黑龙江省海林市朝鲜族中学高中人教A版数学选修1-1导学案：3.3.3导数的应用

1、1.3.3导数的应用学习目标1 借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念.f(x)必2 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数有最大值和最小值的充分条件.3会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.【情境引入】当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就是求函数的最大值、最小值问题.那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？【新知探究】1. 函数f(x

2、)在闭区间a,b上的最值如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在a,b上一定能够取得和，并且函数的最值必在或取得.2. 求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的;将函数y=f(x)的各极值与的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是【例题讲解】例1已知函数f(x)=ax36ax2+b,x1,2的最大值为3,最小值为29,求a,b的值.【思路启迪】先求出函数f(x)在1,2上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a,b的一方程组，从而求出a,b的值.【解】由题设知0,否则f(x)=b为常

3、函数，与题设矛盾.取导得f'(x)=3ax212ax=3ax(x4)，令f'(x)=0,得X1=0,=4(舍去).(1)当a>0时，列表如下:x1(1,0)0(0,2)2f'(x)+0一f(x)7a+bAb上16a+b由表可知，当x=0时，f(x)取极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)=3,即b=3.又f(1)=7a+3,f(2)=16a+3<f(1), f(2)=16a+3=29,a=2.(2)当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取极小值，也就是函数在(一1,2上的最小值， f(0)=29,即b=29.又f(1)=7a29,f(2)=

4、16a29>f(1), f(2)=16a29=3,.a=2.综上可得，a=2,b=3或a=2,b=29.点评:(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值.(2)含参数问题一要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在1,2上的最大值和最小值.例2已知函数f(x)=(x+1)lnxx+1,若xf'(x)<x2+ax+1恒成立，求a的取值范围.【思路启迪】求出导函数f'(x),转化为函数的最值问题.x+11【解】f(x)=+lnx1=Inx+-，xf

5、9;(x)=xlnx+1,xx故xf'(x)<x2+ax+1等价于lnxx<a.1令g(x)=lnxx,贝Ug'(x)=11,令g'(x)=0,得x=1.x当0<x<1时，g'(x)>0;当x>1时，g'(x)<0，故x=1是g(x)的极大值点，且是最大值点，贝yg(x)Wg(1)=1.综上，a的取值范围是1,+).点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m>f(x)或mWf(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论mf(x)max或mWf(x)m

6、in即可一求出参数m的取值范围.例3已知函数f(x)=x3x2+bx+c.(1) 若f(x)有极值，求b的取值范围；(2) 当f(x)在x=1处取得极值时，证明对1,2内的任意两个值X1,X2，都有|f(X”f(X2)|<72'解：(1)/f(x)=X31x+bx+c,f'(x)=3x2x+b,要使f(x)有极值,则3x2x+b=0有实数解，从而=112b>0,1bw*而当b<丄12'1b=右时，函数在R上单调递增，不符合题意.证明：Tf(x)在x=1处取得极值,f'(1)=31+b=2+b=0.b=2.f(x)=3xx2.令f'(x)

7、=0,2解得x=1或x=2由上可知，当3x=1时，f(x)有极小值2+c；2当x=2时，22f(x)有极大值+c.2213又f(2)=2+c>27+c,f(1)=2+c>2+C.3x1,2时，f(x)的最小值为3+c,最大值为2+c.-|f(x1)f(X2)|賢|maxf(x)min|=故结论成立.【课堂小结】1. 函数的最大值与最小值：在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值；但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.2. 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求f(x)

8、在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值.当堂检测1.设f(x)是a,b上的连续函数，且在(a,b)内可导，则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B. f(x)的最值点一定是极值点C. f(x)在此区间上可能没有极值点正确.D. f(x)在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A,B,D都不正确，只有选项C2.函数f(x)=1x32x2在区间1,5上()A.有最大值0,无最小值32B.有最大值0，有最小值C.有最小值-32，无最大值D.既无最大值也无最小值解析：fzx)=x24x=x(x4),令f'x)=0,得x=0或x=4,f(0)=0,f(4_)=32,f(_1)=7,f(5)=25,f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=32.答案：B3. 函数f(x)=x+2sinx在区间n,0上的最小值是()nA.B.2層3d.2n.3解析：f'(x)=1+2cosx,令f'(x)=0得x=宇，又3f(n=nf(甘=台23,f(0)=0,故最小值为一2n3.答案：D4. 函数