高数答案第11章

1、第十一章曲线积分与曲面积分(09级下学期用)§1对弧长的曲线积分1设L关于x轴对称，L!表示L在x轴上侧的部分，当fx,y关于y是偶函数时,fx,yds(B)LB.2fx,ydsC.Li2fx,yds都不对Li2、设L是以点A1,0,B0,1,C1,0,D0,1为顶点的正方形边界，则；：ds=(C)lWMA.4C.4.、2D.2、23、有物质沿曲线L:xt,y匚z0t231分布，其线密度为2y,，则它的质量m(A)1A.t、1t2t4dtB.01t21t2t4dtC.011t2t4dt01D.t.1t2t4dt04.求xds其中L为由Lyx,yx2所围区域的整个边界解:012xdx1

2、5.51125. yds,其中L为双纽线(x2y2)2a2(x2y2)(a0)L解：原积分=4yds4sin.r2r'2d4a2"sind2a22200L16. xy2ds,其中L为x2y2axa0L2原积分2acostadt2a20222227.xds,其中L为球面xyza与平面xy0的交线L又dsadtL的参数方程：x2cost,y-sint,zasint，2?222原积分=cos2tadta30221的重心坐标8求均匀弧xetcost,yetsint,zetds3etdt,M0.,'3edt>3,0X。etcosh,3etdtM11y05,z02对坐标的曲

3、线积分、选择题Px,y关于y是偶函数1.设L关于x轴对称，Li表示L在x轴上侧的部分,时，Px,ydx(D)B.L2Px,ydxC.2L1Px,ydx都不对4LC3.L为x2a2的正向，(xy)dx(xy)dy|B.-2D.2设L为xy1的正向，贝xdxydyLxIyl、计算1.x2Ly2dxx2y2dy，其中L由曲线y11x0x2从A2,0到O0,0方向解:B1,1AB:y2x,x:21;BO:yx,x:11222x2xdxx2x2ABBO1dxx2dx2.x2y2dxy(xyln(xx2y2)dyL其中L是正向圆周曲线4解：由奇偶对称性X2y2dx0,L:xacost,yasint,t:L

4、Ia4sin21cos2tdta3sintcostlna1costdta4sin21cos2tdt43.xdxydyxy1dz其中为从点A1,1,1到B2,3,4的有向线段i解：方程：xt1,y2t1,z3t1,I14t6dt130三、过00,0和A,0的曲线族yasinxa0，求曲线l使沿该曲线从o0,0到A,0的积分1y3dx2xydy的值最小La3sin3x2xasinxacosxdx4aI'a4a210,a180oa1,Ia最小，此时ysinx四、空间每一点处Px,y,z有力Fx,y,z，其大小与Px,y,z到z轴的距离成反比，方向垂直指向z轴，试求当质点沿圆周xcost,y1

5、,zsint从点M1,1,0到N0,1,1时，力Fx,y,z所作的功解：由已知Fx,y,z2"2,2ky2,0xyxy2kx,ky,kcost,±k,W2-dxifdy2dcostln2Lxyxy0cost12五、将积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy化为对弧长的积分，其中L沿上半圆周x2y22x0从O(0,0)到B(2,0).解：yP2xx2,dy1xdx,ds#1y2dx1dxv'2xx2V2xx2cosdx-2xx2,cos业1x，于是dsdsLP(x,y)dxQ(x,y)dylP(x,y)2xx2Q(x,y)(1x)ds§3格林公式及其应用、选择

6、题1.若L是上半椭圆xy囂取顺时针方向,则Lydxxdy=(C)B.ab2C.|ab.D2ab2.设L为x2a2的正向，则xy2dxx2ydy0Lx2D.3.设L为曲线x29的正向,2xy2ydxx24xdy(B)C.-9A.9、计算题1.设L是圆x222xi取逆时针方向，则LInxy2dxeydyx2y22x解：将方程代入被积函数再由格林公式得,2原式=ln12xdxeydyL0dxdy0D2.2xy3Ly3cosxdx12ysinx3x2y2dy,其中l为点oo,o到a-,1的抛物线y22x的弧段解：因卫-故积分与路径无关，取B-,0xy2122IOB0BA12ysin3-022dy3.求

