高中各种函数图像画法与函数性质33211

1、一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义二次函数fxax2bxca0a0a0图像丨bx丨2a|岔x:2a定义域J对称轴bx2a顶点坐标b4acb22a，4a值域4acb24a，4acb2，4a,递减2a,递增2a单调区间b递增b递减2a'2a'二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于X

2、轴对称yaxyaxh2m2nkbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；22yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk2. 关于y轴对称yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；3. 关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；22yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc；2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk.5. 关于点m,n

3、对称2yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线函数解析式k>0k<0ky=-X1y1丿ryJhb-vrji0r増減性在每一象眼內事7随X増大而減小在毎一象限內卩隧X増大而増大?反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K丰0）。2、性质:1当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；

4、k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x工0;值域为y工0。3. 因为在y=k/x（k工0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q,过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S仁S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6. 若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。7

5、. 设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，贝UnA2+4km>（不小于）0。8. 反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。9. 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.10. 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。12. |k越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13. 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点指数函数概念：一般地，函数y=aAx（a>0，且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义

6、域是R。注意：1指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数2. 指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质丿加1>*口卩R-<)H寸.v=I<4>/f：RL丹埔碉数"血Kh.H碱崗敎规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。2. 当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当Ovav1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。3. 四字口诀：“大增小减”。即：当a>1时，图像在R上是增函数；当Ovav1时，图像在R上是减函数。4. 指数函

7、数既不是奇函数也不是偶函数比较幕式大小的方法：1. 当底数相同时，贝闲用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1. 对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-%,)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax(a>0,a1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a>0,aM1)

8、.因为指数函数y=ax的定义域为(-%,)，值域为(0,+s)，所以对数函数y=logax的定义域为(0,+%)，值域为(-%,+%).2. 对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a>0,aM1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x,y=logex,y=log1ox,y=log1x,y=log1x的草图210i2>1C1(II>a>1av1X=1图5:y二h%心QUd象i厂(L0)ir-*°h(ho)*(1)x>0性当

9、x=1时，y=0质(3)当x>1时，y>0当x>1时，yv00vxv1时，yv00vxv1时，y>0在(0,+%)上是增函数(4)在(0,+%)上是减函数补设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0vav10vbv1)充当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2性当0vxv1时“底大图高”即若a>b，贝Uy1>y2质比较对数大小的常用方法有：(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断(2) 若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论(3) 若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为

10、同底再进行比较(4) 若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a>0，a1)y=logax(a>0，a1)定义域(-OO，+X)(0，+o)值域(0，+O)(-OO，+O)当a>1时，当a>1时函数值1(x0)0(x1)ax1(x0)lOgax0(x1)变1(x0)0(x1)化当0vav1时，当0vav1时，情况1(x0)0(x1)ax1(x0)lOgax0(x1)1(x0)0(x1)单调性当a>1时，ax是增函数；当a>1时，logax是增函数；当0vav1时，ax是减函数.

11、当0vav1时，logax是减函数.图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.幕函数幕函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点11 a-，,1,2,3时，幕函数图像过原点且在0,上是增函数.321 a丄，1,2时，幕函数图像不过原点且在0,上是减函数.2yx2yx3yx1yx勺1yx定义域RRRx|x0x|x0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增减性在第i象在第I象在第I象在第I象在第I象限单调递限单调递限单调递限单调递限单调递增增|增增减幕函数yX（xR,是常数）的图像在第一象限的分布规律是： 所有幕函数yX（xR,是常数）的图像都过点（1,1

12、）；123 当2时函数yx的图像都过原点（°，°）； 当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如C2）； 当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如&） 2时，yX的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如C3 i时，yx的的图像不过原点（o,o），且在第一象限是“下滑”曲线（如C4)当0时，幕函数yX有下列性质：（1）图象都通过点（0,0）,（1,1）；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点（11）后，图象向右上方无限伸展。当0时，幕函数yx有下列性质：（1）图象都通过

13、点（1,1）；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点（11）后,越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幕函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限对号函数b函数yax（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0,+%）的图象似x符号“V”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，axbx（当且仅当axb即x、b时取等号），由此可得函数yaxb（a>0,b>0,xxaxR+）的性质：当xJ?时，函数yaxb（a>0,b>0,xR+）有最小值2,1，特别地,：axa当a=b=1时函数有最小值2。函数yaxb(a>0,b&