第二章 一维随机变量及其分布

1、2.1 随机变量的概念及其分布函数随机变量的概念及其分布函数2.2 一维离散型随机变量一维离散型随机变量2.3 一维连续型随机变量一维连续型随机变量2.4 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念 2.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义 称定义在样本空间称定义在样本空间上的实函数上的实函数X=X()，是随机变量，是随机变量，如对任意实如对任意实数数x ，集合，集合 X() x 都是一随机事件。都是一随机事件。 注注：一般一般X() 简单记为简单记为X， X() x 记为记为X x 分布函数分布函数设设X是一个随机变量，是一个随机

2、变量，x是任意实数，函是任意实数，函数数F(x)=P X() x称为随机变量称为随机变量X的分的分布函数，记作布函数，记作FX(x)或或F(x)。 X 的分布函数也常简记为的分布函数也常简记为FX(x)= PXx分布函数的性质分布函数的性质任一随机变量任一随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，x(，)，具有下列性质：，具有下列性质： (2) 若若x1x2，则，则 F(x1) F(x2) 12xXxX 根据概率的性质，得根据概率的性质，得PXx2 PXx1 即即 F(x2) F(x1) 证明：证明： 若若x1x2 ，则有，则有 (1) 0 F(x) 1v 如某实函数具有上述如某实函数具有上述3

3、个性质，则它可作为某个性质，则它可作为某随机变量的分布函数随机变量的分布函数 0lim FxFx 1lim FxFx 000 xFxF (2) 0F(x) 1 ，且，且 (3) 右连续性右连续性 对任意实数对任意实数 x0 ，有，有 xFxFxx 00lim0其其中中离散型随机变量离散型随机变量如随机变量的取值只有如随机变量的取值只有有限个或可列多个有限个或可列多个（可数）（可数），则称它为离散型随机变量。，则称它为离散型随机变量。 设离散型随机变量设离散型随机变量的全部取值为的全部取值为x x1 1,x,x2 2,x,xn n,且且P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i，i=1,2,i

4、=1,2,则称上式为则称上式为X X的概率分布律。也可写作：的概率分布律。也可写作：离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列称为称为的的分布列分布列,2121nnppppxxxXX 或kxxx21kppp21分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp规范性二项概率公式二项概率公式设在一次试验中，事件出现的概率为设在一次试验中，事件出现的概率为p (0p0.999 0.999 故故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取取n=3，即需要发射，即需要发射3枚导弹。枚导弹。 设设XB(n,p)，令，令k0=Int(n+1)p则则k=k0时，时，b(k;n,p

5、)的值最大。的值最大。若若 (n+1)p为整数，则为整数，则b(k0;n,p)= b(k01;n,p)证明：证明： pnkbpnkbr,; 1,; 令令kqpknr)1( 则则kqkqpkn )1(1kqkpn )1(1例例 鱼塘中鱼的条数。鱼塘中鱼的条数。先从塘中网起先从塘中网起100100条鱼条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中网起匀）再从中网起8080条，发现其中有记号者为条，发现其中有记号者为2 2条，求鱼的总数条，求鱼的总数N N。 解解设有记号的鱼的条数为设有记号的鱼的条数为，则，则服从二服从二项分布项分布B(80B(80，10

6、0/N)100/N)。由定理，捞起的鱼最有可能是由定理，捞起的鱼最有可能是Int(n+1)p)Int(n+1)p)条，条，因此因此(80+1)(80+1)100/N=2 100/N=2 由此解得由此解得 N=4050N=4050（条）（条） 若离散型随机变量X的分布律为其中其中0是常数，则称是常数，则称X服从泊松分服从泊松分布。布。 记记 为为XP() ，称为参数。称为参数。 , 2, 1, 0! kekkXPk 2.2.2泊松分布泊松分布 因为因为0 ，故有，故有P(X=k)0 。(k=0,1,2, ) 0!kkxkxe又又 1!000 eekeekkXPkkkkk即泊松分布的分布律，具备概

7、率函数两性质。即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数；炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数；落在显微镜片上的某种细菌个数在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分布。例如布。例如:设随机变量Xn服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, )，其中概率pn与有关，并且满足0lim nnnp , 2, 1, 0,!1lim kekppCkknnknknn 则则泊松定理泊松定理证明证明 ：npnpnnnn 即即令令 knnknknnknknnnkknnnn

