题根研究二项式(a+b)n展开式寻根

1、题根研究二项式(a+b)n展开式寻根湖南衡阳县五中陈胜北京万尔遐7、课堂奇遇从(a+b)2说起老师要讲新课一一二项式(a+b)n的展开式了他的提问从初中数学“和的平方公式”开始【题1】在二项式(a+b)n中，分别求n=2和n=3的结果.【解答】根据乘法法则，分别有：(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3老师开始向“新课”引渡：(a+b)4=？甲生答：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4老师再问：(a+b)5=?乙生回答：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5老师疑思：难道学生已经掌握了二项式定理？于是，

2、干脆把问题推到“一般式”，问：(a+b)n=？全场寂静，无人应声良久，丙生反问：这里(a+b)n中的n为多少？任意正整数！一一这个我们不会，您必须告诉，n为多少？老师退一步说：n=6丙生马上回答：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6老师追问：你怎么知道的？丙生回答：(a+b)6展开式是个6次齐次式.字母a降幕排列，从6降到0;字母b升幕排列，从0升到6.至于各项的系数，只要把(a+b)5展开系数“错位相加”即得.草式如下，从n=5到n=6:I510105I(/i=5)+)I510105II6152()1561(»=6)老师大惊：谁告诉

3、你们的？学生回答：初中数学中的多项式乘法的“系数分离法”，乘法变成加法算，草式如下:1111(«=121121(«=2)1331(心)1331464】3=4.剩下的任务只是如何将各11I21133114641I510105II61520156I到此，老师明白了，学生已经从乘法公式的递推运算中掌握了二项式定理项系数实现“符号化”的问题，即在展开式：(a+b)n=Aoan+Aian-1b+An-iabn-1+Anbn中，如何将系数Ao,Ai,，An-1,An用n的计算式表示出来.二、错位加法演出杨辉三角老师顺势引导学生：这个递推的“错位加法”很有意思，是否可以把草式简化，只把各

4、行的“加法结果”依次开列出来，比如，开出一个表来于是，各式各样的二项式(a+b)n展开式的“系数表”送来了，其中使大家感兴趣的是“等腰三角表”“好呀！”老师高兴地说：“如果你们能早点出生，这个三角形就可以用你们名字命名啦！现在这个等腰三角表已经命名为杨辉三角形了！”大家也很高兴：我们也成数学家啦！丁生提议：这个三角形可命名为“1+1三角形”因为：(1)这个三角形是从1+1开始的；(2)三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和甲生提议：这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行11212J1-2213312、1V4124各数之和.乙生提议：这

5、个三角形还可命名为“肩挑两数三角形”，因为这个三角形的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和.如三角形中I5JO10512$I61520156I於第5行的第3数10，就等于它的肩上两数一一第4行第2、3两数的和：10=4+6.老师插问：“肩挑两数”中的这两个数是唯一的吗？于是有下面的问题.D.10=5+5【题2】在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10,写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6B.10=3+7C.10=2+8【解答】杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的.因此，第5行第3数10,肩挑两数的结果是4+6.答案为A.丙生提议：这个三角形还可以命名为“单

6、肩串数三角形”因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”如三角形中第5行第3数10,它等于它右肩上的数6,并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即11I2II兀3I146411510105II61520156J10=4+3+2+1老师说，这个发现很有意思.要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩挑两数”性质推论或发展.谁能讲出这个道理来？丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数10,如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+(3+1)=6+:3+(1+0)=6+3+

7、1+0如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：10=4+6=4+(3+3)=4+:3+(2+1)老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果=4+3+2+(1+0)=4+3+2+1+0错位加法是问题之根三、a的相乘实为b的组合为了弄清二项式(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)=A0an+A1an-1b+An-1abn-1+Anbn展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的(a+b)2=(a+b)(a+b)此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作m和b2,于是有(a+b)2=(a+b1)(a+b

8、2)222=a+(b1+b2)a+b1b2=a+2ab+b由此看到，最高项a2的系数为1.次高项a的系数是b1+b2，这是从集合b1,b2中，每次取1个元素所成的组合.其组合数为c2=2.常数项bib2，是从集合bi,b2每次取出2个元素所成的组合，组合数为C2=1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合bi,b2每次取出0个元素所对应的组合组合数为C0=1.这样一来，“和的平方”展开式可写成(a+b)2=c2a2+C2ab+c2b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.【题3】试用组合数表示二项式(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)=

9、Aoan+Aian-1b+An-iabn-1+Anbn展开式中各系数Ao,A1,，An-1,An.【解答】对于an，它是从集合b1,b2,，bn中每次取出0个元素的组合.组合数为Ao=cn.对于an-1b，它是从集合b1,b2,，bn中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=Cn.对于abn-1，它是从集合b1,b2,，bn中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为cn1.对于bn，它是从集合b1,b2,，bn中，每次取出n个元素的组合，组合数为Cn.于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n=cSan+c；1an-1b+41abn-1+cnbn这就是所谓的“二项式定理”.它是“和的平

