高等统计物理

1、高等统计物理0. 热力学与统计物理复习第一章热力学第二章统计物理学第三章量子统计理论I. 平衡态统计物理第一章相变与临界现象实重整化群方法动量空间重整化群方法，讲座形式第二章连续对称性与拓扑激发第三章自组织临界现象与复杂系统（金融物理等），讲座形式II. 非平衡态统计物理第一章Boltzmann 运动方程第二章Langevin 方程与数值模拟Monte Carlo 模拟的新进展，讲座形式参考书目SK Ma，Statistical MechanicsLP Kadanoff,Statistical PhysicsToda Kubo Saito，Statistical Mechanics苏汝铿，统计

2、物理学；王诚泰,统计物理学0. 热力学与统计物理复习第一章热力学系统多粒子系统多粒子的含义：完全无规和有序的多粒子系统不是典型的多粒子系统宏观参量力学参量压强几何参量体积化学参量浓度、化学势电磁参量电场、磁场热力学参量温度、热量、熵热力学是多粒子体系的宏观理论例如，平衡态：宏观参量不随时间变化非平衡态 : 宏观参量随时间变化或更复杂，如必须引入局域参量等现在我们主要讨论平衡态第零定律热运动“无规”的“微观”运动“无规”：从宏观看。“微观”：不一定是量子力学意义下的微观。热相互作用“无规”的微观相互作用例如分子碰撞。热量由热作用传递的宏观能量热平衡两个系统如接 触没有热量传递，即没有通过热作用的

3、“宏观”能量传递，但微观可有能量传递。第 0 定律热平衡具有互通性如果 A 和 B，B 和 C处于热平衡，则A 和 C处于热平衡定义温度 T（所有热平衡体系具有相同温度） ，第零定律使T 的定义有意义。否则， A 和 B 有一个温度， B 和 C 有一个温度，没意义。T 是状态函数，因为热平衡与过程无关。状态方程 f（ T， P， V）= 理想气体 PVRT要点每个系统的状态可用确定数目的参数描述，其他参数可表述为这些参数的函数这里实际上已假设没有温度时已可以描述一个状态。准静态过程：系统随时间变化，但每一时刻都近似处于平衡态第一定律dQ dUdWd: 体系发生微小变化内能 U：所有微观能量及

4、在外场下的能量，即所有能量。U 是态函数dU 是全微分 ,这是第一定律的内容！dQ：体系吸收的热量，即外界通过热作用对体系作的功dW ：体系通过非热作用对外界做的功dQ 和 dW 不是全微分第一定律的核心是U 是态函数思考题：为什么 dU 是全微分等价于U 是态函数？如果是全微分， dU 对任何过程的积分 U 都可提出积分号外，所以 U 是状态函数。如果不是全微分，则为偏微分， U 与过程相关。即 U 如果是态函数， dU 必是全微分。第二定律可逆过程：可反向进行，对外界不留下任何影响。准静态过程但有一些例外情形，准静态过程不一定可逆。单粒子的运动过程是可逆的例：因为牛顿方程具有时间反演不变性

5、自发的驰豫过程不可逆例：, ,似乎与单粒子运动可逆矛盾。这便是“宏观”与“微观”的差别，多体与少体的差别。这便是“宏观”初始条件和“微观”初始条件的差别。微观可逆，宏观不可逆十分常见。关键在于不同宏观条件下的微观态是不同的。 的微观态当然也是的微观态，从统计物理的角度看，也可以出现，但概率很小。例如，可做数值模拟，取N1，2，4，8，16, ,计算从到的概率，这概率按1/2,1/4,1/16, 快速衰减。两个不同温度的物体接触，会达到热平衡，但热平衡的两个物体不会自动变成不同温度，但如外界做功，例如制冷机，可实现。第二定律dS dQdSdQ 为可逆过程 （定义 S）T=T第二定律的核心： S

6、是态函数dS 是全微分S 的计算： 设计可逆过程关于熵 dSdQ的物理意义：如果 dQ0，熵永远增加。T第一、二定律基本方程TdSdUdW第三定律绝对零度不可达到特征函数内能UUS , V焓HUPV H,S P自由能FUT SF T,V吉布斯函数GHTSG T,P都是广延量由特征函数可以导出“所有”热力学性质(练习 )记忆：dU = TdS - PdV从加减的项看替换的变量第二章统计物理统计物理用微观的观点研究体系的宏观性质。例如计算 P、U，回答什么是 T、S ， 导出热力学定律等系综理论空间q i 、p i 描写的相空间平衡态U H t 与“宏观”时间无关，H 是用微观变量表达的能量，即

7、Hamiltonian 。换句话说，在宏观测量时间内，微观已各态历经系综： 多个相同的体系，其状态按在空间分布UHdd:空间的体积元是实质，代替了求解微观运动方程例如， d dpi dqi ， UH (qi, pi )(qi , pi )d关键：各态历经不能历经的态测度很低或存在各种扰动大热源R也许边界条件重要也许相互作用重要由宏观条件决定系统微正则系综孤立系统(qi , pi )c (EH ( qi , pi )E: 能量值当然，这时 HE 是个常数假设各态历经，这是显然的各态历经非各态历经正则系综非孤立系统，热平衡准独立假设：E总ER+E 体总R体ln 总 lnR +ln 体ln和 E 均

8、为广延量（ V 的线性函数）lnEE e只与 R 有关，这里当然EH (qi , pi ) 不是常数问题：似乎的导出很简单，关键在哪里？答：在于 H V 的假设。这已假设H 只在平均值附近涨落。当粒子数 N，微正则和正则系综差别可忽略。从正则看，能量分布极尖锐。从微正则看，子体系遵从正则分布。一般而言，正则系综比微正则系综计算简单。巨正则系综粒子数可变(EN) eN 是粒子数，是化学势热力学公式配分函数Z=e E deZ自由能所有热力学量正则系综平衡态、准静态过程能量UE1EeE dln ZZ广义力iEE eE d1 ln Zxixixi这里 i 不是微观粒子指标，xi 不是 qi ，而是体系

9、的大小尺寸等。(dU dW)(dEi dxi )( dln Z 1 ln E dxi )xid (ln Zln Z全微分)证明：d ln Zln Zln Zdxidxid(ln Zln Zln Z)dd若定义1l nZdS k d ( l nZ)kT由第一定律dQ T dS第一、二定律基本方程自由能FUTSET S kT ln ZkT所有热力学量例如UFSK lnT(因为 e (F E)/kT 对应态密度 )温度：描述能量涨落（热运动）的大小 ,是热力学量T 大E 分布宽T 小E 分布窄熵：熵也是热力学量熵增加原理 ：系统倾向于态密度大的宏观态。关于 T 和 S 的补充说明如假设 exp( E / kT) ，似乎单粒子或者少体系统也存在温度的概念。事实上 ,在这情形下，正则分布一般不成立，因为前面的准独立假设必须假设体系和 R 的粒子数都非常大。即便假设这的形式， T 不是大热源的温度。同理，对单粒子或者少体系统，假设存在一个，可计算 ln，但它没有熵的含义。能量均分定理E 1ap2U qq,qD2 iii1 ,2则1 aipi21 k T22证明：左边11ai pi2 eE dZ21ai pi21 a p2e 2dp2iiie1 ai pi2dpidp2i分子12