高中数学圆的方程专题复习

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以为圆心的同心圆系方程"-小-?'-过直线;1?.与圆'J!-1-'一的交点的圆系方程过两圆'-+十-和圆_厂+-»的交点的圆系方程x2+才+口工十駕+耳+礙疋斗才+D込+耳y+F2）-0（2工一1）此圆系方程中不包含圆亠，直接应用该圆系方程，必须检验圆-是否满足题意，谨防漏解。当匸一-时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆广一m与直线相交于匚两点，二为坐标原点，若

2、"一"，求实数吨的值。分析：此题最易想到设出，-，由得到-I利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于"的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系口尸丄。°,不难得出。在以尸。为直径的圆上。而尸°刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆'"的交点的圆系方程为：°'°'，即x2+护4-(14-劝玄+2(久一3)+懣一3几=0.依题意，匚在以'-为直径的圆上，则圆心(显然在直线-11上，则-kt+2p->a)-3=0-

3、，解之可得-1又_满足方程，y巳_二=故覚=2例2:求过两圆'''-1和-'的交点且面积最小的圆的方程。解：圆：和(Ul-L-y的公共弦方程为?+-25-)2+0-1)2-16=0即2a+2j-11=022过直线i'-一与圆-的交点的圆系方程为:11J:I?I-I即：/I.1.1-'依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心'；必在公共弦所在直线一k-上。即则二代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m1)x+(2m1)y=m5恒过一定点P,并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线

4、恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x+2y1)(x+y5)=0,x2y10x9y解得即xy50y4直线过定点P(9,-4)注：方程可看作经过两直线交点的直线系。22例4已知圆C：(x1)+(y-2)=25，直线I：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR)(1) 证明：不论m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时I的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得2x+y7=0,x+y4=0,(1)证明：I的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.即I恒过定点A(3,1)/mR,圆心C(1,2),|AC|=,5v

5、5(半径)，点A在圆C内，从而直线I恒与圆C相交于两点.1(2)解：弦长最小时，I丄AC,由kAc=,2I的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线yxm与曲线y4x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：曲线y.4x2表示半圆x2y24(y0)，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2m2或m2一2.变式练习：粘y21.若直线y-x+k与曲线x-Iy恰有一个公共点，则k的取值范围是解析：利用数形结合.答案：-1vkw1或k=-222例6圆(x3)(y3)9上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？分析：

6、借助图形直观求解或先求出直线I1、J的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心为。1(3,3)，半径r3.|334311设圆心Oi到直线3x4y110的距离为d，则d123.J3242如图，在圆心01同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线I1与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又rd321.与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求Im11直线为3x4ym0，则d''1,肘42m115，即m6，或m16，也即h：

7、x4y60,或S：3x4y160.设圆ONx3)2(y3)29的圆心到直线h、J的距离为d1、d2，则d132423,d23343163242h与。1相切，与圆Q有一个公共点；12与圆。1相交，与圆。1有两个公共点即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：334311设圆心O到直线3x4y110的距离为d，则d_123.V3242.圆。1到3x4y110距离为1的点有两个.显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.类型三：圆中的最值问题例7:圆x2y24x4y100上的点到直线xy1

8、40的最大距离与最小距离的差是解：圆（x2）2（y2）218的圆心为（2，2），半径r2，圆心到直线的距离102直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(dr)(dr)2r6、2.例8(1)已知圆Oi：x3)2(y4)21,P(x,y)为圆0上的动点，求dx2y2的最大、最小值.22y2(2)已知圆02：(x2)y1,P(x,y)为圆上任一点.求的最大、最小值，求x2y的最大、x1最小值.分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.x3cos,可设圆的参数方程为sin(是参数).y4j2则dxy296cos2cos168sinsin2266

9、cos8sin2610cos()(其中tan所以dmax261036,dmin261016.22解：(1)(法1)由圆的标准方程(x3)(y4)1.4).3(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d；加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1.所以d1324216.d2、324214.所以dmax36.dmin16.22x2cos,(2)(法1)由(x2)y1得圆的参数方程：是参数.ysin,y2sin2人sin2则.令t,x1cos3cos3得sintcos23t,.1t2sin()23t所以tmaxsin(3乜3ttmin3.3t3-344即山的最大值为，最小值为x144此时x2y2cos2sin2、5cos().2kk2所以x2y的最大值为2.5，最小值为2.5.如图所示,1k2所以口的最大值为，最小值为x143、.34令x2yt,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.2m厂由d丿1，得m2V5.m的取值范围.所以x2y的最大值为2.5，最小值为25.2设圆x(y21)1上任一点P(cos,1sin)0,2)xcos,y1sin/xym0恒成立cos1sinm022例9、已知对于圆x(y1)1上任一点P(x,y)，不等式xym0恒成立，求实数即m(1cossin)恒成立.只须m不小于(1cossin