高一必修一函数复习讲义

1、个性化辅导授课教案学员姓名：辅导类型（1对1、小班）：年 级：辅导科目：学科教师：课 题课 型 口预习课 口同步课 口复习课 口习题课授课日期及时段2016年月一日 时间段 教学内 容一.函数基础概念梳理1.函数的定义：设A、8是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x,在 集合8中都有唯一确定的数和它对应，那么就称力A-8为从集合A到集合8的一个函数，记作：产/。）, xR2 .函数的本质：是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应，是由定义域、对应关系、值域三要素构成的一个整体。函数的三要素是定义域、对应关系、值域f（x）UeA3 .函数的表示方法：解析法、列表法

2、、图像法。4 .函数的单调性：一般地，设函数/（x）的定义域为/：如果对于定义域/内某个区间。上任意两个自变量的值X, X?，当X1<X?时，都有/（内）</（），称函数 /（X）在区间。上是增函数。（2）X1<X2时，都有/（为）>/（9）,称函数/（X）在区间。上是减函数。注意：函数的单调性一定要注意区间的问题，一个函数在不同的区间上单调性不同，如果函数在两个独立的区间 内单调递减或者单调递增，不能说在两个区间的并集上单调递减或者单调递增。（3）复合函数的单调性>'=/(x)“ = g(My = /feW增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数

3、减函数减函数减函数增函数5.函数的奇偶性(1)奇、偶函数的概念：设函数y=/(x),对任意都有f(x)=/(x),则/Q)是偶函数；若对任意xeO都有/(x)=-/(x),则/(X)是奇函数。(2)函数奇偶性的一些结论：A.奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。B.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反.C.若 f(x)为偶函数，则 f(-x)=f(x)=f(lxl).D.若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0. f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件E.复合函数的奇偶性特点是：“内偶

4、则偶，内奇同外”.(3)奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间是否关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的 充要条件(4)奇函数与偶函数之间满足的四则运算表。奇函数与偶函数的四则运算的性质可以用来判断函数奇偶性的一 种方法，但是要注意以下结论只能在两个函数的公共定义域内才成立。奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和奇函数空偶函数差奇函数空偶函数积偶函数奇函数偶函数商偶函数奇函数偶函数(5)函数的对称性若函数满足/(%)+ f(2a-x)=2b,则函数关于点(a对称函数中常见的题目类型汇总一、函数的定义域的求法函数的定义域就是指函数自变量(一般用x来表示)的取值范闱，函数的定义域

5、的求法主要就是要让自变量 的取值使函数的解析式有意义。(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.这时候一般多为符合函数。例如：例1:求下列函数的定义域/W = lnfW =lg(3x + l)yj-Xy J- x + =(2)抽象函数的定义域的求法 a若已知函数/'("的定义域为L，则复合函数/(g(x)的定义域由不等式。g(x)求出。b若已知函数/(g(x)的定义域为则/("的定义域为g(x)在上的值域。例2已知函数y = /(x + l)定义域是2,3,则y = /(2x l)的定义域是二函数/-2)的定义域为例3设函数/*)的定义域为【&

6、#176;' I,则函数/(/)的定义域为一例 4 设 /(x) = lg 2 -的定义域是多少。二函数值域的求法函数值域是对应关系/对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，即集合a (A为函数的定 义域)，它是是受函数定义域以及对应关系的双重影响。(1)直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1 y =例1.求函数 X的值域。解：.XW0A x*°显然函数的值域是：（8,O）U（O,+8）例2.求函数y = 3一的值域。解：.五"/.-V7<03-V<3故函数的值域是：（2）.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函

7、数y = x2_2x+5,x/l,2J的值域。解：将函数配方得：y =（x - if+4.xe-L2 由二次函数的性质可知：当X=1时，y>nin=4,当x=-l时，ymax=8故函数的值域是：4, 8（3）判别式法形如），=空半上Lq,出不同时为零的函数均可使用本方法。将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别 ax + byX + c.-一4式求函数的值得范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等。使用此法要特别注意自变量的取值范围。+ X + X? y =； 例4.求函数 1 + x-的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（y-l）x2 -x+y- =0,1< <2

8、（1）当 y"时，xeR A = （-l）2 -4（y-l）（y-l）>0 解得:2-5 - 2（2）当y=l时，x=0,而 L2 2J故函数的值域为L2 2J例5.求函数）'=' +向=°的值域.解：两边平方整理得：2x = 2（y + I）x + y2=° ./xeR , A = 4（y +1）2-8y>0解得：i-虎但此时的函数的定义域由x（2 x）NO,得°KxK2由AN。，仅保证关于x的方程：2x° -2（y + l）x + P=°在实数集r有实根，而不能确保其实根在区间0, 2 上，即不能确保方

9、程（1）有实根，由AN°求出的范围可能比丫的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 1 2 < y < 1 + V2O可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0<x<2.1 y = x + 7x（2-x） >0所以函数的值域为：°+虎注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。（4）.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x + 4例6.求函数5x+ 6值域。4 - 6y x = -解：由原函数式可得：5y-334 6xx 工厂则其反函数为：）

10、，= n,其定义域为：55x-3故所求函数的值域为：I57（5）分离常数法即反解x法将形如产金（"。）的函数，分离常数，变形过程为空*四土兰1 W，再结合X.be a - 的范围确定一&的取值范围，从而确定函数的值域。 ax + b3x+4例7求函数5x + 6的值域3kA 223x + 4 -(5 + 6)+- 3 彳 解：y = °3= _ +-5x + 6 5x + 65 5x + 63因为5x+6不为0所以原函数的值域为(6)换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式模型，换元法是数学方法中几种最 主要方法之一，在求函数的值域

11、中同样发挥作用。1 Qy = t2 +t+ l=(t + -)2 +- 24例8求函数y=x+Qf的值域。解：令X I = t,(60) 则X = l+1又tN°,由二次函数的性质可知当 t=0 时，ymin=l当 7.+OO 时，故函数的值域为口,+8)以X)_ 2x2 +cix + b(12)已知函数1 寸+1的值域为1, 3,求的值。三函数解析式的求法1已知函数/(x7)= x2-4"，求函数/*). /(2x + D的解析式。已知/(x)是二次函数，且/* + 1) + /* - l) = 2x24"，求/(x)的解析式。3、已知函数/满足2/"

12、)+ /(t)= 3x + 4,则/(幻=4、设/是R上的奇函数，且当xeQ+s)时，"")=小+际,则当xe(-O)时/") = /(X)在R上的解析式为/W+,W=_L_5、设/“）与gW的定义域是凡且x¥±l,/（幻是偶函数，冢幻是奇函数，且 求/*）与g*）的解析表达式。四关于函数单调性的问题1常见函数的单调性a一次函数。b反比例函数。c二次函数。d对数函数与指数函数2用定义法证明函数单调性例1判断函数/（» =,xt3,5的单调性x + 23复合函数的单调性形如/g（x）的函数叫做复合函数，复合函数的单调性为同增异减例2求函

13、数），=&+2X+1的单调区间变式训练：求下列函数的单调区间： y = x2 + 2x+3 y =3+2,v+3 y = x2-6|x|-l2、函数/（X）在。+s）上是单调递减函数，则八1一/）的单调递增区间是_ 2-x,= 2-x3、函数, -3工+ 6的递减区间是；函数“丫3% + 6的递减区间是4、若函数是定义在-2,2上的减函数，且/（2? + 3）/（/）,求实数m的取值范眯五.函数奇偶性及对称性的典型题目例已知函数/（用满足：/（x+）'）+ /（x_y）= 2/（x）/（y）（x,yeR）,且/（0）工0,则函数/“）的奇偶性为o例2设函数/（入）为定义域为R上

14、奇函数，又当工0时=试求/（幻的解析式。例3设/*）在R上是偶函数，在区间（一8，°）上递增，且有/（2/+4 + 1）/（342-2" + 1）,求。的取值范围。例4若函数/（x）=/+（?-2）/ +（2? + -2" +皿为偶函数，求实数小，的值。例5设奇函数f（x）在（°，桢）上为增函数，且/=° ,则不等式旷的解集为（ ）A （-l,0）U（l,+oo）B. SlDUQI）：c （F,-i）U（i,+8）d.（TSU（O,1）二.二次函数常见题型 一.最值问题例1：已知函数+2x + 2 ,（1）若xeR,求函数的最小值：（2）若求函

