信号与系统复习题

1、信号与系统复习题1 . 10c8(32t)dt =1/2。(解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换的性质及冲激函数的定义)2 .已知信号 x(t)=d(t -a)u(t -b),a >b>0 ,则 x'(t) =d'(t-a)。(解题思路：冲激函数和阶跃函数的特点和性质)3 . 5(t+1)+26(t -1)*u(t)=u(t+1)+2u(t 1)。(解题思路：冲激函数卷积积分的性质)4 .已知 F x(t)=X(jM ,则 Fx(t_5)=X(j6)e,58。(解题思路：傅里叶变换时移的性质)15 .已知信号的频谱函数为 Sa(。)，则该信号时域表达式为 u(t+1)

2、-u(t-1)2(解题思路：矩形脉冲的傅里叶变换)6 .无失真传输系统的时域特性的数学表达式为 h(t) = K6(t -td),频域特性的数学表达式为 H(jco) = Ke-j8d。(解题思路：无失真传输系统的定义)317 .信号 x( t)= si nW2t + ) cost(3 的周网 T= 2 s。(解题思路：P18 1-2 3mT1 =nT2=T )j (-)8 .信号xk=e 2 3 的周用 丁)二 k/二.k二e =cos( - -)+jsin(-),2323期 n= 4。(解题思路二2 二2 二G=一,周期 N = =4)2二 /29.信号 x(t) =U(t)的偶分量 xe

3、(t) = 0.5(解题思路:xe(t)=x(t)+x(-t)210 .已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为 _(1-e，)u t_)_o (解题思t路：g(t)=5)df)-题10图11 .已知某系统的阶跃响应如题11图所示，则该系统的冲激响应为 _,. I一一一一一一'一 一26 - 2)&t + 工。(解题思路：h(t) = g (t)M g(t)2-02 3t题11图12 .若f(t)的波形如题12图所示，试画出f (0.5t-1)的波形。严)2 -1-/1t 一L110123题12图f(-0.5t) 2*f(，)/1)1-31t一02答12题解：将f(

4、-0.5t1)改写为f0.5(t+1),先反转，再展宽，最后左移2,即得”05一% 如答12题所示。 t 0小(-0.5t M)13 .一个离散时间信号 xk如下图所示，试画出x-3k + 2的图形。(请记住：对离散信号不能写成如下表达式：x-3k +2=x-3k-2/3)题13图解：x -3k + 2包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移2再抽取，最后翻转的顺序处理,即得x-3k +2,如答3-1图所示。33k-1 0 12-1 0 12x-3k 2 33x3k 2 33答13图14 .试求微分方程y'(t)+6y(t)=3x'(t)+2x(t)(t >0)所描述的连续时

5、间LTI系统的冲激响应 h(t)。解：微分方程的特征根为：s - -6由于 n=m,故设 h(t) = Ae"%。)+B(t)。将其带入微分方程 h'(t) +6h(t) = 3&'(t) +25(t),可得A=-16, B=3h(t) = 16e%(t) 3、(t)15 .求题15图所示系统的单位脉冲响应hk。其中hik =2kuk,h2k=蜕k1 , h3k=3kuk, h4k = uk。题15图解：子系统h2k与h3k级联，h1k支路、全通支路与h2k h3k级联支路并联，再与h4k 级联。全通支路满足 yk =xk* hk =xk全通离散系统的单位脉冲

6、响应为单位脉冲序列部khk "hk、k h2k h3k? h4k= 2(2)kuk 1.5(3)kJ10.5uk116 .已知信号x(t)在频域的最高角频率为m,若对信号x(t/4)进行时域抽样，试求其频谱不产生混叠的最大抽样间隔Tmax。F解：由于x(t/4卜 4X( j4 )故信号x(t / 4)的最高角频率为0m /4 ,频谱不产生混叠的最小抽样角频率为S =2 m/4 = m/2_2 二 24即最大抽样间隔T =max-s'm/2'm17 . f(t)最高角频率为«m,对y(t) = f (')")取样，求其频谱不混迭的最大间隔。4

7、2解：信号f(t)的最高角频率为CO m,根据傅立叶变换的展缩特性可得信号f(1)的最高角频4率为6m/4,信号fj)的最高角频率为 0m12。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域2相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 y(t) = f(-)f (-)的最高角频率为 42max根据时域抽样定理可知，对信号y(t) = f(-)f(-) 42取样时,其频谱不混迭的最大抽样间隔Tmax 为二4 二T max =max3，'' mf(t)的频谱Cn如题18图所示，试写出信号的时域函数表示式。18.已知连续周期信号解：由图可知，C0 =4 C 1 =3 C_2 =1 C 3 =2“t)

8、 = ” Cnejn 0tn -二=4 - 3(ej0t. e-*0t)(ej20t -e20t)- 2(ej30t'e"*3'0t)二4 6cos( 0t) 2cos(2 0t) 4cos(3 0t)19.已知某连续时间LTI系统的输入激励为e"4tu(t),零状态响应为yzs(t) =2e®u(t) 2eAu(t)。求该系统的频率响应H (j)和单位冲激响应h(t)。解：对x(t)和yzs(t)分别进行Fourier变换，得X(j 尸，I .故得H(j)Js(j )=2X( j )3 j -h(t) fF 1 ：H(j .) I -2eJtu(

