专升本工程力学第07章.弯曲

1、第第 七七 章章弯弯 曲曲 内内 力力 1 1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。变形后成为曲线的变形形式。 2 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件：主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁 3 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁

2、变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4 4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面纵向对称面7-1 引言引言研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 1. 1.梁的支座简化梁的支座简化( (平面力系平面力系

3、) )：a a) )滑动铰支座滑动铰支座b b) )固定铰支座固定铰支座c c) )固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM7-2 梁的计算简图梁的计算简图 2. 2.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为: :( (a a) )集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶( (b b) )分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载 3. 3.静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁( (a a) )悬臂梁悬臂梁( (b b) )简支梁简支梁( (c c) )外伸梁外伸梁一一、截面法过程：、截面法过程：FABaxASS

4、Ay0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0AFSFMxCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:07-3 剪力与弯矩剪力与弯矩 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：平行于横截面的内力，符号：FS，(左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：MM，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负( (凹正凸负凹正凸负) )。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩

5、为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力二、平面弯曲梁横截面上的内力y3064.53015kN203029kNBAAABBMFFqFFFFFqFyS1AS11A1F0:0,7kN0:2.5 026kN mFFFFMFFM S2211kN,30kN mFM 求下图所示简求下图所示简支梁支梁1-1与与2-2截面截面的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1 1、求支反力、求支反力2 2、计算、计算1-11-1截面的内力截面的内力3 3、计算、计算2-22-2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq

6、=12kN/mS2F2M例题例题7-17-1)()(SSxMMxFF1. 1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。7-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 FSM2ABqlFFS2( )2( )22qlF xqxqLxqxM x图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。qlABx解：解： 1 1、求支反力、求支反力FAFB

7、2 2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql8/2ql例题例题 梁梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。FabClAB解：解： 1 1、求支反力、求支反力,ABFbFaFFll2 2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程SAA( )0:( )0FbF xFxalACFbxM xF xxal段xFAFB SB( ):( )FaF xFaxllCBM xFlxFalxaxll B段lFb/FSlFa/MlFab/例题例题1010q(x)1F2F3F4F5F6FeM考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。

8、规定向上的规定向上的q(x)q(x)为正。为正。xy xdx7-57-5弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系结论n剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度 剪力图上某点斜率等于该点的载荷集度q。 n弯矩对x的一阶导数，等于梁在该截面的剪力值 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。n弯矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度 q0，弯矩图开口朝上进一步的结论nq(x)0，则剪力F (x)为常数，剪力图为水平直线 剪力F (x) 0，则M (x)为常数，弯矩图为水平直线nq(x)为常数，剪力图为斜线 剪力F(x)为常数，弯矩图为斜线n集中载荷处，剪力图发生突变

9、，弯矩图斜率突变 集中力偶处，剪力图不受影响，弯矩图突变n剪力图上，剪力在某段的变量等于q(x)在此段与x轴所围面积（该段不含集中载荷）。 弯矩图上，弯矩在某段的变量等于F(x)在此段与x轴所围面积（该段不含集中力偶）。剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FF0 x斜直线增函数xFxF降函数xFCF1F2F1F2=P自左向右突变xFC无变化斜直线曲线自左向右折角 自左向右突变与m同xM增函数xM降函数MxMxMMxM2M1mMM12ABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mSF 图(-)-3KN4.2KN-3.8

10、KN(+)(-)-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)mKN.41. 1AyFByF例例1 一外伸梁受力一外伸梁受力如图所示。试作梁如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。的剪力图、弯矩图。1、求支座反力、求支座反力KNFAy2 .7KNFBy8 . 3（-）（-）M（ kN.m）1.3350.3351.67（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11例2FAy0.89 kN ，FFy1.11 kN 1、求支座反力、求支座反力例例外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，P=15kN，试画出该梁的内力图。 YDYB2

