组合数的应用

1、1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元个元素的所有组合的个数，叫做从素的所有组合的个数，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我们规定： 1: mn mnnCC定理

2、112mnmnmnCCC：定理按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(

3、5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：课堂练习：课堂练习：1、车间有车间有11名工人，其中名工人，其中5名男工是焊工，名男工是焊工，4名女工是车工，另外名女工是车工，另外2名老师既能当车工名老师既能当车工又能当焊工，现在要在这又能当焊工，现在要在这11名工人中选派名工人中选派4名焊工名焊工4名车工修理一台机床，有多少种名车工修理一台机床，有多少种选派方法？选派方法？名在内有：名女车工有名在内有：名女车工有名女车工都在内有：24344课堂练习：课堂练习：2、以正方体

4、的顶点为顶点，可以确定多以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？少个四面体？3、以正方体的顶点为顶点，可以确定多以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？少个四棱锥？586648C个所以共个，正方体共面的四点组成48121214C课堂练习：课堂练习：4、四面体的一个顶点为四面体的一个顶点为A，从其他顶点，从其他顶点和各棱的中点中取和各棱的中点中取3个点，使它们和点个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？在同一个平面上，有多少种不同的取法？种333335C思考练习：思考练习：某市有某市有7条南北向街道，条南北向街道，5条东西向街道。条东西向街道。（1）图中共有多少个矩形？）图

5、中共有多少个矩形？（2）从）从A走到走到B最短路线走法有多少种？最短路线走法有多少种？A B组合类型（一）解析：组合类型（一）解析：混合问题，先混合问题，先“组组”后后“排排”例例1 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件件不同的次品不同的次品,一一进行测试，至区分出所一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第有次品为止，若所有次品恰好在第5次次测试时全部发现测试时全部发现,则这样的测试方法有种则这样的测试方法有种可能？可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，次测到次品，且第且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种

6、可能。576441634ACC例例2、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从个女生，从中选中选3名男生和名男生和1名女生参加三项竞赛活动，名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有每项活动至少有1人参加，则有不同参赛人参加，则有不同参赛方法方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA例例3，3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所所学校为学生体检学校为学生体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分

7、校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC二：分类组合二：分类组合,隔板处理隔板处理例例1、将将20个优秀学生名额分给个优秀学生名额分给18个班，个班，每班每班至少至少1个名额，有多少种不同的分个名额，有多少种不同的分配方法？配方法？ 1719C例例2、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加名学生参加数学竞赛数学竞赛,每校每校至少至少有有1人人,这样有几种选这样有几种选法法?5294095C练习：练习： 1、将、将8个学生干部的培训指

8、标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同个不同的班级，每班的班级，每班至少至少分到分到1个名额，共有多少种个名额，共有多少种不同的分配方法？不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？步走完，则有多少种不同的走法？47C1016C类型三：分组问题类型三：分组问题1、非均匀不编号分组非均匀不编号分组n个不同元素分成个不同元素分成m组，每组元素数目均组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分

9、完否分完例例1：10人分成人分成3组，每组人数分别为组，每组人数分别为2、3、5，其分法总数为：，其分法总数为：例例2：10人中选出人中选出6分成分成3组，各组人数组，各组人数分别为分别为1、2、3，其总的分法为：，其总的分法为：例例1：10人分成人分成3组，每组人数分别为组，每组人数分别为2、3、5，其分发总数为：，其分发总数为：例例2：10人中选出人中选出6人分成人分成3组，各组人组，各组人数分别为数分别为1、2、3，其总的分法为：，其总的分法为：5538210CCC3729110CCC类型三：分组问题类型三：分组问题2、均匀不编号分组均匀不编号分组n个不同元素分成不编号的个不同元素分成不

10、编号的m组，各组间组，各组间无顺序之分，也不管是否分完。假设其中无顺序之分，也不管是否分完。假设其中有有r组元素个数相等，其分法总数为：组元素个数相等，其分法总数为：kkrrkrAA组均匀分组应再除以如果再有的全排列）。（法数非均匀不编号分组中分例例1：10人分成人分成3组，每组人数分别为组，每组人数分别为2、4、4，其分发总数为：，其分发总数为：例例2：10人分成人分成6组，各组人数分别为组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其总的分法为：，其总的分法为：224448210/ ACCC)/(44222224262819110AACCCCCC类型三：分组问题类型三：分组问题3、非、非均匀编

11、号分组均匀编号分组n个不同元素分成编号的个不同元素分成编号的m组，每组元素组，每组元素数目均不相同，各组间有顺序之分，也不数目均不相同，各组间有顺序之分，也不管是否分完。其分法总数为：管是否分完。其分法总数为：)(mm组的全排列法数非均匀不编号分组中分mA例例1：10人分成人分成3组，去参加不同的劳组，去参加不同的劳动，每组人数分别为动，每组人数分别为2、3、5，其分发，其分发总数为：总数为：例例2：10人中选出人中选出6人分成人分成3组，参加不组，参加不同的劳动，各组人数分别为同的劳动，各组人数分别为1、2、3，其总的分法为：其总的分法为：335538210ACCC333729110ACCC

12、类型三：分组问题类型三：分组问题4、均匀编号分组均匀编号分组n个不同元素分成编号的个不同元素分成编号的m组，各组间有组，各组间有顺序之分，也不管是否分完。假设其中有顺序之分，也不管是否分完。假设其中有r组元素个数相等，其分法总数为：组元素个数相等，其分法总数为：的全排列）（全排列）的（法数非均匀不编号分组中分mrmmrrAA例例1：10人分成人分成3组，去参加不同的劳组，去参加不同的劳动，每组人数分别为动，每组人数分别为2、4、4，其分发，其分发总数为：总数为：例例2：10人中选出人中选出6人分成人分成4组，参加不组，参加不同的劳动，各组人数分别为同的劳动，各组人数分别为1、1、2、2，其总的

13、分法为：，其总的分法为：22334448210/ AACCC)/(222244262819110AAACCCC分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，丙组人，丙组3人；人；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。练习：练习：12 12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。人按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案答案C125.C74.C33

14、 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33课堂小结课堂小结:例例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出从中任意取出4只，试求满足如下条件各只，试求满足如下条件各有多少种情况：有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。类型四：分鞋问题类型四：分鞋问题分析分析: :(1)(1)因为因为4 4只鞋来自只鞋来自2 2双鞋双鞋, , 所以有所以有21045C(2)因为因为4只鞋来自只鞋来自4双不同的鞋双不同的鞋, 而从而从10双鞋中取双鞋中取4双有双有种种 方法方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各各有有