浙教版二次函数专题

1、二次函数知识点1、二次函数定义：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫 做x的二次函数.2、二次函数的解析式有三种形式：(1) 一般式：y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0) 顶点式：y a(x h)2 k(a, h,k是常数，a 0)(3)当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 02有头根xi和x2存在时，根据二次三项式的分解因式 ax bx c a(x x)(x x2),二次函数y ax2 bx c可转化为两根式 y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样 表不。3、二次函数 y ax2 bx

2、c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.224、二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h k的形式，其中2,b .4ac bh一, k .2a4a225、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax ；y ax k ;y a x h2； y a x h 2 k; y ax2 bx c.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同 .平行于y轴(或重合)的直线记作 x h.特别地，y轴记作直线x 0.7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系

3、数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：yax2 bx c2b a x2a4ac b2,顶点是（4ab 4ac b2、对称轴是直线xb2ak的形式，得到顶所以对称轴的连线(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x点为(h, k ),对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29、抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用2(1) a决定开口

4、万向及开口大小，这与 y ax中的a完全一样.2(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax bx cb的对称轴是直线x故：2ab 0时，对称轴为y轴；b 0 (即a、b同号)时，对称轴在 y轴左侧； abb 0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧. a(3) c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c, 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴； c 0 ,与y轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则一 0.a10、几

5、种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口向卜x 0 (y 轴)(0,0)2.y ax kx 0 ( y 轴)(0, k),2 y ax hx h(h,0)2y a x h kx h(h,k)y ax2 bx cb x 2ab 4ac b2(c，/)2a 4a11、用待定系数法求二次函数的解析式. 一2(1) 一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式. .一2(2)顶点式：y ax hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标 x1、x2,通常选用交点式：y

6、 a x x x x2.12、直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h , ah2 bh c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2,是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个

7、交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根(5) 一次函数y kx n k0的图像l与二次函数y2ax bx c a 0的图像G的y kx n交点，由方程组42的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时y ax bx cl与G有两个交点；方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为Ax1Q, B x2Q ,由于 x1、x2 是方程 ax2bx c 0的两个根，故xix2bc,xi x2 aaAB |xix2xix2 2x1 x

8、2 2 4x1x22b 4ca a一 b2 4aca【点评】弄清抛物线的位置与系数【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号2 c例1 (1) 一次函数y ax bx c的图像如图1,则点M(b,)在()aA.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号; 当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数 是()(2)a, b, c之间的关系，是解决问题的关键。例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2, O)、(x1，0),且1<xi&

9、lt;2,与y轴的正半轴的交点在点(O, 2)的下方.下列结论： a<b<0 ;2a+c>O ;4a+c<O ;2a -b+1>O,其中正确结论的个数为(答案：DA 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个会用待定系数法求二次函数解析式例3、已知：关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D. (3, 2)答案：C例4、如图(单位：m),等腰三角形 ABC以2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时

10、，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2,时，y分别是多少(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角 形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴例5、已知抛物线y= x2+x-5 .22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6、已知:二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点 P(4,10),交x轴于A(x1,0) , B(x2,0)两点(x x2),交y轴负半轴于C点，且满足3A

11、O=OB.(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角/MCO>/ACO若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.(1)解:如图二抛物线交 x轴于点A(xi, 0), B(x2, O),贝U Xi - X2=3<0,又,/ xi <X2,1. X2>O, xi<O, .1 30A=OB, ，x2=-3xi.2. xi - x2=-3xi2=-3.xi2=i.xi<0, 1. xi=-i .，. x2=3.点A(-i, O), P(4, i0)代入解析式得解得 a=2 b=3.二次函数的解析式为y-2x2-4x-

12、6.(2)存在点 M 使/MC0</ACO.(2)解：点A关于y轴的对称点A' (i, O),直线A, C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0, -6), (5, 24).，符合题意的x的范围为-i<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-i<x<O或O<x<5时，/ MCO>/ ACO. i ，例7、已知函数y x2 bx c的图象经过点 A (c, 2), I I，求证：这个2二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(i)根据已知和结论中现有的信息，你能否求

