外 力物理方程平衡方程几何方程(变形协调方程)能量方法: 由能量的观点出发建立荷载与变形间关系 弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功W， 弹性体变形储存变形能（应变能） V， 略去在该过程中的微量能量损耗， V = W 变形能=外力功 13.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算1.1.轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩线弹性范围内，变形能为：12VWFl212NFLEA用外力功表示用“内力”表示能密度能密度:231( /)22vJ mE能密度能密度2122vG2.2.纯剪切纯剪切线弹性范围内，变形能为：3.3.扭转扭转线弹

2、性范围内，变形能为：12eVWM用外力功表示212PT lGI用“内力”表示MeOMe1Mel同样，对于一般情况，有：21( )2( )lPTx dxVGIx4.4.弯曲弯曲MOM（1）纯弯曲MMl线弹性范围内，变形能为：12eVWM用外力功表示212eMlVWEI用“内力”表示（2）横力弯曲M(x)dx总变形能 = 剪切变形能 + 弯曲变形能2( )2Mx dxdVEI一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：2( )2LMx dxVEI112233111222VWFFF 推广到一般情况，得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：注意：式中1、2、3为所有外力F1、F2、F3共同作用引起的位移

3、。13.3 13.3 应变能的普遍表达形式应变能的普遍表达形式 这就是用“外力功”表示的变形能的普遍表达式，即：克拉贝依隆原理。一般地，有：12VFF广义力 广义位移 广义力 广义位移集中力 力作用点沿力作用方向上的位移分量集中力偶 力偶作用截面在力偶作用平面内的角位移一对等值反向集中力 一对力作用点沿力作用方向的相对线位移一对等值反向力偶 一对力偶作用截面在一对力偶作用平面内 的相对角位移AAAAAxAyPAxAyMdxFNTMFNT111( )()( )( )222NdVFx dlMx dTx d轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲的组合变形，有：222( )( )( )222NPFxdxMxdx

4、TxdxdVEAEIGI线弹性范围内有：这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。注意：式中M、T、FN为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的内力。222222NlllPFdxMdxT dxVEIGIEA 这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式，即：克拉贝依隆原理。（3）当杆件发生两种以上基本变形）当杆件发生两种以上基本变形,且且其中任一种载其中任一种载荷在另一种载荷产生的位移上不作功荷在另一种载荷产生的位移上不作功时时,其总变形为其总变形为（2）当某种基本变形的变形能由多个载荷共同引起）当某种基本变形的变形能由多个载荷共同引起时，变形能不能叠加。时，变形能不能叠加。

5、但当任一荷载在另一荷载产生但当任一荷载在另一荷载产生的位移上不做功的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。形能之和等于共同作用时产生的变形能。（1）弹性变形能只与力或位移的终值有关，与加载）弹性变形能只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。过程和次序无关。变形能特点变形能特点:222222NlllPFdxMdxT dxVEIGIEA2. 变形位能的计算不能用叠加原理变形位能的计算不能用叠加原理2221212222M dxM dxM M dxM dxVEIEIEIEI1212M M dxVVEI?1P1M21MMM1

6、P2P2P2M 结结 论论1. 变形位能是状态函数（同最终的力和变形有关）变形位能是状态函数（同最终的力和变形有关）* * 利用功能原理求位移利用功能原理求位移 根据外力功根据外力功 W 全部转成变形能全部转成变形能 V W = V 可以求出一个集中力下的位移。可以求出一个集中力下的位移。要点：要点： 1 1、求出截面内力函数；、求出截面内力函数； 2 2、积分求变形能、积分求变形能 V ； 3 3、W = V，求出位移。求出位移。例例: : 求图示简支梁中点的挠度 fC解：CPfW21)20( 2)(LxxPxM222200()22222LLPxMdxVEIEIEILP9632PEIL/2L

7、/2 WVEILPPfC9621 32EIPLfC48 3正号表示正号表示 fC 的方向与外力的方向与外力P的指向相同。的指向相同。例例: : 求图示简支梁左端的转角A解：EILxm12AWm220022LLmlxM dxlVdxEIEI26m LEI WV21 26Am LmEI3AmLEIVm( ) (0)mM xlxxLl 例例1 12396P LVEI例例2 2后面的偏微分关系是巧合，还是必然？后面的偏微分关系是巧合，还是必然？ 实际是实际是卡氏定理卡氏定理。AVmCVfP26m LVEI3 48CPLfEI3AmLEI以梁为例推导：记号：iFi：“力”的作用位置荷载：位移：iji：位