8、ppC 1!1211knnknknnnknknn 1!112111knnknnknknn 1!112111 其中为一个定数。其中为一个定数。 对任意固定的非负整数，有对任意固定的非负整数，有1112111lim nknnnkknnknnnplimlim eennnknnnnknnnnn111lim1lim 故得故得 , 2, 1, 0,!1lim kekppCkknnknknn 在应用中，当很大（在应用中，当很大（n10 ），很小），很小(0.1) ，我们有下面的泊松近似公式，我们有下面的泊松近似公式 nkekqpCkXPkknkkn, 2, 1, 0,! 其中其中=np 例例 设有同类设备台

9、，各台工作相互独立设有同类设备台，各台工作相互独立的，发生故障的概率都是的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求故障可由一个人来处理，试求（）一个人负责维修台设备时，设备发（）一个人负责维修台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率；生故障而不能及时维修的概率；（）由三个人共同负责维修台设备时，（）由三个人共同负责维修台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。设备发生故障而不能及时维修的概率。 解：解： (1)设设X表示同一时刻发生故障的设备台数。表示同一时刻发生故障的设备台数。在同一时刻至少有台设备发生故障，便在同一时刻至少有台设备发生故障，

10、便不能及时处理。不能及时处理。 0169. 099. 001. 02099. 011111219201912020002020220 ppCppCppCXPkknkk 若用泊松近似公式若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2) ，则有则有 0176. 0!2 . 0!22022 . 0202 kkkkekekXP （2）设）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则表示同一时刻发生故障的设备数，则YB(80,0.01)。当同一时刻至少有台设备发生故障时，就不当同一时刻至少有台设备发生故障时，就不能及时维修。能及时维修。用泊松近似公式用泊松近似公式 (=np=800.01=0.8) ，得，得 0

11、091. 0!8 . 0!48048 . 0804 kkkkekekYP 计算结果表明，由三人共同负责维修台，计算结果表明，由三人共同负责维修台，每人平均约维修台，比一个单独维修台更每人平均约维修台，比一个单独维修台更好，既节约了人力又提高了工作效率。好，既节约了人力又提高了工作效率。 在在“成功成功”概率是概率是p的贝努利试验中，若的贝努利试验中，若以以X记首次出现记首次出现“成功成功”的试验次数。则的试验次数。则X所所服从的分布便是几何分布。服从的分布便是几何分布。, 2 , 11),;()(1 kpqpkgpqkXPk111);(111 qppqpkgkkk显然显然 例例6 一个人要开门

12、，他共有一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙，其中仅有一把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均以门，在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用，问的概率被取用，问此人直到第此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少？次试开时方才成功的概率是多少？ 解解nAP1)( nnns111 所求概率所求概率A=试开门成功试开门成功定义定义2.3.1 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存，若存在非负函数在非负函数f(x)，使得对一切实数，关系式，使得对一切实数，关系式 xdttfxF都成立，则称都成

13、立，则称X为连续型随机变量为连续型随机变量，f(x)称为称为X的的密度函数。密度函数。可以证明，连续型随机变量的分布函数是连可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。续函数。 密度函数密度函数f(x)具有下列性质：具有下列性质： （1） （2） （3） 0 xf 1dxxf badxxfaFbFbXaP证明证明 （）由定义知（）由定义知f(x) 0显然。显然。（）由分布函数性质知，（）由分布函数性质知， 1lim xFFx 1limlim FxFdttfdxxfxxx由广义积分概念与定义知，由广义积分概念与定义知，常利用这两个性质检验一个函数能否常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随

14、机变量的密度函数，作为连续性随机变量的密度函数， aXPbXPbXaP babadxxfdxxfdxxf（）（） aFbF aXPbXPbXaP 对任意类型的对任意类型的随机变量均成立随机变量均成立bxf ( x)-10-550.020.040.060.08a设a、b为有限数，且a0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为、的正态分布，简记为的正态分布，简记为XN(,2) 。若随机变量若随机变量X的分布密度的分布密度222/)(21)( xexf)( x)(1 ,0 xf)(1 . 0, 0 xf)(5 . 2,0 xf 固定时，固定时，的值越小，的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。的

15、图形就愈尖、越狭。的值越大，的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。的图形就愈平、越宽。X的分布函数为的分布函数为dtexFtx222/)(21)( 特别地称特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为：密度及分布函数常记为：2/221)(xex xtdtex2/221)( baxbadxedxxfbXaP222)(21)( 如如XN(,2)，有，有)()( abbXaP证明：证明：时时也也成成立立。或或结结论论当当 ba)(21)(,2/2 xdtexFxbaxt有有时时，特特别别地地，当当)()( ab batdte2221 baxxde)(21222