13、出题中的二次函数解析式若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充 完整。bx c的图象经过点 A (c, 2),图象的对称轴是 x=3,i 2解答(i)根据y -xc2bc c 2,2得 b 八2所以所求二次函数解析式为x2 3x 2 0,解得 xi 3 V5,x23 V5.2(2)在解析式中令y=0,所以可以填“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是(3+J5,0)”或“抛物线与x轴的一个5i 2父点的坐标是(3 。5,0).。令x=3代入解析式，得y，所以抛物线y x2 3x 2的22一一一、，5、-

14、 5.顶点坐标为(3,一),所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3, 一)等等。22函数主要关注：通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想； 关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE如图），其中 AF=2, BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.解：设矩形 PNDM的边DN=x, NP=y,则矩形PNDM 的面积 S=xy (2WxW 4),易知 CN=4-x, EM=4-y,且有GV>-3 1 + S= xy

15、= .2< x< 4)此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5,.当xw 5时，函数值是随x的增大而增大，对2WxW 4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=2-X 4* +5x4 = 12x （元）152030y （件）252010例2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）？与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元一一 一 一15k b 25,【解析】（1）设此一次函数表达式为y=

16、kx+b.则解得k=-1 b=40,2k b 20?即一次函数表达式为 y=-x+40.（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w元w= （x-10） （40-x） =-x2+50x-400=- （x-25） 2+225.产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为225元.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是（）A.(2,11)B. ( 2, 7)C. (2, 11)D. (2, 3)2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是()2222.A. y 2(x 1) B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 1

17、2 . _ k3.函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x24.已知一次函数 y ax bx c（a0）的图象如图所示，则下列结论：a,b同号;当x 1和x 3时，函数值相等造4a b 0当y2时，x的值只能取0.其中正确的个数是C. 3个D. 4个25.已知一次函数 y ax bx c（a0）的顶点坐标（-1,）及部分图象（如图）,由图象可知关于x的一兀二次方程ax2bx c 0的两个根分别是x1 1.3和x2（A. - 1 .36 .已知二次函数y2axbxc的图象如图所示，则点(ac, bc)在()A.第一象PMB.第二象限 C.第三象限D.第四象限7 .

18、方程2x x2 2的正根的个数为（）x个个个.8.已知抛物线过点 A（2,0）,B（-1,0），与y轴交于点C且OC=2则这条抛物线的解析式为（）22A. y x x 2B. y x x 2_2222C. y x x 2 或 y x x 2 D. y x x 2 或 y x x 2二、填空题29 .二次函数y x bx 3的对称轴是x 2,则b 。10 .已知抛物线y=-2 （x+3） 2+5,如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是 。11 . 一个函数具有下列性质：图象过点（1, 2）,当Xv0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。12

19、 .抛物线y 2（x 2）2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形面积为 。2213.二次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ,c=14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(兀取.三、解答题：515 .已知二次函数图象的对称轴是X 3 0,图象经过(1,-6)，且与y轴的交点为(0,).2(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的

20、增大而增大1 , 216 .某种爆竹点燃后，其上升图度h (米)和时间t (秒)符合关系式h V0t -gt (0<tw?,2其中重力加速度 g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以V0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米(2)在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.一 217 .如图，抛物线y x bx c经过直线y x 3与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使 S APC : S ACD 5 ： 4的点P的坐标。

21、18 .红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物 售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该 建材店为提高经营利润， 准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为 y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元(4)小静说：

22、“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗请说明理由.练习试题答案一，选择题、1. A 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. C二、填空题、9. b4 10. Xv-3 11.如 y 2x2 4, y 2x 4 等（答案不唯一）12. 113. -8 714. 15三、解答题15. (1)设抛物线的解析式为2y ax bx c,由题意可得b2a151 o5解得a一,b3,c所以 yx3x2222(2)x 1 或-5(2)x 311216. (1)由已知得，15 20t 10 t2,解得t1 3,t 2 1当t 3时不合题意，舍去。 2所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得，h5t2 20t = 5(t 2)2 20 ,可知顶点的横坐