数字信号处理ch021时域离散信号和系统频域分析ppt课件

1、Digital Signal Processing数字信号处置数字信号处置数字信号处置课程组数字信号处置课程组2021年年9月月第第2章时域离散信号和系统的频域分析章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题信号和系统的两种分析方法：信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统模拟信号和系统 信号用延续变量时间信号用延续变量时间t的函数表示；的函数表示； 系统那么用

2、微分方程描画；系统那么用微分方程描画； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；2.1 引言时域分析方法和频率分析方法时域分析方法和频率分析方法 (2)(2)时域离散信号和系统时域离散信号和系统 信号用序列表示；信号用序列表示； 系统用差分方程描画；系统用差分方程描画； 频域分析的方法是：频域分析的方法是：Z Z变换或傅里叶变换；变换或傅里叶变换；2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.1 序列傅里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(

3、n)满足绝对可和的条件， 即满足下式： ()( )jj nnX ex n e( )nx n 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质求FT的反变换， 用e jm乘上式两边， 并在-内对进展积分， 得到()()()()()2()1()()2jjmjnjnnjmnnjmnjjmXeedxneedxnedednmxnXeed因此de)n( xdee )n( xde )e(X)nm(jnmjnnjmjjde )e(X21)n( xmjj()( )jj nnX ex n e傅里叶变换对2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质例例:设设x(n)=RN(n) ， 求求x(n)的的FTjNj1N0nnjnjnNje1

4、e1ee )n(R)e(X(1)/2sin(/2)sin/2j NNe设N=4， 幅度与相位随变化曲线如以下图所示sin(/ 2)()sin/ 21()2jjNX eNX e 幅度谱相位谱argCommonly Used DTFT Pairs Sequence DTFT1 nkk)2(21konjkeo)2(21 (2)1jku nke jnen11) 1(,2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.2 序列傅里叶变换的性质1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立(2)()( ),jjM nnX ex n eM为整数结论： (1) 序列的傅里叶变换是频率的延续周期函数，

5、周期是2。 (2) X(ej)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。 (3) 在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。普通只分析信号在一个周期的FT2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2. 线性 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么11221212() ( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nX eFT x nFT ax nbx naX ebX e设： 11221212()() ,()() ,()() ()()jjjjXeF TxnXeF TxnF Ta xnb xna Xeb Xe

6、那么： 式中a, b为常数0000() ()() ()jnjjnjF TxnneXeF TexnXe0000() ()() ()jnjjnjF TxnneXeF TexnXe)11221212() ( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nX eFT x nFT ax nbx naX ebX e改动相位2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质4. FT的对称性(1) 共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足： 将xe(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n替代，取共轭： 得到： xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)= xer(

7、-n)-jxei(-n)xer(n)= xer(-n) xei(n)= -xei(-n) 实部实部是偶是偶函数函数虚部虚部是奇是奇函数函数2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质对比上面两公式，对比上面两公式， 左边相等，左边相等， 因此得到因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=xor(-n) xoi(n)= xoi(-n) (2) (2) 共轭反对称序列共轭反对称序列共轭反对称序列满足：共轭反对称序列满足：将将x0(n)x0(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示： 上式

8、两边上式两边n n用用-n-n替代，取共轭：替代，取共轭：2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质例例1 试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性 解：解： 将将x(n)的的n用用-n替代，替代， 再取共轭得到：再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的方式，将序列展成实部与虚部的方式， 得到得到 x(n)=cosn+j sinn 上式阐明上式阐明:共轭对称序列的实部是偶函数，共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部虚部是奇函数。是奇函数。 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质(3) (3) 恣意序列

9、可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和恣意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 x(n)=xe(n)+xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n) xe(n), xo(n) xe(n), xo(n)和原序列和原序列x(n)x(n)有何关系？有何关系？ 将上式中的将上式中的n n用用-n-n替代，替代， 取共轭：取共轭： x x* *(-n)=xe(n)-xo(n)(-n)=xe(n)-xo(n)1()()() 21()()() 2eoxnxnxnxnxnxn1()()() 21()()() 2eoxnxnxnxnxnxn根据上面两式，根据上面两式， 得到得到2.2 序列的傅里叶变换的定