9、t) _1c小-一20.已知一连续时间系统的单位冲激响应h( t)= S a 3,t)输入信号 五f (t) =3 +cos2t, -°o <t < 时，试求该系统的稳态响应。 解：系统的频响特性为1 n1/3，同 3H (j 切)=F h(t) = - x p6(。)= « n 30, w >3利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即Tcos(co0t +8) = H (j60) cos0t +40) +8)由系统的频响特性知，H(j0) = H(j2)=1/3 ,可以求出信号f (t) =3 +cos2t,<t < 0 ,作用在系统

10、上的稳态响应为Tf(t) =3H(j0) cosbt+cP(0)+|H(j2)|cos2t+cP(2)1 =1+cos2t,-二：t3t2t21.已知一连续时间lti系统的零状态响应为_yzs(t)=(0.5 + e 1.5e )u(t),激励信号为x(t) =u(t),试求：(1)该系统的系统函数 H(s),并判断系统是否稳定；(2)写出描述系统的 微分方程；(3)画出系统的直接型模拟框图。解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为Yzs(s)0.5s s 11.5s 22s 1s(s 1)(s 2)1X(s)二s根据系统函数的定义，可得H(s)Yzs(s)X(s)2s 1(s 1)(s 2)

11、2s 1s2 3s 2Re(s) 0Re(s) 0Re(s)>-1该系统的极点为 Pi= -1, p1= -2系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定。(2)由式可得系统微分方程的s域表达式2(s2 3s 2)Yzs(s) =(2s 1)X(s)两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为y"(t) 3y'(t) 2y(t) =2x'(t) x(t)(4)将系统函数表示成 s的负塞形式，得H(s)=2s< s'1 3s< 2s，其模拟框图如下所示。22.描述某因果连续时间LTI系统的微分方程为 y”(t)+7y'(t)+10y(t) =

12、 2x'(t)+3x(t)。已知x(t) =e"u，y(0。= y'(0) =1。由s域求解：(1)零输入响应yx，零状态响应Vf (t)和全响应y(t) ; (2)系统函数H (s),并判断系统是否稳定；(3)若 x(t)=e23u(t1),重求 yx(t)、yf(t)、H (s)。解：(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换，得：s2Y(s) -sy(00 -y'(0) 7sY(s) -7y(0) 10Y(s) = (2s 3)X(s)整理得Yg _sy(0) yg 7 y(0一)Y (s) -2s2 7s 10.(2s 3)2_s 7s 10X(s)其中零

13、输入响应的s域表达式为Yx(s)=sy(01 y'(0 7y(0)s2 7s 10s 8=2s2 7s 10 s 2所以系统的零输入响应为yx(t) = L*K(t)：'=(2e2t-em)u(t)零状态响应的s域表达式为=2(2s 3) X(s)= 2(2s 3)s2 7s 10(s2 7s 10)(s 2)7/9 1/3 7/9s 2 (s 2)2 s 5所以系统的零状态响应为yf(t) =L2f(s)：，=(7e§ Le" 993系统的全响应为165t25_2t1_2ty(t)= yx(t) yf(t) =(-Qe Q e - tet)u(t)993Y

14、zs(s)X(s)(2)根据系统函数的定义，可得2s 3-1/3 7/321 's 7s 10 s 2 s 5由于系统的极点为 pi = -2, P2 = -5,均位于s平面的左半平面，所以系统稳定。(3)若x(t) =6",七。1),则系统函数H(s)和零输入响应yx均不变，根据时不变 特性，可得系统零状态响应为7_5(t)7_2(t J)12(t)、yf(t-1)=( 一ee< ，二(t-1)e < ，)u(t-1)99323. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题23图所示，求:题23图(1)描述系统的差分方程；(2)系统函数Hz,单位脉冲响应h

15、k;(3)判断系统是否稳定。解：(1)由题18图可知，输入端求和器的输出为zX2(z) = F(z) 3X2(z)-2X1(z)_1XMz) =z,Xz(z)式(2)代入式(1)得输出端求和器的输出为即X2(z)1z -3 2z4F(z)Y(z)=(z 4)Xz(z) =z 4z -3 2zF(z)(2)(4)(z -3 2z )Y(z) =(z 4)F(z)(1-3z，2z?)Y(z)=(1 4z')F(z)因此系统的差分方程为yk -3yk -1 2yk -2 = fk 4fk -1(3)由系统函数的定义可得H(z)=Yf(z)1 4zF(z) -1 -3zJ 2z取z反变换得系统

16、单位冲激响应为hk =(-5 6 2k)uk(4)由系统函数Hz可得极点p1=1, p2=2,都未在单位圆内，故系统不稳定。24. 一初始状态为零的离散系统，当输入xk = uk时1 L 1 Lyk=(-)k _(-)k +1uk。试求：(1)该系统的系统函数 H(z); (2)回出其零极点分布图; 23判断系统的稳定性。解：对xk和yk分别进行z变换，得1X(z)=1.z1Y(z)=-1 1 -1 zJ21 一1.1z1 3d 21 - z3(1 -Z，)(1 一 ：z，：z，)66由系统函数的定义得H(z)=Y(z)X(z) (1一6” 6印(2)系统的零极点分别为4=2 ,53其零极点分布图如下所示。1.2z:31 1 4、1 2、(1-9z )(1-qZ )2311Re* z由于极点均在单位圆内，故系统稳定。25 .试写出方程3y(t)+4y(t)+y(t) =x(t)描述的LTI系统的状态方程和输出方程的矩阵形式。解：选y(t)和y(t)作为系统的状态变量，即q(t) = y(t),q2(t) = y(t)由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为q1(t) =q2(t).114d2(t) =y(t) = x(t)- qi(t)- q2(t)333写出矩阵形式为刘01 %i(t)+F.(t)3 -3?q2(t)j 1系统