16、)( xt令令)1 , 0()()()()(NXxxXPxxFxXPxXPxF )1 , 0(),(:1 . 3 . 22NXNX ，则则如如命命题题证明：证明： 例例 2.3.4 设已知测量误差设已知测量误差XN（0，102 ），），现独立重复进行现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超次测量，求误差绝对值超过过19.6的次数不少于的次数不少于3的概率。的概率。 解：解：第一步第一步:以以A表示一次测量中表示一次测量中“误差绝对值误差绝对值超过超过19.6”的事件，则有的事件，则有 05. 0)96. 1(2296. 11016 .1916 .19)( XPXPXPAP第二步第二步:以以Y

17、表示表示100次独立重复测量中，事件次独立重复测量中，事件A发生的次数，则发生的次数，则B（100，0.05），所求），所求概率是概率是 P（Y3）=1P（Y3） 8754. 0! 25! 15! 051)2()1()0(1)3(1)3(525150 eeeYPYPYPYPYP 第三步第三步:由于由于n=100较大而较大而p=0.05很小，故二很小，故二项分布可用项分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得泊松分布表可得 例例2.3.5 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高

18、以下来设计的，设男子身高X服从服从=170cm、=6cm的正态分布，即的正态分布，即XN（170，62 ），试确定车门的高度。），试确定车门的高度。 解：解：设车门的高度为设车门的高度为hcm，根据设计要求，根据设计要求应有应有 99. 0)(01. 0)(101. 0)( hXPhXPhXP18433. 2617099. 09901. 0)33. 2(99. 0)6170()()()6170(2 hhhhXPhXPNX得得查查正正态态分分布布表表得得，（补充）例：例：从南郊某地乘车前往北区火车从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，站搭火车有两条路线可走，第一条穿过

19、市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布时间（单位分钟）服从正态分布N(60,16)，（1）如有）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？分钟可用，问应走哪一条路线？解：解：应应走走第第二二条条路路线线。的的概概率率为为：走走第第二二条条路路线线及及时时赶赶到到的的概概率率为为：走走第第一一条条路路

20、线线及及时时赶赶到到分分钟钟可可用用时时有有表表示示行行车车时时间间。设设 9938. 0)46070(709772. 0)105070(7070)1(XPXPX应应走走第第一一条条路路线线。的的概概率率为为：走走第第二二条条路路线线及及时时赶赶到到的的概概率率为为：走走第第一一条条路路线线及及时时赶赶到到分分钟钟可可用用时时有有 8944. 0)46065(659332. 0)105065(6565)2(XPXP 如如X是随机变量，在是随机变量，在y=g(x)连续、分段连续、分段连续或单调时，则连续或单调时，则 Y=g(X) 也是随机变量也是随机变量。方法方法 将与将与Y 有关的事件转化成有

21、关的事件转化成 X 的事件的事件 求求 随机因变量随机因变量Y= g ( X )的密度函数的密度函数 或分布律或分布律)(yfY 已知已知随机变量随机变量 X 的密度函数的密度函数 或分布律或分布律)(xfX设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为, 2 , 1,)( kpxXPkk由已知函数由已知函数 g( x)可求出随机变量可求出随机变量 Y 的的所有可能取值，则所有可能取值，则 Y 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,)()(: ipyYPikyxgkki离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 例例2.4.1 设设X的分布律为的分布律为的的分分布布。试试求求出出1,

22、12 ,2 XXXX21012P0.150.20.20.20.25解解P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 将表中取相同值的部分作适当并项得将表中取相同值的部分作适当并项得P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 将表中取相同值的部分作适当并项得将表中取相同值的部分作适当并项得0.40.40.2P410 X20.2530.210.20.20.15P1352X-1P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 将表中取相同值的部分作适当并项得将表中取相同值的部分作适当并项得0.40.40.2P321X+1 已知已知 X 的密度函数的密度函数 f (x) 或分布函数或分布函数求求 Y = g( X ) 的密度函数的密度函数方法：方法：（1） 从分布函数出发从分布函数出发（2）用公式直接求密度函数）用公式直接求密度函数 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布例例2 设随机变量设随机变量X具有连续的分布密度具有连续的分布密度fX(x)，试求试求Y=aX+b（其中（其中a，b是常数，并且是常数，并且a0）的分布密度的分布密度fY(y)。 解：解：时时当当的的分分布布函函数数为为设设0)1()( a