高考文科数学圆锥曲线专题复习

1、高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳:名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点Fi,F2的距离的和为常数（大于Irf?）的动点的轨迹叫椭圆即MF“MF22a当2a>2C时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2I当2a<2C时，轨迹不存在平面内到两定点F2的距离的差的绝对值为常数（小于|FiF2）的动点的轨迹叫双曲线即MFjMF22a当2a<2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a>2c时，轨迹不存在标准方程22焦点在x轴上时：x2y21a2b222焦点在y轴上时：y2X21ab注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上22焦点在x轴上时：务1

2、ab22焦点在y轴上时：-221ab常数a,b,c的关系22.2-cacb,ab0,a取大，cb,cb,cb22.2八cab,ca0c最大，可以ab,ab,ab渐近线焦点在x轴上时：-0ab焦点在y轴上时：乂上0ab抛物线:图形1JLy厂>丄IkO方程2y2px(p0)2y2px(p0)2x2py(p0)2x2py(p0)焦占八、p(£0)2(-,0)2p(0/)2(0,舟)2准线xp2xP2y子(一) 椭圆221.椭圆的性质：由椭圆方程笃爲1(ab0)ab(1) 范围：axa,bxa，椭圆落在xa,yb组成的矩形中。(2) 对称性：图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于

3、原点对称。原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A(a,0),A2(a,0),B(0,b),B2(0,b)。加两焦点R(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。AA2叫椭圆的长轴，BiB2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。eCe1(b)2。0e1。此时也可认为圆为椭圆在e0时aa椭圆形状与e的关系：e0,c0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆,的特例。e1,ca,

4、椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e1时的特例。2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3. 椭圆的准线方程2对于笃2yb21，左准线l12:x；右准线l2c2a:xca2对于与2x.21,下准线l1:y2a；上准线*:y2aabcc焦点到准线的距离p2acca2c2b2c(焦参数)(二) 双曲线的几何性质：1.(1)范围、对称性22由标准方程笃爲1，从横的方向来看，直线x=-a,

5、x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着xa2b2的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。(2)顶点顶点：A(a,0),Aa,0，特殊点：B(0,b),B20,b实轴：AA长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B-iB2长为2b,b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。(3) 渐近线21的渐近线x过双曲线a(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比2c叫做双曲线的离心率范围：e>1双曲线形状与e的关系:2abJc2a2kac21-,e21,e越大，即渐近线的斜率的绝对a值就越

6、大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。2.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为:(2)渐近线互相垂直；(3)离心率e、2。3.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为些x(k0)，那么此双曲线方程就一定是:kax2(ka)22y(kb)22x1(k0)或写成-ya2yb2这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:量a,b,c中a,b不同(互换)c定双曲线的共轭双曲线的方法：将5.双曲线的第二定义：到定点双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点,6.双曲线的准线方程：的距离与到定直线I

7、的距离之比为常数e-(ca0)的点的轨迹是ae是双曲线的离心率。定直线叫做双曲线的准线。常数4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确变为1。2x对于2a2y21来说,b2相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线h:x2一,相对于右焦点cF2（c,0）对应着右准线122a:xc焦点到准线的距离pb2(也叫焦参数)。c222对于y2x21来说,相对于下焦点戸(0,c)对应着下准线h:y;相对于上焦点F2（0,c）对abc2应着上准线12:yc(三) 抛物线的几何性质(1) 范围因为p>0，由方程y22pxp0可知，这

8、条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x>0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。(2) 对称性以y代y,方程y22pxp0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。(3) 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y22pxp0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点。(4) 离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e=1。【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程(1) 中心在原点、以对称轴为坐标

9、轴、离心率为1/2、长轴长为8;(2) 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2,3);(3) 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是10.5。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：(1)焦点位置可在x轴上，也可在y轴上2222因此有两解：1或116121612(2)焦点位置确疋，且为(22yx、0,v'5)，设原方程为221,(a>b>0)，由已知条件有ab2ab25229422a15,b10，故方程为x1。2ab21