7、ydxLx121(2)正方形边界x|y1的正向解：(1)直接用格林公式=0设I为圆周:2r取逆时针方向，其参数方程xrcost,yrsint,t:0原积分为Odxdyl所以ydxxdy°-22lxy4、验证y2ydxQ2lXyexdxxdy2y2xy22.rcostlx小2dt20rexdy在xoy面上是某函数ux,y的全微分，求出ux,yr2sin21证明：xy2yex，ux,yxyye，5、设曲线积分xy2dxyxdy与路径无关，其中x具有连续的导数，且00,计算1,1xy0,02dxyxdy的值解：取路径：沿0从0,0到0,1;再沿y1从0,1到1,1则0dy1xdx0或卫xy

8、2x,代入计算。对面积的曲面积分1、计算曲面积分4»亠口十十x(z2x3y)ds，其中是平面舟41在第一卦限的部分解：I4(1Dxyxy4yx612自2x彳Fdy3(1|):dx4.dy4、.610312、求曲面积分是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面x2解:I2DyzR2ArzRyH2R0R宀dz.rJy2dy=2arctan看#.arcsinH2arctanR3、求曲面积分(xyzzx)ds，其中是锥面x2y2被柱面x2y22ax所截得的有限部分解:J_2xy(xy)；x2y2、2dxdy=dDxy2acosr2cossinr(cos0sin).r：2rdr=64.2a415对坐

9、标的曲面积分、选择题1.设关于yoz面对称反向,1是在yoz面的前侧部分，若Px,y,z关于X为偶函数，则Px,y,zdydz(A)|B.2Px,y,zdydz1C.2Px,y,zdydz者E不对12.设:x2y2z2a2z取上侧，则下述积分不等于零的是(x2dydzBxdydzydxdyDzdxdz3.设A.为球面x2y2z21取外侧，1为其上半球面，则有(Bzds2zdsB.zdxdy2zdxdyC.z2dxdy2z2dxdyD.11、计算1.二x2dydzy2dzdxz2dxdy其中由xyz1及三个坐标面所围成闭曲面的外侧解：z2dxdy1Dxy2ydxdy11x.21dx1xydy00

10、12142.xydydz其中由轮换对称性原式为锥面x2y2被平面z1所截部分的外侧解：由对称性ydydz0原式xdydzxzxdxdyx22xdxdy122Jy21xy12r0cos2dr3.(xy)dydzyzdzdxxdxdy其中2y被平面1所截部分，其法向量与z轴成锐角解：由对称性ydydzzdzdx0原式2x22y2zxdxdydxdy21dr3r2cosdr002、用两类曲面积分之间的关系计算1.求(x3cosy2coszcos)dS其中是柱面xa2h部分,cos,cos,cos是的外法线的方向解：原式x3dydzy2dzdxzdxdy由奇偶对称性及dxdy=0得ha原式x3dydz

11、2x3dydz2dza20ay2322dy4ha4cos04tdta4h2.(f(x,y,z)x)dydz2f(z,y,z)ydzdxf(x,y,z)zdxdy其中f(x,y,z)为连续函数，为平面xyz1在第四卦限部分的上侧解:Q原式ri的法向量为n1,1,1cos,cosv3,cos313.1(xyz)dS11.3dxdy="2D3xy四、试求向量Aizz,ek穿过由z斗x2y2及z1及z2所围成圆台外侧面(不含上22',xy下底)的流量解：ze=dydzzdzdx=22dxdyxyez,22dxdy由奇偶对称性矢口dydzzdzdx0x2y222derdr2e1e01&

12、#167;6高斯公式1.设是抛物面z1(x2y2)介于z0及z2之间部分的下侧，求z2xdydzzdxdy解：zxdydzzdxdy8，加面后用高斯公式。2.设为x2y2z21取外侧，求222xx1dydzyy1dzdxzz1dxdy3253. 设为平面xyz1在第一卦限部分的上侧，则xydydzyzdzdxxzdxdy=-8uvqVqVQV.4. 求矢量场Ax3iy3jz3k穿过曲面zRR2x2y2R0与z、卡y2所围成的闭曲面外侧的通量。28R555. 求:二1fdydz1fdzdxzdxdy，其中fu有连续的二阶导数，是yyxyyx2z2,y8x2z2所围立体的外侧22解：原式°

