黑龙江省海林市朝鲜族中学高中人教A版数学选修1-1导学案：3-3-2函数的极值

1、1.3.2函数的极值与最值【课标学习目标】1了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2 掌握函数极值的判定及求法.3 掌握函数在某一点取得极值的条件.4 增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.目标解读1 重点是函数极值的判定与求法.2 难点是函数极值的综合应用.【情境引入】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？【课前预习】1. 设函数f(x)在点a,b及其附近有定义，如果，函数y

2、=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=；而且在点x=a附近的左侧f'(x)，右侧f'(x).类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=；而且在点x=b附近的左侧f'(x)，右侧f'(x)我们把点a叫做函数y=f(x)的,f(a)叫做函数y=f(x)的;点b叫做函数y=f(x)的,f(b)叫做函数y=f(x)的.极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为2. 求函数y=f(x)的极值的方法是:(1) 解方程.当f'(xO)=0时：

3、如果在xO附近的左侧，右侧，那么f(xO)是极大值； 如果在xO附近的左侧，右侧，那么f(xO)是极小值.3. 般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：；(2) .【题型探究】【例1】求下列函数的极值：32x(1)f(x)=X312x;(2)f(x)=帛-2.【分析】按照求极值的基本方法，首先从方程f'(x)=0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.【解析】函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3/12=3(x+2)(x2).令f'(x)=0，得x=2或x=2.当x变化时，f'

4、(x),f(x)变化状态如下表:x(m，2)2(2,2)2(2,+8)f'(x)+0一0+f(x)极大值f(2)=16极小值f(2)=16从表中可以看出，当x=2时，函数有极大值，且f(2)=(2)312X(2)=16.当x=2时，函数有极小值，且f(2)=2312X2=16.(2)函数的定义域为R.222(x+14x2(x1x+1)f'(x)=22=22.(x2+1J(x2+仃令f'(x)=0，得x=1或x=1.x(汽一-1)1(1,1)1(1，+8)f'(x)一0+0一f(x)极小值3极大值1一2由上表可以看出，当x=1时，函数有极小值，且f(一1)=2一2

5、=一3,2当x=1时，函数有极大值，且f(1)=2=1.【评析】理解极值的定义是正确解决本题的关键点.应明确f'(x)=0只是函数f(x)0在x=x处取得极值的必要条件，必须加上该点左右两侧导数符号相反，方能判定在x处取00得极值.【例2】设函数f(x)=2x33(a+1)x2+6ax+8,其中aR.(1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；若f(x)在(一a,0)上为增函数，求a的取值范围.【分析】由f'(3)=0得关于a的方程求出a的值，但需要检验；(2)先求f(x)的增区间与(一a,0)进行分析讨论得出a的取值范围.2【解析】(1)f'(x)=6x6(a+

6、1)x+6a=6(xa)(x1).因为f(x)在x=3处取得极值，所以f'(3)=6(3a)(31)=0，解得a=3.经检验知当a=3时，x=3为f(x)的极值点.(2)令f(x)=6(xa)(x1)=0，得x=a，x=1.12当a<1时，若x(8,a)U(1,+)，则f'(x)>0,所以f(x)在(8,a)和(1,+8)上为增函数.故当0<a<1时，f(x)在(8,0)上为增函数.当a>1时，若x(8,1)U(a,+8),则f'(x)>0,所以f(x)在(8,1)和(a,+8)上为增函数，从而f(x)在(8,0)上也为增函数.综上所

7、述，当a0,+8)时，f(x)在(8,0)上为增函数.【评析】本题的第问直接求f'(x)，令f'(x)=0,可求解第问利用分类讨论，将a与1比较作为分类的标准，判断在(8,0)上，f(x)>0是否成立，从而确定a的取值范围，本题主要考查二次函数的极值问题和利用导数来求函数的单调性.【例3】已知aR,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.【分析】本题是一道函数与导数综合运用问题，首先导数的运算需过关，另外讨论时分类的标准是关键.x2【解析】f'(x)=ex+(a+2)x+(2a+1),2令fz(x)=0，得x+(a+2)x+(2a+1)=0.2

8、(1)当=a4a>0,即a<0或a>4时，方程有两个不同的实根x,x，不妨设x<x,1212x于是f(x)=e(xx)(xx),从而有下表：12x(8,Xi)Xi(Xi,x2)X2(X2,+8)f'(x)+0一0+f(x)极大值极小值x即此时f(x)有两个极值点.(2)当=0,即卩a=0或a=4时，方程有两个相冋头根xx，于是f(x)e(x122x).1故当x>x时，f'x)>0;1当x<x时，f(x)>0,f(x)在R上为增函数，此时f(x)无极值.1(3)当A<0时，即0<a<4时，方程无实根，f'(

9、x)>0恒成立，所以f(x)在R上是增函数，此时f(x)无极值.综上，a>4或a<0时，f(x)有2个极值点.0=a詔时，f(x)无极值点.【评析】本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式，恒成立等基本知识，考查综合分析问题和解决问题的能力，及推理能力以及分类讨论的数学思想.【例4】求下列函数的最值:12(1)f(x)=sin2xxf(x)=ln(1+x)-；x2,x0,2.【分析】函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，在求a,b上的最值时，只需求出f(x)在(a,b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可.【解析】(l)f'(x)=2c

10、os2x1,1令f'(x)=0,得cos2x=TtTt又x2,2,2x罵n,nn/2x=±3，x=±6.函数f(x)在n，n上的两个极值分别为i'n込丄nl6.=2+6.又f(x)在区间端点的取值为2=-2,比较以上函数值可得nnf(X)max=,f(X)min=,11人11(2)f(X)=2X,令一2X=0,X+12x+12化简为X+X2=0,解得X1=2(舍去)，X2=1.当0wx<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当1<xw2时，f'(x)<0,f(x)单调递减.1所以f(1)=ln24为函数f(x)的极大

11、值.又f(0)=0,f(2)=ln31>0,f(1)>f(2).121所以f(0)=0为函数f(x)=ln(1+x)4x在0,2上的最小值，f(1)=ln24为函数在0,2上的最大值.【评析】不论求函数的极值，还是最值，都要先看清定义域，当定义域没有给出时，首先求定义域.【课堂小结】根据可导函数极值的定义，要弄清以下几点：1. 极大（小）值未必是最大（小）值，可以有多个数值不同的极大（小）值；2. 极大（小）值是局部充分小的领域内的最大（小）值；3. 极大（小）值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；4. f'（X0）=0只是可导函数f（x）在X0取得极值的必要条件，不是充分条件.【当堂检测】1已知函数y=X23x+2|,则（）A. y有极小值但无极大值B. y有极小值0，但无极大值1C. y