10、方式”的一般形式，或者说，(a+b)2=a2+2ab+b2是二项式定理的特殊形式.从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根.反过来，二项式定理为和的平方之果四、“肩挑两数”组合的加法性质将杨辉三角形中的第一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形.自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的加法式.如c2c4c2这里，(1)相加两数c4和c2是“下标相等，上标差1的两数；(2)其和豪是“下标增1,上标选大”的组合数.一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数cn1,“肩挑两数”的结果为cn1cn1cn这就是组合的加法性质：“下标相等上差1,下标增1选大的”逐次利用cn1cn1cn可以得c11

11、cn1cncn(cncrn1)crn(cn;cn2)crn即cr1cr1cr1cr11n1n1n1r1这是组合加法性质的推广：组合数.cn1可以写成n-1个组合数cr1cn1相加，各加数的上标都是r-1,而下标则是从n开始，依次递减为r-1例如，将第5行第4数C5展开，即是323223223C5C4C4C4(C3C3)C4C3C3这就是“单肩串数”的加法式，图示如右有了组合的加法性质，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了【题4】求证二项式定理(a+b)n=c0an+cnan-1b+41abn-1+C；bn【证明】(1)当n=1时，a+b=C0a+c：b=a+b命题真.(2)假设n=k

12、时命题真，即(a+b)k=C0ak+Ckak-1b+Ck1abk-1+Ckbk两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得1k+okc1k+okcIkc)ak-1b2+(Ck1Ck)abk+bk+10k+11=Ck1a+Ck1akb+Ck1abk+c：1bk+1综合(1),(2)可知，对任意的nN+,二项式(a+b)n展开式成立.“错位加法”是二项式(a+b)n展开时计算系数的“根法”.以下这道高考题，如果利用这种“根法”，可以实现一望而答.【考题1在(x-1)(X+1)8的展开式中，求X5的系数.【分析】(x-1)(x+1)8中X5的系数，由(x+1)8中，X4与X5两项的系数错位相加而得【解答

13、(X-1)(X+1)8=(X-1)(+c；x5+c4x4+)=+(cf-c8)x5+故x5项的系数为C；-C：=14.五、n始于1r始于0在杨辉三角形中，我们看到：n从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，第k行有k+1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.n0_n1n-1r_n-rrnn(a+b)=Cna+Cnab+Cnab+cnb展开式中的r从0取到n,故(a+b)n展开式有n+1项，其中关于r的通项cnan-rbr不是第r项，而是第r+1项.故二项式展开式的通项公式为Tr+1=cnan-rbr初学者经常说成Tr=cnan-rbr【题5在2x.X4的展开式中，第几项含

14、X3?【说明在通项公式cnan-rbr中求得r值，对应的r+1为其项数.一4丄r【解答Tr+1=c4(2x)4-rC-x)r=24-rc4x2令43得r=2T3=C4(2x)2x=24x3故展开式的第3项含x3项24X3.【考题2】9x9的系数.已知x2丄，求展开式中2x【说明】x9的系数不是二项式中b2.的系数，但可通过通项公式cnan-rbr求出对应的r来.【解答】设展开式的第r+1项能化简得到x9项则有Tr+1=c9(x2)9-rdrcr1-°9?x182x(2)r3r令18-3r=9得r=3故x9C3的系数为：2(2)32【考题3】展开式中存在常数项，则n的值可以是A.8B.

15、9C.10D.12【解答】令第r+1项Tr+i=C；(.x)nr3x3n5rcn?2r?x6=0，得3n=5r，选项中只有C合适.六、公式一个特式万千二项式定理是个公式，其中的a，b，n可“任意”取值.(a+b)n=c°an+clan-1b+C；an-rbr+cnbn(1) n取特值可得到具体的乘方公式，如(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4a1b3+b4(2) a,b取特值，可得许许多多的组合式 令a=b=1得c；+c1；+c；+c；=2n 令a=1,b=-1得c；+cn+c2m+=c；+c3+c；m1+=2n-1 令a=b,b=a得c；c；r【考题4】若(1-2x)2OO4=ao+a1x+a2x2+a2004x2004(xR),则(ao+a1)+(ao+a2)+(ao+a3)+(ao+a2oo4)=.(用数字作答)【分析】这是利用“公式”研究“特式”的值，关键是研究在公式中取x的特值.【解答】在原式中，令x=0，得ao=1，令x=1得ao+a1+a2+a2oo4=1,所以a1+a2+a2004=0，所以(ao+a1)+(ao+a2)+(ao+a3)+(ao+a