10、1510(3)设椭圆方程为2x22y.21,(a>b>0)abb由题设条件有c.10.5及a2=b2+c2，解得b=,5,a:/10ac22故所求椭圆的方程是-y1。105例2.直线ykx1与双曲线3x2y21相交于AB两点，当a为何值时，AB在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解：把ykx1代入3x2y21整理得：(3a2)x22ax20(1)当a,3时，244a2由>0得6a-6且a.3时,方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须x1x22>0所以aj3或a,/32>u,所a、3或a3。a3故当,6a.3或*3

11、a.6时，A、B两点在同一支上；当3a3时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.已知抛物线方程为y22p(x1)(p>o),直线l:xym过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|3.1由距离公式|AB(“疝2(*y2)2Jk2|y1y2|2|y1山则有（yi朋|.y2ip(xpI,消去X，得y21）2pyp2(2p)24p20.y1y2从而（力y2)2(y1y?)24%y2即（2P)24P292由于P>0,解得P32p,yiyi例4.过点（1,0）的直线I与中心在原点，焦点在X轴上且离心率为2的椭圆C相交于

12、21线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线2程.I对称，试求直线IA、B两点，直与椭圆C的方1-,从而a2=2b2,c=b.2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，解法一：由哺牛得宁(x12x22)+2(y12y22)=0,X1X2X1X22(yiy2)设AB中点为（xO,yO）,贝UkABX02y。1又(xO,yO)在直线y=X上,2y0=-X0,2是一理=1,kAB=1,2yo设I的方程为y=x+1.右焦点（b,0）关于I的对称点设为（x',y'

13、）,亠1则xby2解得Xy由点（1,1-b）在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=,a2168x2所求椭圆C的方程为虬9亍得£x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x1）,162y9b2a2=1,1的方程为y=x+1.11,从而a2=2b2,c=b.2解法二：由e=-a设椭圆C的方程为将I的方程代入C的方程，得（1+2k2）x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=上，y1+y2=k(x112k21直线l:y=x过AB的中点(2(2)代入(1)消y整理得：(k2a2；)x2设A%,%)B(X2,y2),知:X1X2又旳目2k(x1x2)2k代入上式得：k2k-,k2，2k

14、k22ab2kX1X22k22a,2z22、k2b2(ac)2c2222eaa2k2a2xa2k2a2b20(3),22,2kab1b21口2kk,又e2，ka22，21,直线I的方程为y1x,2k2a2此时a22b2,方程(3)化为3x24x22b20,221624(1b2)8(3b21)03b,椭圆C的方程可写成:3x22y22b2(4),又c2a2b2b2,右焦点F(b,0),设点F关于直线l的对称点(x0,y°),1)+k(x21)=k(x1+x2)2k=12k22X1X2y1y2)则_12k2 '2'12k2212k2'解得k=0,或k=1.若k=0

15、,则I的方程为y=0,焦点F(c,O)关于直线I的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线I的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一一.22解法3:设椭圆方程为冷爲1(ab0)(1)a2b21直线I不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线y-x过AB中点矛盾。2故可设直线I的方程为yk(x1)(2)y0则X。匹2又点(1,1b)在椭圆上，代入得：122(1b)2b2,x1,y°X。b2所以所求的椭圆方程为:2xy82y_916例5.如图，已知P1OP2的面积为T，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点p的离心率为113

16、的双曲线方程2解：以0为原点，/2X2a设双曲线方程为2由e2=c-2a(b)2aP10P2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系2爲=1(a>0,b>0)b2(竺)2，得b3.2a23y=x23两渐近线0P10P2方程分别为y=_x和23 3设点P1(x1,_x1),P2(x2,-x2)(x1>0,x2>0),22则由点P分PP2所成的比入=磐=2，PP2得P点坐标为(竺空土上2),3222又点P在双曲线L忙=1上，22亠，a9a22所以(X12X2)(x12x2)=19a29a2'即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2又|0

17、P1|292X1-X14宁X1,|OP|.X2292一X24、13X22sinP-|OP22tanP10x21tanROx32129134SPOP211|OP1|OP2|sinROP21 13X1X22 412132749即x1x2=-2由、得a2=4,b2=922故双曲线方程为-仝=1.4 9例6.已知点B(1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且满足|PC|BC|PBCB.(1) 求点P的轨迹C对应的方程；(2) 已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD丄AE,判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.(3) 已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的