13、;6.求dV82x2y2dxdyx2y24xz2dydzx2yz3dzdx2xy'd800y2zdxdy,22rrdr16a2x2y2及z0所围曲面的外侧解:原式22°x2y2z2dVdsind00ar4dr0其中是xdydz7.ydzdxzdxdy，其中为x2y23/22232(xyz)2z2r2取外侧一r、1解：原式亍°xdydzydzdxzdxdy古°斯托克斯公式3dV41、设L为依参数增大方向的椭圆:2xasint,y2asintcost,zacos210t2，求lyzdxzxdyxydz(0)2.设L为平面xyz1与坐标面交线，从z轴看去为逆时针

14、方向,xyzdyyxzdz(2)3.设l为圆周x2y2z2R2,xyz0若从ox轴正向看依逆时针方向，则方向解:2dyx3dz(.3R2)Lydxzdyxdz其中l为圆周z2R2,xyz0若从ox轴正向看依逆时针coscoscosdS3cosdS3R25.Ly2dxz2dyx2dz,其中l为曲线x2222yza22xyaxz0,a0从ox轴正向看依逆时针方向上占L八、为球面被l所围部分zax2x,y,z处的法向量为-ay2,x2y2ax.x,y,z取凸侧,由斯托克斯公式（2）ZCOSxcosycosdSxaxxy22xydxdy2xdxdy才3yax注：由对称性ydxdyDxyr222Daxy

15、dxdy06.Y(yz)dx(zx)dy(xy)dz,其中l为椭圆2xza,ab1(a0,b0）若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。解：所围区域，其法向量为b,0,a原积分2coscoscosdS2_a_bdSdxdy222ya第十章自测题1、2、3、填空（每题4分，共20分）设平面曲线L为下半圆周y=-.1-x2，则曲线积分22L(xy)ds2设L为椭圆4设L为正向圆周1，其周长为a,则2xy3x24y2ds(12a)Lx2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy2ydx是W的整个边4、设W是由锥面z=、x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空间区域,界的外侧，则xdydzyd

16、zdxzdxdy(22)R35、设为球面(x-R)2+(y-R)2+(z-R)2=R2外侧，则曲面积分xdydzydzdxzdxdy(0、722、3/2(0、S(xyz)二、选择题（每题5分，共15分）1、设22:xy22zaz0,1疋在第哇卜限部分.则有(C)A.xdS4xdS1B.ydS4ydS1C.zdS4zdS1D.xyzdS4xyzdS12、设.22:xy22zaz0,取上侧，则下述积分不正确的是(B)A.x2dydz0B.xdydz0C.y2dydz0D.ydydz0ydxxdyL3、设L是从点（0,0）沿折线、y=1-|x-1|至点A（2,0）的折线段，则曲线积分|为（D）A0B

17、-1C2D-2三、计算（每题8分）内的部分1.计算曲面积分zds,其中S为锥面z=x2+y2在柱体x2y22xSI-2.”x2y2dxdyx2y22xd22cosr2dr3292、过00,0和A,0的曲线族yasinxa0,求曲线L使沿该曲线从O0,0到A,0的积分301y3dx2xydy的值最小L1a3sin3x2xasinxacosxdx4a'Ia4a10,a1I''180。a1,Ia最小，此时ysinx3、计算曲线积分xdyydx4x22，其中L是以1,0为中心,yR（R1）为半径的圆周（取逆时针方向）解：设1为圆周:4x22r取逆时针方向，其参数方程rxcost,yrsint,t:O22原积分为厂；lLl0dxdyD2xdyydxxdyydx22'22il4xyi4xy0122.122.rcostrsint2,dtr4、计算I（y2Lz2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz其中L是平面x+y+z=2与柱面5计算曲面积分Ix+y=1的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.（-24