10、义和性质(4) (4) 频域函数频域函数X(ej)X(ej)的对称性的对称性 恣意频域函数恣意频域函数X(ej)X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：称部分之和：1()()() 21()()() 2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe1()()() 21()()() 2jjjejjjoXeXeXeXeXeXeX(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) Xe(ej) = X*e(ej) Xo(ej) =X*o(ej)Xe(ej), Xo(ej)和原频域函数和原频域函数X(ej)的关系的关系2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质(5) 研讨FT的对称性 (

11、a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的方式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进展FT， 得到: X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一同对应的FT具有共轭反对称性。 ()() ()()() ()jjnrrnjjnoirnXeF TxnxneXeF Tjxnjxne ()( ) ( )()( ) ( )jjnrrnjjnoirnX eF T x nx n eX eF T j x njx n e 1( ) ( )( )21( ) ( )( )2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe

12、 ()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e()( ) ( )()( ) ( )jjnr rnjjno irnX eF T x nx n eX eF T j x n jx n e ( ) ()()( ) ()()jjnrrnjjnoirnXe F TxnxneXe F Tjxn j xne () () ()() () ()jjnrrnjjnoirnX e F T xn xn eXe F Tjxn j xn e xi(n)2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(

13、n)之和其中：将上面两式分别进展FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej) 。1()()() 21()()() 2eoxnxnxnxnxnxn1()()() 21()()() 2eoxnxnxnxnxnxn x(n)=xe(n)+xo(n)2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的根本内容总结：序列傅里叶变换的共

14、轭对称性的根本内容如下：如下：FTFTx(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw) FTFTx(n) = xe( n ) + xo( n) X(ejw) = XR(ejw ) + jXI(ejw )2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质(6) 研讨实因果序列研讨实因果序列h(n)的对称性的对称性 由于由于h(n)是实序列，其是实序列，其FT只需共轭对称部分只需共轭对称部分He(ej)，共轭，共轭反对称部分为零。反对称部分为零。 所以其所以其FT具有共轭对称性。具有共轭对称性。 即：即： H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实

15、序列的因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数的实部是偶函数，虚部是奇函数 即即 ：HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j)2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系 h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2h(n) + h(-n) ho(n)=1/2h(n) - h(-n)( )eh n (0),01( ),021(),02hnh nnhnn(),01(),021(),02h onh nnhnn( )ohn 0， n=0由于由于h(n)是实因果序列，是实因果序列，he(n)和和

16、ho(n)可以用可以用h(n)表示为：表示为：2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质实因果序列实因果序列h(n)分别用分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n)2,01,00,0nnn( )u n分段增分段增益函数益函数阐明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，由于其奇序列ho(n)中短少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需求补充一点h(o)(n)信息2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 例例2 x(n)=anu(n),0a1,2 x(n)=anu(n),0a1,求其偶函数求其偶函

17、数xe(n)xe(n)和奇函数和奇函数xo(n)xo(n)。 解：解： x(n)=xe(n)+xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) (0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ex n 1,01,021,02nnnanan(0),01(),021(),02xnx nnxnn( )ox n 0 ， n=01,01,021,02nnnanan0 ， n=02.2 序列的傅里叶变换的定义和性质5. 时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n) 那么：Y(e j)=X(e j)H(e j) 证明：()()()()() ()() ()()()()()()()mjjnmjjk

18、jkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )() ()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjynxmhn mY e FT ynxmhn m eY ehk exmeehk exmeHeX e () ()()()() ()() ()() ()() ()()()mjjn mjjk jkjk mjkjkkmj jy n x m h n mY eF T y nx m h n m eY eh k ex m eeh k e x m eH eX e ()()()()()(

19、)()()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe( )11() () *()()( )22() ()()1() () 2jjjjjjjnnj jn jnnY e X eH eX eH e dY e x n h n ex n H eede ()()()()()()()()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXem()()()()() ()() ()()()()()()()mjjnmjjkjkj

20、kmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXem()()()()() ()() ()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeF TynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe 定理阐明：两序列卷积的定理阐明：两序列卷积的FT服服从相乘关系，对于线性时不变从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的系统，输出的FT等于输入信号等于输入信号的的FT乘以单位脉冲呼应的乘以单位脉冲呼应的FT令：令：k = n k = n m , m ,那么那么2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质6. 频域卷积定理频域卷积