18、两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1-k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：(1)设P(x,y)代入IPCIIBCIPBCB得.(x1)2y21x，化简得y24乂(2)将A(m,2)代入y24x得m1,点A的坐标为(1,2).设直线AD的方程为y2k(x1)代入y24x,得y24ky0,4由y12可得y2k2,同理可设直线AE:y则直线DE方程为：y4k44D(弋1,2).k2k丄(x1),代入y24x得E(4k2k44k-(x4k21),化简得4k24k1,4k2).2k(y2)k(x5)k(xk21(y2)0,5),过定点(5,2).(3)将A(m,2)代入

19、y24x得m1,设直线DE的方程为ykxb,D(x1,y1),E(x1,y1)由y2kxb22得k2x22(kb2)xb20,y4xy12y221),kADkAE2,112(X1,X2X1X21且y1kxib,y2kX2b(k22)X1X2(kb2k2)(X1X2)(b2)220,将x1X22(kb22),X1X2b2代入化简得b22(k2),b(k2).k2k2b(k2).将bk2代入ykxb得ykxk2k(x1)2,过定点(1,2).将b2k代入ykxb得ykx2kk(x1)2,过定点(1,2),不合,舍去,定点为(1,2)【模拟试题】(答题时间：50分钟)-、选择题1.是任意实数，则方程

20、x2y2sin4所表示的曲线不可能是(A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.2.2已知椭12(yt)2211的一条准线方程是y则实数t的值是(A.7或一7B.4或12C.1或15D.03.22双曲线1的离心率e4k(1,2)，则k的取值范围为(A.(,0)B.(-12,0)C.(-3,0)D.(-60,-12)4.2以乞42y121的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（2222A.xy1B.xy1161212162222C.xy1D.xy11644165.抛物线y8mx'2的焦点坐标为（)A.（丄,0)1B.(0,丄)C.(0,1)8m32m32m6.已知点A(2,21),y4x的焦点为f,

21、P是y24x的坐标是（)1/-1A.（丄,1)B.(2,2.2)C.(-,1)D.447.已知双曲线的渐近线方程为3x4y0,条准线方程为2222A.yx1B.xy19169162222C.y_x1D.xL1925925D.(1,0)32m的点，为使PAPF取得最小值,(2,2：2)5y90，则双曲线方程为（8.抛物线2yx到直线2x4距离最近的点的坐标为（A.(3,5)24B.(1,1)39C.（2，；）D.(2,4)9.动圆的圆心在抛物线8x上，且动圆与直线x0相切，则动圆必过定点（A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,2)10.中心在原点，焦点在坐标为（0,±5、

22、一2）的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为P占i八、则椭圆方程为()22a2x22y2dA.1257522xyC.12575B.75x2D.-75眩1252L125二、填空题f11.到定点（2,0）的距离与到定直线x8的距离之比为的动点的轨迹方程为212.双曲线2mx2my22的一条准线是y1，则m13.已知点(一2,3)与抛物线y22px(p0)的焦点距离是5,p14.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点那么具有最短长轴的椭圆方程为三、解答题P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,15.已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2,0)作斜率为，3的直线，交双

23、曲线于MN两点，且MN=4,求双曲线方程。16.2过椭圆42Z1的左焦点F作直线I交椭圆于P、Q,F2为右焦点。3求:pf2-qf2的最值17.已知椭圆的一个焦点为F1(0,22)，对应的准线方程为y9、24，且离心率e满足-,e、-33成等比数列。(1)求椭圆的方程。(2)试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点MN,且线段MN恰被直线x-平分？若存在,2求出l的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。如图所示，抛物线y2=4x的顶点为0,点A的坐标为(5,0)，倾斜角为一的直线4经过点O或点A)且交抛物线于MN两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求18.l与线段0A相交(不AMN的最

24、大面积.【试题答案】1.C6.A2.C7.A3.B8.B4.A9.B5.B911.(x4)22y1723612.413.414.22Xy=135415.解：设所求双曲线方程为22xy2a1(a>0,b>0),由右焦点为(2,0)。知c=2,b2=4-a2b2则双曲线方程为2x2a4b21，设直线MN的方程为:2），代入双曲线方程整理得:(208a2)x2+12a2x+5a432a2=0设M(x1,y1),N(x2,y2),则X1X212a2208a25a432a2208a25a432a2208a216.解：直线lx1t-cosy0t-sin为参数32MNJ1V为X24X1X2V52