11、m2m2mDBCAP Pq q10kN5kN10kN（-）（-）（+）F图M 图RB=20kNRD=5kN10kNm10kNm （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy1 1确定约束力确定约束力 Fs 9qa/4 7qa/4qa（+） 81qa2/32qa2 M例4例例5 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解： 求支反力求支反力7.2kN3.8kNABFFDABm1m4m1kN3kN/m2mkN6CFs3(kN)4.23.8Ex=3.1mM32.2(kNm)3.81.41FAFB 例例6 6 已知F图，求外载及M图（梁

12、上无集中力偶）。F(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x +111.25 梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲纯弯曲的例子纯弯曲的例子 7-4 7-4 对称弯曲正应力对称弯曲正应力q 横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交。横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交。q 纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短。纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短。实验观察实验观察梁表面变形特征梁表面变形特征aabbmmnn梁弯曲假设梁弯曲假设：q平截面假设平截面

13、假设 变形后，原横截面仍为平面，且垂直于变形后变形后，原横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度。梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度。q 单向受力假设单向受力假设纵向各水平面间无挤压，均为单向拉（压）纵向各水平面间无挤压，均为单向拉（压）状态。状态。MM梁的中性层梁的中性层 既不伸长又不缩短的纵面。既不伸长又不缩短的纵面。 截面的中性轴截面的中性轴 中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。 （中性轴通过截面形心）（中性轴通过截面形心）中性轴中性层正应力计算公式适用范围正应力计算公式适用范围zM yIq横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成横力弯曲时，截

14、面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度立但当梁跨度 l 与高度与高度 h 之比大于之比大于5（即为细长梁）（即为细长梁）时弹性力学指出：上述公式近似成立时弹性力学指出：上述公式近似成立M中性轴M 五、最大正应力公式五、最大正应力公式zzIyMzIMymaxmaxmax/ yIMzmax/ yIWzz令，zWMmax则，为抗弯截面系数zW例：长为l的矩形截面悬臂梁，在点C集中力F，已知h180mm、l2m，F1.6kN，Iz=58.32106mm4 试求B截面上a、b、c各点的正应力。2lF2lABCbh6h2habcFLMB21ZaBaIyMzIhFL321MPa65. 10bZcBcIy

15、MzIhFL221MPa47. 2（压）解：1.矩形截面矩形截面62/1223bhhIWbhIzzz一、三种典型截面对中性轴的惯性矩一、三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面实心圆截面642/6444ddIWdIzzz 3.截面为外径截面为外径D、内径、内径d(a a=d/D)的空心圆的空心圆: )1 (322/)1 (644344aaDDIWDIzzzBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql yz180120 FSx90kN90kNmkN605 . 01)3090(CM1. 1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218

16、. 012. 012bhI解：解： 例例 图示简支梁，材料的许用应力图示简支梁，材料的许用应力=160MPa，求：，求： 1. C 截面最大正应力，截面最大正应力，2.梁的最大正应力梁的最大正应力2.求求C 截面上截面上K点正应力点正应力MPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql FSx90kN90kN2. 梁的梁的最大正应力最大最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩45Zm10832. 5Iz180120MPa17.104Pa1017.10410832. 510

17、2180105 .676533ZmaxmaxmaxIyM例：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。m4mkNq210020020010082qL竖放ZWMmaxmax6822bhqLMPa6横放ZWMmaxmax6822hbqLMPa12 例：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。2l2lABF4maxFLMkNm164 .9650200maxymm6 .153mmy4 .96maxzy.96Z

18、IMymaxmaxMPa09.24ZIMymaxmaxMPa12.15解：3 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为:mN60004 . 0 FMB 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：值分别为：MPa5 .64Pa1045. 61084. 8045. 002. 012. 06000MPa5 .30Pa1005. 31084. 8045. 0600076-max,76-max,cl弯曲应力弯曲应力拉压强度相等材料：拉压强度相等材料： 拉压强度不等材料：拉压强度不等材料： maxm

19、axzWMccllmax,max,， 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：第三节第三节 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件弯曲应力弯曲应力1、强度校核强度校核:max2、截面设计截面设计:maxMWz3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:zWMmax7-5 梁的强度条件梁的强度条件 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上. M一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件 2 2、正应力强度条件：、正应力强度条件： zWMmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行