15、数的最值；（3）若xea，a + 2*£R,求函数的最值:例2：已知女£勺求函数）' =一/+2h-3在区间1,2上的最大值。例3：已知女仁宠，求函数）'=叱+2履+1"43,2的最值。2 .二次函数恒成立问题例4：已知函数x）= x2+4x + 3（1）当xeR时，/（"）'"恒成立，求"的取值范闱（2）当“e 一22时，/&）之"恒成立，求。的取值范围3 .可化为二次函数的例5求函数'=4、+2、-2的值域四.指数函数与对数函数1.指数函数（-）指数与指数是的运算1 .根式的概念：

16、一般地，如果那么戈叫做的次方根，其中>1,且6N*. 负数没有偶次方根：。的任何次方根都是0,记作6 = °。海文小（心°）当是奇数时，4/=4,当是偶数时，3<°）2 .分数指数事正数的分数指数器的意义，规定：-1 1 *；a " = = |；z (« > 0,7H, n e N ,/: > 1)an =(« > 0,m,n e Nn >N0的正分数指数塞等于0, 0的负分数指数塞没有意义3.实数指数事的运算性质(1)ar . ar =>。，几s e R).(2) (1)'=&quo

17、t; (a > 0,r,s e R).(3)(ab)r = aras (a > 0, r,5 e /?)(-)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)' = ""("> °，且“*1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.指数函数的图象和性质a>l0<a<l1!/-4定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0, 1)函数图象都过定点(0, 1)注意：利用函数的

18、单调性，结合图象还可以看出:在a, b上，*) = 2(>0且2 1)值域是3)力9)1或任(1?),0(2)若XH°,则f(x)Wl； f(x)取遍所有正数当且仅当X£R：(3)对于指数函数“*)=屋(11>()且2,1),总有"1) = 11例1求下列函数的定义域与值域：1 y = 3y= J2“2 _(3)y=V3-3x"1解(1)定义域为x£R且xW2.值域y>0且yWl.(2)由2x+2 120,得定义域xlx2-2,值域为y20.(3)由 33X-120,得定义域是xlxW2, VO3-3x-l<3,值域是O

19、WyVjl 例2指数函数丫=乂，y=bx, y=cx, y=dx的图f A. a<b<l<c<dB. a<b<l<d<cC. b<a<l<d<cD. c<d<l<a<b解 选(c),在x轴上任取一点(x, 0), 则得bVa<l<dVc.例3比较大小：(1)72,啦、衣、场、源的大小关系是: (2)0.6(浜例4作出下列函数的图像： y=(；产(2)y=2x-2,乙2.62所不，则a b、c d、1之间的大小关系是|图2 . 6-2 a -1已知我由二伯1)a +1y=2lx-ll(4)

20、y=l 13x1保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x釉为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7) 例5. /(%)=二一(1)判断f(x)的奇偶性：(2)求f(x)的值域：(3)证明f(x)在区间(一8, +8)上是增函数.解(1)定义域是R.f(x)=；一1 ax -1FTT = "f(xb，函数f(x)为奇函数.m 3X - 1(2)函数 y=；77T a 十i1 y V + 1产 1,，有心=F = ->0= -IVyVl,y-11 - y即f(X)的值域为(一 1,1).a'Ca'2T2(axi-ax2),Va>L Xj<x2> a“Va”，(ax, + l)(3)设任意取两个值 xl、x2G(-oot +8)且 xlVx2. f(xl)f(x2)axi+, ax2+, (axi +l)(ax2 +1) (a>2 + l)>0, f(X1)Vf(X2),故f(x)在R上为增函数.2.对数函数L对数的概念一般地，如果ax=N(a>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = logaN.a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数与指数间的关系3 ,对数的基本性质(1)负数和零没有对数. (2