21、定理 设：设：y(n)=x(n)h(n) 那么：那么：()11()()*()()()22()()()1() ()2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede()11()() *()()()22()()()1()()2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede ()11()() *()()()22()()()1() ()2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede ()()1()() ()21()21() *()2jjjnnjjjjYeHexnedHeXedHeHe ()()1()(

22、)( )21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e ( )( )1( )( ) ()21( )21( )*( )2jjjnnjjjjYeH exnedH eX e dH e H e x()()1()()( )21()21() *()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e( )( )1()() () 21()21() *()2jjj nnj jjjY eH e x n e dH eX edH eH e X()()()1( )( )( )21( )21( )* ( )2jjjnnjjjjYeHexnedHe X edHe

23、He e证明：证明：2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 7. 帕斯维尔Parseval定理222*1()(21()()()() () 2jnjjnnnnxnxedxnxnxnxnXeed 222*1( )(21( )( )( )( )()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nX eed222*1()(21() ()() () () ) 2jnj jnnnnx nx edx n x n xn xn X eed 定理阐明：信号时域的总能量等于频域中的总能量。2*1()()211()()()22jjnnjjjXexn edXeXedXed 2*1()()211()()()22

24、jjnnjjjXexnedXeXedXed 证明：3.2 DTFT PropertiesType of Property Sequence DTFT deHeGjj)()(21)(deHeGnhngjjn)()(21*Parsevals relationModulation gnhnConvolution gn*hn G(ej )H(ej )Differentiation ngn jdG(ej )/d Frequency-shifting e-j 0ngn G(ej( - 0)Time-shifting gn-n0 e-j n0G(ej )Linearity agn+bhn aG(ej )+b

25、H(ej )hn H(ej )gn G(ej )2.3 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 周期序列不满足绝对可和条件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展开成离散傅里叶级数，当引入奇特函数，其FT可用公式表示。留意：模拟基频为留意：模拟基频为 高次谐波为高次谐波为 有无穷多个！有无穷多个！ 数字基频为数字基频为 高次谐波为高次谐波为 只需只需N个！个！02=T02=kkN02=N0k022ssjknTjnkjktNTNeee2222()jn rN kjnkjrNkjnkNNNNeeee2( )jknNkkx na e( )x n2.

26、3.12.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 1. 1. 周期序列的离散傅立叶变换周期序列的离散傅立叶变换(DFS(DFS变换变换) ) 设设 是以是以NN为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的方式：为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的方式：2jmnNe式中式中akak是傅里叶级数的系数，为求系数是傅里叶级数的系数，为求系数akak，将上式两边乘以，将上式两边乘以 ，并对并对n n在一个周期在一个周期NN中求和中求和 2( )jknNkkxnae222111()00021()0( )NNNjmnjmnjk m nNNNkknnkknNjk m nNnx neaeaee 222

27、111( )00021( )0()NNNjm njm nj km nNNNkknn kknNj km nNnx n ea eaee 222111()00021()0()NNNj m nj m njkmnNNNkknnkknNjkmnNnxneaeaee 222111( )00021( )0()NNNj m nj m nj km nNNNkknn kknNj km nNnxn ea ea ee 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数，所以系数 也是周期序列，ak=a k+lN，令：式中:因此:2101()Nj k mNkna

28、xneNn2101( )Njk mNknax n eN2( )jknNkkx nae222111()00021()0( )NNNjmnjmnjk m nNNNkknnkknNjk m nNnx n ea eaee 222111( )00021( )0()NNNj m nj m nj km nNNNkknn kknNj km nNnxn ea ea ee 222111()00021()0( )NNNjm njm njk mnNNNkknnkknNjk mnNnxneaeaee 222111( )00021( )0()NNNj m nj m nj km nNNNkknn kknNj km nNnx

29、nea ea ee ,0,N kmkm222111( )00021( )0()NNNjm njm nj km nNNNkknn kknNj km nNnx n ea eaee 222111( )00021( )0()NNNj m nj m nj km nNNNkknnkknNj km nNnxneaea ee -kn2101( )NjkmNknax n eNke )n(xNa)k(XknN2j1N0nk周期序周期序列的离列的离散傅里散傅里叶级数叶级数2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2、周期序列离散傅立叶反变换(IDFS变换) 如上式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到

