全等三角形证明方法归纳经典-(1)

1、【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做 对应顶点，互相重合的边叫 对应边，互相重合的角叫对应角。概念深入理解：(1)形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。(外观长的像)(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(位置变化)C' "苴匚2、全等三角形的表示方法：若A ABC A' B' C'是全等的，记作“ABCA A' B'“0”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。(2)全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。(3)全等三角形周长，面积相等。4、寻找对应元素的方法（ 1 ）根据对应顶点找如果两个三角形全等， 那么， 以对应顶点为顶点的角是对应角； 以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（ 2 ）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（ 3 ）通过观察，想象图形的运动变化状况，确

3、定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析， 可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3 种：平移、对称、旋转；5 、全等三角形的判定： （深入理解）边边边（SSS）边角边（SAS） 角边角（ASA）角角边（AAS）斜边，直角边（HL）注意： （容易出错）（ 1 ）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等） ；（ 2 ）不能证明两个三角形全等的是， 三个角对应相等，即 AAA ； 有两边和其中一角对应相等，即 SSA 。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具， 同时也是移动图形位置的工具。 在平面几何知识应用中， 若证明线段相等或角相等，

4、 或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常常需要借助全等三角形的知识。6 、常见辅助线写法： （照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如： 过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F过点A作BC的垂线，垂足为D 延长AB至C,使BC = AC在 AB上截取 AC,使AC = DE作/ AB曲平分线，交 AC于D取AB中点C,连接CD交EF于G点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。【第2部分中点条件的运用】1、还原中心对称图形(倍长中线法)中心对称与中心对称图形知识:把一个图形绕着某一个点旋转180 ° ,如果它能够与另一个图形重合,那么

5、就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质:(1)关于中心对称的两个图形， 对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形所以遇到中点问题，依托中点借助辅线段本身就是中心对称图形 ，中点就是它的对称中心,助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。例1、AD是 AB饰BC边上的中线，若A

6、B 2, AC 4,则AD的取值范围是2、已知在ABC,AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于FAAF EF,求证:AC BE。例3、如图，的中线。D是 ABC勺边BC上的点，且CD=AB ,求证：AC=2AE例4 AB计,AD、BE、CF是三边对应中线。（则。为重心）求证：AD、BE、CF交于点O。（类倍长中线）；SvaobSvbocSvcoa练习1、在AABC中，D为BC边上的点，已知/BAD2、如图，已知四边形 ABCD中，AB CDM、NCD延长线交于E、F,求证/ BEMZCFM/CADBD CD,求证：AB AC分别为M（基本型：同角或等角的补角相等、K型）3、如图

7、，AB=AE , AB± AE, AD=AC , AD± AC,点 M 为 BC 的中点，求证： DE=2AM2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图，li /I2, C是线段AB的中点，那么过点 C的任何直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等例1已知梯形 ABCD , AD/ BC,点E是AB的中点，连接DE 、 CE。求证：SVDEC1s燧2 SBABCD例2 如图，在平行四边形 ABCD中，AD=2AB , M是AD的中点，CE，AB点E,/ CEM=40 ° ,求/DME小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）例3已知 ABDI A

8、C都是直角三角形，且/ABACE=90 ° ,连掺E ,设 M 为 DE练习1、已知：如图，梯形 ABCD中，AD/ BC, / ABC=90 ° .BD=BC , F是CD的中点，试问：/EBAF BCD勺大小关系如何？请写出你的结论并加以证明;2、Rt /ABC中，/ BAC=90 ° M为BC的中点，过A点作某直线l ,过B作BD l于点D ,过C作CE l于点E。求证：MD=ME（2）当直线l与CB的延长线相交时，其它条件不变，（1）中的结论是否任然成立?3、如图（1）,在正方形 ABCD和正方形 CGEF （CG>BC）中，点B、C、G在同一直线上

9、,M是AE的中点，（1）探究线段 MD、MF的位置及数量关系，并证明;（2）将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形 CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结G3、构造中位线三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。、一八，一、r1（全等法）在ABCD、E分别是AB、AC边的中点，证明：DE/DEH

10、BC2A证明：延长 DE至F点，使DE=EF,连接CF （倍长中线）D /E EF/ /B cBC三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。求证：四边形EFGH是平行四边形。例1在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。A例2已知四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD , M、N分别是AB、EFCD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？BD± AD, D是垂足，点E是边练习 1、

11、三角形ABC中，AD是/ BAC勺角平分线,BC的中点，如果 AB=6 , AC=14 ,求DE的长。2、AB II CD, BC/ AD DE± BE , DF=EF ,甲从 B 出发，沿着 BA->AD->DF的方向运的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B3动，乙B出发，沿着 BC->CE->EF发，则谁先到达F点？3、等腰 Rt ABCf等腰 Rt CD序，/ ACB= / EDC=90 °，施、BE,点 M 为 BE的中点，连DM。t DM -(1 )当D点在BC上时，求的值AE(2)当 CDE点C顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然

12、成立，试证明4、 ABC、 器F等腰直角三角形，当E、F 在 AC、BC 上，/ ACB=90 ° , BE、AF,点M、N分别为AF、BE的中点(1 ) MN与AE的数量关系(2 )将 CEF C点顺时针旋转一个锐角,MN与AE的数量关系4、与等面积相关的图形转换A AB序口 AECT相同的高扩展 如图，等腰 RtACD与RtABC组成一个四边形 ABCD , AC=4 ,四边形ABCD分成了二部分，求Svabd【5、等腰三角形中的“三线合一”】对角线BD把SVBCD“三线合一”是相当重要的结论和解题工具,它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边

13、相等的条件，这里有个基本几何图形如图， ABC, E为BC边的中点，那么显然例 E、F是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连 AF、CE交于点G,则包丝竺CDS矩形ABCD极为亲密的关系。例 AB计,AB=ACBD± AC于 D,问/CBD! / BAC勺关系？分析：/CEBDZ BAO别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形例 在 AB,AB=AC=5 , BC=6，点 M为BC中点,MNI± AC 于点 N ,则 MN=【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用， 关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。例如图R

14、t ABCK / ACD=90 ° CD为斜边 AB上的中线求证：CD= 1 AB2(1)利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段的二个端点的距离相等。取AC的中点E,连接DE。则DE/ BC (中位线性质)Q / ACB=90 ° BC± AC , DE± AC则DE是线段AC的垂直平分线 AD=CD(2)全等法，证法略。在三角形ABC中，AD是三角形的高，点 D是垂足，点练习1、在Rt AB饰,A=90 AC=AB , M、N 分别在AC、AB 上，且 AN=ABM。O的中点，求证：四边形 EFGD是等腰梯形。O为斜边BC的中点。试判断OMN状

15、，并说明理由。2、A AB(Cp, A A=90 D,是 BC 的中点,(集散思想)222DE± DF 。求涧E CF EF3、A ABCP, AB=AC，点 D 在 BC 上，E 在 AB 上，且 BD=DE，点 P、M、NA 分别为 AD、BE、BC的中点若/ BAC=90 ° ,贝U/ PMN=(2)若/ BAC=60 ，则/ PMN=1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题：(1 )写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2)如图 1,在 ABC, AB=AC，点 D 在 BC 上，且 CD=CA，点 E、

16、F 分别为 BC、AD的中点，连接 EF并延长交AB于点G.求证：四边形 AGEC是等邻角四边形;(3)如图2,若点D在 ABC勺内部，(2)中的其他条件不变， EF与CD交于点H,是否存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形,不必证明；若不存在，请说明理由.DE2、已知：ABC AD都是等腰直角三角形,ABC=/ ADE=90M 悬 CE 的中点,连接BM(1)如图，点 D在AB上，连接DM ,并延长 DM交BC于点N ,可探究得出 BD(2)与BM的数量关系为如图，点 D不在成立，说明理由。一写出证明过程。AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不3、在 AOB, AB=OB=

17、2 , CO丽,CD=OC=3 , / ABO=Z DCO.连9D、 BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线上，/ABO=60 ° ,贝必 PMN的形状是此时ADBC4、已知：如图，正方形 ABCD中，E为对角线 BD上一点，过 E点作EF ± BD交BC于F,连接DF, G为DF中点，连接 EG, CG .(1)求证：EG=CG ;(2)将图中4BEFB点逆时针旋转45o，如图所示，取DF中点G,连接EG, CG .问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中BEB点旋转任意角度，如图所示，再连接

18、相应的线段，问(1)中的BC全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质:2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解,CD，AB 于 D , AE 平分/ BAC ,交 CD 于 K,交例 1、如图，在 RtAABC 中，/ACB=90 BC于E, F是BE上一点，且 BF=CE , 求证：FK/AB.例 2、如图 1, AABC 中，ZBAC=90 ° ,BA=AC ,(1 ) D为AC的中点，连 BD,过A点作AEXBD于E点，交BC于F点，连DF,求证: ZADB= /CDF.(2)若D, M为AC上的三等分点，如图 2,连BD,过A作AEXBD于点巳交BC于点F

19、,连MF ,判断ZADB与/CMF的大小关系并证明.例3、如图，在 ABC中，/C=90 ° ,M为AB的中点，DM ±AB , CD平分/ACB,求证：MD=AM例4、在祥BC中，ZACB为锐角，动点 D (异于点B)在射线BC上，连接AD ,以AD为 边在AD的右侧作正方形 ADEF ,连接CF.(1)若 AB=AC , Z BAC=90 ° 那么如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是 (直 接写出结论)如图二，当点 D在线段BC的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由.(2)若ABWAC, /BAC及0。.点D在线段BC上，那

20、么当/ ACB等于多少度时？线段 CF 与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形，并说明理由.例5、如图所示，已知 A, B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接 AC、BC,分别以AC、BC为直角边向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE,满足/CAD二 /CBE=90 ° ,过点D作DDil于点Di,过点E作EEi L 于点Ei.(1)如图，当点 E恰好在直线l上时，试说明DDi=AB ;间的数量关系，并说明理由.例5图(2)在图中，当 D,例6、如图1,已知点 A (a, 0),点B (0,b),且 a、b 满足 U144 b 0(1)求A、B两点的坐标;(2

21、)若点C是第一象限内一点，且/OCB=45过点A作AD ±OC于点F,求证：FA=FC ;(3)如图2,若点D的坐标为(0, 1),过点A作AELAD,且AE=AD ,连接BE交x轴于点G,求G点的坐标.匿1图士 一£巩固:1、如图，已知/BAC=90 ° AD ±BC 于点 D,/1=/2,EF/BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .2、如图，4ABC 中，AD 平分/BAC, DGBC 且平分 BC, DEXAB 于 E, DF ±AC T F.(1 )说明BE=CF的理由；(2)如果 AB=5 , AC=3 ,求 AE、BE 的

22、长.,AD平分/BAC交BC于D, E是AD上一点，且 EA=EC。第姻型3、如图，ABC 中，AC=2AB求证：EBXAB .4、如图，在 4ABC 中，ZACB=90 ° , P 为 AC 上一点，PQXAB 于 Q , AM ± AB 交 BP 的延长线于 M , MN LAC于N , AQ=MN(1)求证：AP=AM ;(2)求证：PC=AN .分另在BC, CA上，并且 AP, BQ5、如图，4ABC 内，/BAC=60 ° , zACB=40 ° , P, Q分别是/ BAC ,/ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP6、将两个全等的直

23、角三角形 ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中/ ACB= /DEB=90。，ZA= /D=30。，点E落在AB上，DE所在直线交 AC所在直线于点 F.（1）求证：CF=EF;（2）若将图（1）中的4DBE绕点B按顺时针方向旋转角 a,且0° <a<60° ,其他条件不变，如图（2）.请你直接写出 AF+EF与DE的大小关系：AF+EF DE.（填或“=”或 “V”）（3）若将图（1）中4DBE的绕点B按顺时针方向旋转角3,且 60° <3 480 ° ,其他条件不变，如图（3）.请你写出此时 AF、EF与DE之间的关系，并加以证明

24、.7、如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，4ABC的三点坐标分别为 A （0, 5）, B(-5 ， 0),C (2, 0), BDXAC于D且交y轴于E,连接CE.(1 )求ABC的面积；,OE ,一 ，一(2)求 的值及4ACE的面积.AE8、如图1,在平面直角坐标系中，点A (4, 4),点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,S四边形OBAC=16(1 ) ZCOA的值为(2)求/CAB的度数;(3)如图2,点M、N分别是x轴正半轴及射线 OA上一点，且OH ± MN的延长线于H,满足/HON= /NMO ,请探究两条线段 MN、OH之间的数量关系，并给出证明.9、在平面直角坐标系中，点A (2, 0),点B (0, 3)和点C (0.2);(1)请写出OB的长度：OB= ;(2)如图：若点 D在x轴上，且点 D的坐标为(-3 , 0),求证：AOB 0£OD ;(3)若点D在第二象限，且那OB 06OD ,则这时点D的坐标是 (直接写答案)10、已知，在4ABC中，CA=CB , CA、CB的垂直平分线的交点 O在AB上，M、N分别在直线