题多解--曲线的公切线

1、题多解（1）-曲线的公切线例:（2016全国2卷16）若直线ykxb是曲线yInx2的切线，也是曲线yIn（x1）的切线，贝Ub.【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。设ykxb与yInx2和y【解析】方法一、常规解法：ln(x1)分别切于点(x1,y1)、(x2,y2).则曲线yInx2的切线方程为:Inx-i1.xx2+1In(x21)xx2+111xx2+1Inx11In(X21)曲线yIn（x1）的切线方程为:，即X2X2+1Inx1In(x21In%1咻1)厶，解得x1x2+1X2bInx111In2.方法二、参数法：设ykxb与

2、yInx2和yIn(x1)分别切于点(“yd、(x2,y2).则k-、k1，即x1、X211.x1x2+1kky1Inx122Ink而y1ab1b，故2Ink1bY2In(x21)InkY2kx2b1kbInk1kb两式相减得：k2，所以b1In2.方法三、数形结合法（平移）：设ykxb与yInx2和yIn(x1)分别切于点(“yd、(x2,y2).函数yInx2和yIn（x1）都是由yInx平移而来，一个向上平移2单位，一个向左平移1单位，故切线的斜率k2.（只有是同一个函数平移成两函数，才能应用）11由yInx2得k2，即x!，故y-In论22In2捲21将切点(一,2In2)代入y2xb

3、，可得b1In2.2深化应用：1若曲线yx2与曲线2eaInx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线，则实数a的值C【解析】曲线丄x2的导数为:2e1sx，在P(s,t)处的斜率为：k；曲线yaInxe的导数为:，在P(s,t)处的斜率为：k的公共点P(s,t)处具有公共切线，可得a曲线sse12yx2e并且t与曲线yaInx在它们12s,taIns，即2es,e1:s2eaIns12，解得Ins，解得s22可得a12若曲线C1:2yax(a0)与曲线C?:yxe存在公共切线，则a的取值范围为()2迸，)2B(0，勺C2-鬥2e)D(0,丁4【解析】G:y2'ax(a0),y2ax；

4、C2:x'x2：ye,ye.设公切线与G:yax(a0)2切于点(xi,ax1)，与C2:yex切于(X2,e$)，则2ax1e222-ax1，可得2X2X12,生1x11迢12所以ae-2x1；记f(x)-2x1，则f'(x)e2(x2)，知在2J2x(0,2)时，f'(x)0,即f(x)在x(0,2)上单调递减，x(2,)时，f'(x)0,即f(x)在x(2,)上单调递增，f(x)mine2e2，故a44,).3.已知函数fx2xxax0，若函数fx的图象在点Inxx0A、B处的切线重合，则a的取值范围是()A.(1,)B.(In2,)C.(2,1)D.1,

5、2A【解析】设A(Xi,yJ、B(X2,y2)为此函数上两点，且治x?，观察函数图像可知治0x?,则函数fx在AX,yj处切线方程为y(x2X1a)(2X11)(xxj,即y(2x11)x2X1a；函数fx在B(x2,y2)处切线方程为yInX2-(xX2),即X21x2x111,由x11yInx21；依题意两切线重合，知2X2Inx20x2知01。X21X2Xa所以a2xInX21£(丄1)2Inx21,令t丄(0t1)设函数4x2X2g(t)(t1)2Int1(0t1)，则g'(t)1(t11)-(t1)(t2)0,所以g(t)在42t2t0t1上是单调递减函数，则g(t)g1，又当t0时，g(t)，所以a的取值范围是(1,).【点拨】从切线重合(即同一条切线)得到两切点