8、移发生的位置j：位移发生的原因， 点的“力”引起的j1F1211212F121222现在梁上1、2两点加荷载 、 ，采用两种不同方式加:1F2F第一种加载方案：1、2两点同时加 、1F2F由叠加原理，1点总的位移为：1112 2122 2点总的位移为：11111122212211()()22VWFF 1112 1F122F2122 第二种加载方案：先加 ，然后再加1F2F221112221121122VWFFF先加 ， 做功为：11112F1F1F再加 ， 做功为：22212F 2F2F在加 的过程中 做功为： 112F2F1F111F122F2212线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载

9、方式无关。12 VV即：11112221221112221121111()()2222FFFFF 221112 FF功的互等定理F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功当 F1 和 F2 在数值上相等时，由功的互等定理可得到：2112 位移互等定理第1点的荷载引起的第2点的位移在第2点作用同样大小的荷载引起的第1点的位移 注意：（1）互等定理成立的条件：（2）ij广义位移iF广义力ij线位移iF集中力iF集中力偶ij角位移线弹性、小变形、叠加原理成立。ij j 处的广义力引起 i 处的广义位移ijji当载荷为单位载荷F1 =F2 =1时，引起的位移有：1M1

10、221f212121fFM功互等当 M1 与 F2 数值上相等时：2112f位移互等（数值上相等）12122F212121MM功互等当 M1 与 M2 在数值上相等时：2112位移互等（数值上相等）1M122112122M1212P2第第 II 状态状态第第 I 状态状态212112 单位广义力是量纲为单位广义力是量纲为1的量的量；互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。如图示长如图示长 l ，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁EIlB16221 EIlfc16212 第第 II 状态状态12PACBCf第第 I 状态状态B AC11PB跨中跨中*3. 反力互等

11、定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：111221rr1221rr反力互等定理反力互等定理请自行验证：数值、量纲都相同。请自行验证：数值、量纲都相同。*4. 反力位移互等定理反力位移互等定理:2112 r1P = 122112r11 2121 注意：注意： 与与 P 力方向相反。力方向相反。2121 以简支梁梁中受竖向单位集中力为例，说明以简支梁梁中受竖向单位集中力为例，说明反力位移互等定理。反力位移互等定理。13.5 卡氏定理卡氏定理1.1.卡氏第一定理（应变能法）卡氏第一定理（应变能法）12(,)nVV1212nnVVVdVddd当仅 发生微小增量 ，其余位移无增量时：ii

12、d iiVd Vd另一方面，当仅 发生增量 时， 将做功，从而导致应变能发生增量：iid iFiidVP d（常力做功） iiiiVP dd iiVP与 位置相同。iPi卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。（2）“相应”的意义：为集中力，则 为与之同方向的线位移。iPi为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。iPi2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理12(,)nVVFFF1212nnVVVdVdFdFdFFFFiiVdVdFF当仅有 有增量 ，其余荷载不发生变化(即每个荷载是独立变化的)时：iFidFiiV

13、VdVVdFF结构的变形能为：另一方面，先加 ，再加其它载荷。对线弹性结构而言，结构的变形能为：idF12iiiidF dVdF 略去高阶小量得：iiVF卡氏第二定理卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外力的偏导数，等于与此外力相应的位移。意大利工程师意大利工程师 阿尔伯托阿尔伯托卡卡斯提格里安诺斯提格里安诺(Alberto Castigliano， 18471884) iiVVdFF（与加载次序无关）（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。（2）“相应”的意义：为集中力，则 为与之同方向的线位移。iFi为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。iFi与 位置相同。iFi（3）应变能应写成外力的

14、函数。（4）求位移时,应考虑到弹性系统的全部变形能。（5）各载荷相对独立,不能互相依赖和影响。若要求位移处对应外力与结构中其它力有倍数关系则求导前将其用不同符号区别,求导后代值计算.（6）求位移时可先求导,后积分,视方便而定。（7）当所求位移处无相应广义力时,应附加一 个广义力,求导后可立即令其为零。（8）计算变形能时,可任取坐标系,只需在同一内力方程中内力符号采用相同规则。卡氏第二定理的具体应用：卡氏第二定理的具体应用：（1）梁2( )2lMx dxVEI22( )( )()22( )( )illiiiliVMx dxMxdxFFEIFEIM x M xdxFEI （2）桁架212nNjjj

15、jFlUEA（ n根杆）1nNjNjjijiijFFlVFFEA（3）轴2( )2lPTx dxVGI( )( )iliiPVTxTxdxFFGI（4）一般地222( )( )( )222NlllPFx dxMx dxTx dxVEIEAGIiiNNllliiiPVFFFMMTTdxdxdxFEIFEAF GI例例: : 图示简支梁，求中点C的挠度。解：)20( 2)(lxxPxM2xPMPEIl/2l/20/ 20/ 2330 22 2 2348lCllMMwdxPEIxPxdxEIPxPlEIEI正号表示正号表示wC 的方向与的方向与P的指向一致。的指向一致。例例: : 求求A 点的挠度点

16、的挠度变形变形求弯矩求弯矩解：解：PxxM)(33AAVPLwPEI 求变形能求变形能222( ) 26LMxP LVdxEIEI思考：如何求思考：如何求 A A 点转角点转角ALPEIxO 例例: : 图示悬臂梁，求B截面的转角 。BlPEI在 B 截面加一与 “相应”的假想外力MaB解：因为在 B 截面没有与 相应的外力，所以要进行处理。BxPEIMa1aMM( )()aMxP lxM 000020() 1() 2aalBaMlaMlMMdxMEIP lxMdxEIP lxPldxEIEI (顺时针)（1）负号表示 的转向与 Ma的转向相反。B（2）要求某点的“位移”，则必须在该点有与之相

17、应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。注意：注意：例例: : 图示悬臂梁，求C截面的挠度fC 。212()() 02( )2() 2lP lxPxxlM xP lxlxl解：P=P2EIl/2l/2P=P1BACxy2() 02() 2lxxlMlxlxlP1202,20232()()()2 ()7 16lCPPPlllMMfdxPEIllxP lxPxdxEIP lxPldxEIEI（向下）212()() 02( )2() 2lP lxPxxlM xP lxlxl例例: : 图示结构，求 A、B 两点的相对位移。PEI2aaPDCBAx1x2x3111223

18、33( ) 0( ) 02( ) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxa解：11xPMaPM233xPMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIMPMdxEIMPMdxEIMPMaaaaaaAB38 3032320220121033320222011111122333( ) 0( ) 02( ) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxa AAAAAxAyPAxAyAAAPAxAyt 1.1.虚位移虚位移虚位移虚位移约束所允许的微小位移。0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。（2）微小，并且符合约束条

19、件。注意：注意：2 2、实功和虚功、实功和虚功力力力作用点沿力方向上的位之总和力作用点沿力方向上的位之总和力在力在自身所产生的位移自身所产生的位移上所作的功上所作的功PPW21力在力在非自身所产生的位移非自身所产生的位移(虚位移虚位移)上所作的功上所作的功tPWPCtt1P11122P21221P2P12位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件； 力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。 （3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关。P PWMW MABMMMM

20、MMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 广义力和广义位移广义力和广义位移xyAAFPDC CDDCFP 3.3.虚功原理虚功原理 对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功，等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功。前者称为外力虚功 ，后者称为内力虚功 。extWintW即： intextWW 弹性体平衡弹性体平衡 另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理虚功原理： 弹性体平衡的充分必要条件是，外力

21、虚功等于内力虚功，即：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡必要条件的简单证明，即证：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡（1）设图所示梁发生虚位移 ，可得：)(*xv)(*22*11lextdxxqvvFvFW0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xq证明一：以梁为例（2）设想：将处于平衡状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：)(*xv（刚体虚位移）MdxCq(x)FNFNM变形前C变形后*()dl*d*d（虚 变 形）*d小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。质点虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体 虚位移上的虚功之和等于0。小微段上

22、的虚功仅为力系在虚变形上做的功。*()NsdWF dlM dF dTd所有微段上的虚功之和即为总的虚功。*()NsllllWF dlMdF dTdintextWWW证明二证明二: xq1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分：为两部分：体系外力体系外力q q截面上内力截面上内力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe截面内力功截面内力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dW

23、n =d dWe =We2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分为两部分：为两部分：刚体位移刚体位移变形位移变形位移baab baba 故有故有We= =Wi 成立。成立。abab b外力总虚功外力总虚功=各微段外力在变形虚位移上总虚功之和各微段外力在变形虚位移上

24、总虚功之和* *虚功原理虚功原理对于刚体：对于刚体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所 作的虚功之和为零。作的虚功之和为零。对于变形体：对于变形体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所 作的虚功恒等于内力在虚变形上的虚功作的虚功恒等于内力在虚变形上的虚功 （虚变形位能）。（虚变形位能）。* * 虚功的计算虚功的计算外外 力：力： P1, P2, 内力：内力：FN, M,外力虚功：外力虚功： We=P11+P22+.虚位移：虚位移：1, 2,., 虚变形：虚变形：() l,内力虚功：内力虚功：().iNWF dlMd由

25、由 We= Wi().iiNPF dlMd 虚功原理是最一般的功能原理。虚功原理是最一般的功能原理。 原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何 (线性和非线性线性和非线性)的变形体的变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。 1M x d 对于梁，施加单位力对于梁，施加单位力P =1, 力力P产生的内力产生的内力 M x则有：则有：dxEIxMd)( ( )M x M xdxEI 莫尔定理莫尔定理().iiNPF dlMd （1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。在该点

26、沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。“相应相应”：线位移：线位移集中力；集中力； 角位移角位移集中力偶。集中力偶。对应的单位力系统对应的单位力系统ABaa1求图示结构求图示结构B点沿点沿a-a方向的线位移方向的线位移ABaa13.7 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足：系统的虚位移。显然满足： 原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。 微小且符合约束条件。微小且符合约束条件。（3）运用虚功原理：）运用虚功原理：1eiWW ：即kiP1P例：求

27、例：求k点竖向位移点竖向位移.外力总虚功外力总虚功=各微段外力在变形虚位移上总虚功之和各微段外力在变形虚位移上总虚功之和BextW 1ABaaABaa1*()intNsllllWF dlM dF dTd* ()BNsllllF dlM dF dTd( )( )( )( )NsFxFxMxTx，其中为单位力系统对应的内力。注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。对于线性结构：*( )()NFx dxdlEA*( )skFx dxdGA*( )Mx dxdEI*( )PTx dxdGI( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )NssBlllPlNFx Fx dxEAMx Mx d

28、xTx Tx dxEIFx kFx dxGAGI莫尔积分法MMP桁架( )( )NNlFx Fx dxEA 轴( )( )lPTx Tx dxGI 梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响( )( )lMx Mx dxEI NsFFMT、上式中为实际荷载引起的内力；k是个大于1的系数，是剪应力实际上不均匀并与截面形状有关的修正系数。MMP*单位荷载法计算荷载引起的位移单位荷载法计算荷载引起的位移 xqabababab bMMdMNFNNFdFsFssFdFqdx微段剪切微段剪切dx微段拉伸微段拉伸dxdx微段弯曲微段弯曲iW ()iNsNsWF dlF dMdFdxFdxMdx其中其中单

29、位力状态中由单位力引起的截面轴力，剪力，弯矩单位力状态中由单位力引起的截面轴力，剪力，弯矩虚位移状态中由荷载引起的线应变，切应变，曲率虚位移状态中由荷载引起的线应变，切应变，曲率， ，NsFFM， 此式适于此式适于各种杆件各种杆件系统（线系统（线性，非线性，非线性）。性）。对于线性结构，对于线性结构，有材料力学变形计算公式：有材料力学变形计算公式：()NF dxdlEAskF dxdGAMdxdEI QQPNNPPlllkF FdxF FdxM MdxEAGAEI ,NsFkFMEAGAEI：即虚位移状态中由荷载引起的截面轴力，剪力，弯矩虚位移状态中由荷载引起的截面轴力，剪力，弯矩NsFFM，

30、()iNsNsWF dlF dMdFdxFdxMdxE 拉压弹性模量拉压弹性模量G 剪切弹性模量剪切弹性模量I 截面轴惯性矩截面轴惯性矩A 截面面积截面面积k 切应变截面形状系数（反映应力不均匀的与截面形状切应变截面形状系数（反映应力不均匀的与截面形状 有关的修正系数，矩形有关的修正系数，矩形k=6/5；圆形；圆形k=10/9）例例: : 求等截面直梁求等截面直梁C点的挠度和转角点的挠度和转角2( )2qxMxqax)2( )2(2)0( 2)(0axaxaxaxxxM解：解：画单位载荷图画单位载荷图求内力求内力BAaaCP =1BAaaCqx20( )( )( )( )dd aaCaM x

31、M xM x M xwxxEIEI对称性对称性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402求变形求变形BAaaCqxP =1BAaaC2)(2qxaqxxM (0)2( )(2) (2 )2xxaM xxaxaxa0( )( )2daM x M xxEI求转角，重建坐标系（如图）求转角，重建坐标系（如图）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC1 ( )2xM xa 0 2)( :222qxqaxxMBC2( )2xM xaqBAaaCx2x1BAaaCM=1 0()0()( )( )( )( )ac

32、ABaBCM x M xdxEIM x M xdxEI例例 : 用卡氏定理用卡氏定理求求B点的挠度点的挠度解：解：B B点点加一个力加一个力Q Q , ,最后令最后令Q Q = =0 0 求弯矩求弯矩( )( )PAMxPMxPALaBCfxOx1( )( )QBMxQMx求变形能求变形能2() 2PQLMMVdxEI变形变形00( )( )( )( )( )( )( )ABBQBLQpBABLLPMxQMxMx dxVQEIMx Mx dxPMx Mx dxEIEI实际引向了实际引向了Mohr定理定理)(22323LaaaLaEIP)()(xLPxMP() (0)( ) 0 ()BaxxaM

33、xaxL0( )( )()()apBBLMx Mx dxP Lx axdxEIEI 原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算算只需计算只需计算二者交互的变形能二者交互的变形能 。PALaBCfxOx1lAEI2qlqBxABx1解解：（1）建立单位力系统和坐标系：例例: : 求图示结构 A 截面的转角 。A无论实际结构中A点有无与 相应的外力，都必须建立单位力系统。A（2）求内力：22( )1( )2M xqxM xql （3）求 ：A0220333( )( )2 7 66lAlM x M x dxEIqxqldxEIqlqlqlEIEIEI 前的负号表示 的

34、转向与单位力 的转向相反。AA1M lAEI2qlqBxABx1例例: : 求图示结构C点的竖直位移。x3x2x111112qax3x2qa2qax1q（1）建立单位力系统如图。解解：（2）建立坐标系如图。荷载系统与单位力系统坐标系要一致。aqEIaABCDEAaEI（3）求内力。荷载系统：荷载系统：211()2qxMx 22()2qaMxx3()2NqaFxx3x2qa2qax12qaqx3x2x11111单位力系统：单位力系统：3()1NFx11()Mxx 22()Mxx单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。（4）利用单位力法求C点的竖直位移。12311122233331102422

35、2300()()()()()() 217 22242CllaNNlaaMxMxdxMxMxdxwEIEIFxFxdxqxdxEAEIqaxqaqaqadxdxEIEAEIEA符号为正表明 的指向与单位力 的指向相同。CwCw1F 211()2qxMx 22()2qaMxx3()2NqaFx3()1NFx11()Mxx 22()Mxx例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移所加单位广义力与所求广义位移相对应相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移上做功。广义力在所求广义位移上做功。*单位力状态的建立单位力状态的建立PAB2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水

36、平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角P=1P=11P1PBA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广

37、义力。例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移(EI、EA、GA已知已知) P43例例ROBAP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示sin ,sincos ,cossin ,sinSSNNMPRMRFPFFPFdsRd P=1RPRMNFSFNsNsBFFkF FM MdsEAG AEI )(4443EIPRGAkPREAPR242/ 4,/64,10/9,/1/10,/2.5()/16AdIdkdRE GI Ad钢3:,444MQNPRkPRPREIGAEA 设11600NM1576QM 小曲率杆可利用直杆公式近小曲率杆可利用直杆公式近似计算似计算;轴向变形轴向变形

38、,剪切变形对位剪切变形对位移的影响可略去不计移的影响可略去不计在杆件数量多的情况下，不方便。在杆件数量多的情况下，不方便。 ( )( )dM x M xxEI 刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：图乘法图乘法：将积分：将积分图形相乘。出发点：直杆在图形相乘。出发点：直杆在单位力单位力作用下的内力作用下的内力图必定是图必定是直线段直线段或者或者折线段折线段。( )( )Mx Mx dx的计算转化为的计算转化为1、图乘法PMMdxEIxMxEIPdtan1 xxMEIPdtan 1cctan=A x =MEIEI xMMEIPd1)tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式

39、为:cMEI d图乘法求位移公式图乘法求位移公式:cMEI PM 图 的 面 积CPMMM图上对应图形心得竖标值例例: : 求图示悬臂梁在自由端的挠度。BA1BlAEIF解解：（1）建立单位力系统：（2）作荷载系统和单位力系统的弯矩图：l3lCxFlMMlCM（3）计算 、 、 ：CMCxlFl 213lxC23CMl 23112()()233ACfMEIFllEIFlEI“正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。Af1F l3lCxFlMMlCM 图乘法的应用条件：等截面直杆，EI为常数；两个M图中应有一个是直线；为折线时应分段 图乘求和。 应取自直线图中。当 为折线，而 图为 无折线直线时

40、， 取自 图。cMcMPMPMM尽量将MP图绘成面积及其形心已知的图 形，如图形较复杂，可分解为简单图形。若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。cMMPM对拉压、扭，同类图乘；对双向弯曲，同平面互乘。图乘法注意要点：图乘法注意要点：例例1: 1: 求图示简支梁 C 点的竖向位移和 A 点的转角。FEIl/2l/2ABC1（2）作 、 图：( )PMx( )M x解解：（1）建立求 的单位力系统：AACPMFl41M1CMl/2l/2（3）求 ：A2212481216CCAF lF lAlMMF lE IE I ACPMFl41M1CMl/2l/2比较弯曲变形表结果比较弯曲变形表结果1F

41、EIl/2l/2ABC（4）建立求 的单位力系统并作相应的 图：CM1A1CPMFl41Ml411Cyl/2l/22Cy2C2Al/3l/3l/3112231()21()2 24648CCCCMMMEIEIl FllFlEIEI 图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。M比较弯曲变形表结果比较弯曲变形表结果例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:cByMEI)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1PlMPlPEIBEIllM2、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线12例例: : 求图示外伸梁

42、 A 截面的转角。P58例解解：（1）建立单位力系统：1（2）作 、 图：( )PMx( )M xFAEIBCal1l31l211231C2C3CFaPMM2CM3CM1CM281ql（3）图乘求 ：A1122332321()1211(1382212 )231()2423CACCCMEIMMMEIqllFa aEIFa lqlFalEIEIa 与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。Fq 与 在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时， 为负。PMMCMCM1l31l211A2A3A1C2C3CFaPMM2Cy3Cy1Cy281ql3、图形分解、图形分解B例：求1ABmkN 20mk

43、N 40m10EIABmkN 20ABmkN 404020MP40203/23/ 1112(10 40231150010 20)()233CBMEIEIEI M解一：解一：B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI2/1112(10 2023150010 20)()23CBMEIEIEI 1110 1 (202250020)()33CBMEIEIEI 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取哪取哪个图形的面积均可个图形的面积均可.3/24020MPM解二：解二：解三：解三：例例: : 求图示悬臂梁 C 点的挠度。1解解：（1）建立单位力系统：（2）作 、 图：PMM将 图分成易

44、于确定面积和形心位置的三个面积。PM2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lPMMl/2FEIFl/2ABC21122223312 2 28132 243413()2 222456CCCl FlFlMll FlFlMllFlFlFlMl将三个面积分别与 图乘，然后相加：M2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lPMMcMEI 21122223311 2 2 2833 2 244135() 2 22246CCCl FlFlMll FlFlMllFlFlFlMl11223322231()135 ()8344467 16CCCCCMMMME IE IF llF llF llE IF lE I 解：作荷载弯矩