柯西古萨基本定理

1、2 2 柯西柯西古萨基本古萨基本定理（定理（积分基本定理）积分基本定理）)( zfcdzzf0)( 定理 设G为复平面上的单连通区域，c为G内的任一条围线，若 在G内解析，则 ( )fz黎曼证法（假设 在B内连续）设故有在G内连续，所以 在由围线c),(),()(,yxivyxuzfiyxzCCCudyvdxivdyudxdzzf)(yyyxiuvivuf(z) 由yxyxvvuu,DdxdyuvvdyudxyDxc)(及其内部构成的闭区域 上连续，又因c为逐段光滑的闭曲线，且u与v在c上连续是显然的，于是，由高等数学中的格林公式得dxdyvuudyvdxcDyx)()(zfxyyxvuvu,

2、而由 在G内解析知，u与v满足C-R条件由此得()()=0 xyxyDDvudxdyuvdxdyczf0)(定理意义揭示了解析函数一个十分重要的性质：解析函数在一个区域G里的积分与路径无关.为我们提供了一种计算复变函数沿着围线积分的方法。52)cos2(zzdzzezzezzcos,22例 计算积分 .解 因 均在复平面上解析，故它们的和在一包含 的单连通区域G内解析，故由定理得5z520)cos2(zzdzzez7例例解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz练习1143(2)(1

3、)zzdzzz 计算1141G z+11,z+1 =G43(2)(1)3(2)(1)zzzzzdzzz 解：作区域：显然位于内.且 在内解析由定理得3 3 复合闭路定理复合闭路定理DC1C2CnCD定理：设为多连通区域内的一条简单闭曲线，C121( ) 0 ( )d( )d )C Ck其 中 及 取 正 向 .knnCCkC cccf zf z zf z z 1212,C,DD是在 的内部的简单闭曲线，他们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于 。如果 在 内解析，则nnC CCC C CC( )f z证：不失一般性，往证 用辅助线短 连接 与 将G“割破”而形成一单连通区域，由定理有0

4、C1C010()0 ()ccfz dzcC01 ( )( )0CCfz dzfz dz又01 ()0CCfzd z亦 即01()()()()0CCfzd zfzd zfzd zfzd z01()()knkCCfz dzfz dz13典型例题例例证证1C2 01 d,()0 0 Cninzzana试证且为整数其中的 是简单闭曲线，其内部含点 .11CCC2 011dd()()0 0 nnzaRinzzzazan作 ：（由于被积函数在 内部有奇点）,使 与满足定理条件且为整数14例例解解2C31 d . zzzzz计算积分，：23131 (z)= (1)10 1,:;21:16zzfzzz zzz

5、zz12设在复平面内有两个奇点和作cc1512222C313131dddCCzzzzzzzzzzzz111123112 d =)d112dd21CCCCzzzzzzzzzizz（222223112 d =)d112dd41CCCCzzzzzzzzzizz（2C31 d6zzizz16例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， 17, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据