30、2jklNe1N0k)nl(kN2j1N0nklN2j1N0kknN2j1N0n1N0kklN2je)n(xee )n(xe )k(X21()0Njk l nNkeN，k = n0，k n由于： 10210)(2) (1) ( ; , 0;,NkknNjNnknlNjekXNnxnlnlNe 得得代代入入由由于于2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式总结：一个周期为N的周期序列DFS变换对为意义：阐明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度 ，基波分量的频率是2/N， 幅度是(1/)( )N X k(1/)(1)N X一个周期序

31、列一个周期序列可以用其可以用其DFSDFS表示它的频谱表示它的频谱分布规律。分布规律。 knN2j1N0ne )n(x)n(xDFS)k(XknN2j1N0ke )k(XN1)k(XIDFS)n(x2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式例1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进展周期延拓， 得到如下图的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照DFS变换公式( )x n( )x n273840044442224888( )( )111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee38sin2sin8j

32、kkek幅度特性阐明周期序的DFS :与N有关；在频域中是个离散的周期序列273840044442224888()()111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkj kjkjkjkjkXkxneeeeeeeeeeee 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中， 的傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2， 即0( )jtax te00()() 2()jtjtaaXjF Txteed t 00()( )2()jtj taaXjFT x teedt 00(2),jnjr neerr取整数00()2(2)jnjrX eFT er

33、 那么：在在002r2r处处的单位冲激函数的单位冲激函数在时域离散系统中，对于在时域离散系统中，对于x(n)=e jonx(n)=e jon，2/o2/o为有理数，其为有理数，其FTFT也是在也是在=0=0处的单位冲激函数，强度为处的单位冲激函数，强度为22，由于，由于n n取整取整数，下式成立数，下式成立2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式对于普通周期序列 ，其离散傅里叶级数为：( )x n奇特函数knN2j1N0ke )k(XN1)n(x21022()()()()()jkNjk nNnXeXkkNNxkxne21022()()()()()jkNjk nNnXexkkNNXkx

34、ne 其中：假设让k在之间变化， 上式可简化成：2211001011() ( )( )( )2( )2=(2)NNjknjknjNNkkNkrX eFT x nFTX k eX keNNX kkNFTrN 对其进展傅里叶变换：2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式例2:求例1中周期序列的FT。 解：将例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到( )X k38sin(/2)()()4sin(/8)4jkjkkX eekk 对于同一个周期信号，其对于同一个周期信号，其DFSDFS和和FTFT分别取模的外形分别取模的外形是一样的，不同的是是一样的，不同的是FTFT用用单位冲激函数表示单位

35、冲激函数表示( (用带箭用带箭头的竖线头的竖线) )，所以，周期序，所以，周期序列的频谱分布用其列的频谱分布用其DFSDFS和和FTFT表示都可以表示都可以2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式例3 令 ，2/0为有理数，求其FT。0( )cosx nn00000001()2() c o s12(2)(2) 2 (2)(2) jnjnjrrxneeXeF Tnrrrr 00000001()2() cos12(2)(2) 2 (2)(2) jnjnjrrxneeXeFTnrrrr00000001() 2( ) c o s 12 (2) (2)2(2) (2)j nj njrrxn e

36、 eXe F Tnrrrr 00000001()2() cos12(2)(2) 2 (2)(2) jnjnjrrxneeXeFTnrrrr200000001( )2( )cos12 (2 )(2 )2(2 )(2 )j nj njrrxneeXeF Tnrrrr 0 0000001( ) 2() c o s12 (2 )(2 ) 2 (2 )(2 ) jnjnjrrx neeX eF Tnr rr r 00000001()2() c o s12(2)(2) 2 (2)(2) jnjnjrrxneeXeFTnrrrr 0 0 0X(ej)22解： 欧拉公式展开阐明阐明:cos0n的的FT，是在，

37、是在=0处的单位冲激函数，强度为处的单位冲激函数，强度为，且以，且以2为周为周期进展延拓。期进展延拓。2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 0.5 100.51 0.5 100.51 0.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022模拟频率与数字频率之间的定标关系模拟域频域数字域频域归一化频率：归一化频率：f=f/fs =/s， =/22.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 例例 设设xa(t)=cos(2f0t)xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hzf0=50Hz，以采样频率，以采样频率fs=200Hzfs=200Hz对对xa(t)xa(t)进展采样，得到采样信号进展采样