20、三种强度计算：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxmaxMWzmaxzWM3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : .解：画内力图求危面内力例例1

21、 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大应力并校核强度q=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMzxM+82qLNm4050833600822maxqLM 例例5 -2：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 10kN / m2m4m100200解：由弯矩图可见解：由弯矩图可

22、见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kN)kN(sF202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa0( )0fxyxM0( )0fx挠曲线曲率挠曲线曲率: :EIxMxf)()( 3221( ) (1( ) )fxfx 小变形小变形( )fx)()(xMxfEI 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形( )( )EIfxM x1( )( )dEIEIfxM xxC12( )( )d dEIwEIf xM xxxC xC 1.微分方程的积分C1、C2为积分常数，据边界条件确定12-3 12-3 积分法求弯曲变形积分法求弯

23、曲变形挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：2.位移边界条件PABCPD支点位移条件：连续光滑条件：PABC右左CCww右左CC00BAww00DDw（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）例例1 1 求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMEIw12)(21CxLPEIw213)(61CxCxLPEIw321(0)06EIwPLC 211(0)(0)02EIEIyPLC322161 ; 21PLCPLC解：PLxy写出弹性曲线方程并画出曲线323( )()36Pf xLxL

24、xLEI3max( )3PLff LEI EIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xyPL解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程的积分并积分112)(21DCaxPEIw21213)(61DxDCxCaxPEIw)( 0)0( )(LxaaxaxPEIwxyPLa例例2 2 求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC()()( )f af af a)()(aa11DC 2121DaDCaCPLa322161 ; 21Pa

25、CPaCxy写出弹性曲线方程并画出曲线32332()3 (0)6( )3 (a)6Pxaa xa xaEIf xPaa x xLEI2max( )36Paff LLaEI EIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxy例3：简支梁AB，弯曲刚度 EI为常数，受力F和力偶M=FL作用，求w(x)，(x)；并计算B截面的转角值。解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分梁的弯矩方程：LBM MAF FF FAyAyxFxxM)(挠曲轴近似微分方程： 2( )2FxwxCEI36FxwCxDEIF xwE I2、确定积分常数A端为固定端约束，X X=0, w=0X X=0,=0=0C C=0 , D

26、, D=03、挠度方程、转角方程及B截面的转角2( )2FxwxEI36FxwEIEIFLB22将 x=L 代入转角方程：LBM MAF FF FAyAyx例例4 4： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁, 在全梁上受集度为在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程.lABq解解: (1)梁的两个支反为力梁的两个支反为力2qlRRBA(2)梁的梁的 弯矩方程弯矩方程 及及 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 分别为分别为 )(2212)(22xlxqqxxqlxM2()() 2qE IwMxlxx (c)23

27、1()223qEIw lxxC(d)3412()2612qEIwxlxxCC边界条件为边界条件为 :0,x0w , lx 0w （3）积分将边界条件代入将边界条件代入 (c) , (d) 两式得两式得02 C2431qlC 梁的转角方程和挠梁的转角方程和挠度度方程分别为方程分别为323323(64)24(2)24qwllxxEIqxwllxxEI例5：求图示梁的挠曲轴微分方程。 ABCMOL/2L/2MO/LMO/L解：1建立挠曲轴微分方程：AC段：lxMXM0)( 01MxwE Il 20112MxwCEIl301116M xwCx DEI l BC段：) 1()(0lxMXM 021Mxw

28、E Il 20222MxwxCEIl32022262MxxwCx DEIl3 边界和连续条件： 100w 20wl 1222llww(连续条件) 1222llww (光滑条件) 2201424M xwxxllEI 0224MxlwxEIl写出梁的弯矩方程，求挠曲轴近似微分方程积分法求位移步骤如下：积分求挠度方程、转角方程利用边界条件和连续条件，确定出积分常数7-9 7-9 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()(),(221121nnnPPPPPP )()()(),(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。例例1 1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表6.1，简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EIqafqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqafqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEI