(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

1、(0195)实变函数复习大纲第一章集合论1、 基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集2、 基本结论1、 集合的运算规律2、 可数集的性质(1) 任何无限集必含有可数子集(2) 可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。(3)可数个可数集的并集是可数集。(4)若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集a=axi,x2,xn,Xkxj,xj,;k1,2,.n则A为可数集。3、常见的可数集：有理数及其无限子集。三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。2、 掌握集之间的并、交、差、余运算。3、 掌握集列的上、下

2、限集的概念及其交并表示。4、 理解集列的收敛、单调集列的概念。5、 掌握一一映射，两集合对等及集合基数等概念。6、 理解伯恩斯坦定理(不要求掌握证明)，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。7、 理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数

3、集合,而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的,这是无穷集合的本质特征。第二章点集1、 基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。2、 基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。3、开集、闭集具有对偶性。4、Cantor集合的构造及性质：Cantor集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。三、基本要求：1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。2、理解聚点，孤立点、内点、外点、

4、界点的意义，掌握有关性质。3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。5、理解康托集的构造、特性。四、重点：1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包2、能够正确应用Cantor集合的构造及性质举例。五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。第三章测度论一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。二、基

5、本结论1、 可测集的性质（基本性质、运算性质）。2、 可测集的构造。3、 不可测集是存在的。4、 常见可测集。区间、开集、闭集，零测集及其子集以及由这些集合的可数并、交、差等运算而得的集合。三、基本要求：1、理解测度的意义。2、理解外测度的意义，掌握其有关性质。3、理解可测集的定义，掌握可测集的性质。4、了解并掌握不可测集的存在性这一结论。四、重点：1、用概念求一、二维空间点集的测度2、用可测集合的有关性质证明相关的结论。五、学习主要事项：本章介绍的测度是直线上线段的“长度”，平面图形的“面积”空间立体的“体积”在欧氏空间的推广。我们需要注意，对具体的集合而言，有时与我们的“直观”有差异。例如

6、，全体有理数集合的测度为零，但是它是无界集合；0,1的全体无理点所成的集合的测度为1,但是它却不含任何区间；康托集是不可数集合，但是它的测度为零。第四章可测函数、基本内容可测函数的概念、性质及其构造，可测函数的各种收敛性及其关系。二、基本结论1、可测函数经过四则运算后仍是可测函数。2、几乎处处相等的函数有相同的可测性。3、可测函数列的极限函数仍是可测函数。4、各种收敛性的关系。fnfa.e.fnfnfa.u在黎斯定理条件下的子列在叶果洛夫条件下三、基本要求：1、掌握可测函数的定义及等价定义。2、掌握可测函数的有关性质。3、理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。4、掌握叶果洛夫定理，

7、鲁津定理以及它们的逆定理的证明。5、掌握依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与几乎处处收敛的联系与区别。四、重点：1、可测函数的概念。2 、叶果洛夫定理逆定理及鲁津定理逆定理的证明。3 、按定义证明依测度收敛。4 、用可测函数各种收敛性的关系证明相关的结论。五、学习主要事项：本章介绍的可测函数必须是定义在可测上，我们以前熟悉的连续函数（定义在可测集上）是可测的，可测函数列的“几乎处处收敛”、“近一致收敛”、“依测度收敛”既有区别又有联系，学习时必须认真理请它们的关系。（参见前面的图示）第五章积分论基本内容：黎曼积分可积性的证明，L-积分的定义及其性质，积分的极限定理，有界变差函数，不定积分与绝对连

8、续函数。二、基本结论1、 在测度有限情形下，有界可测函数是可以积分的。2、 可积函数的性质。3、 积分收敛定理。4、 R-积分与L-积分的关系。三、基本要求1、了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。2、理解勒贝格积分的定义及其建立过程。3、掌握R积分与L积分的关系。4、掌握L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。5、掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。四、重点：1、计算函数的积分值。2、利用控制收敛定理及逐项积分定理求积分列的极限。五、学习主要事项：L-积分是黎曼正常积分的推广。本章从具体到一般逐步给出积分概

9、念，首先对定义在测度有限的可测集上的有界可测函数定义积分，然后对非负函数定义积分值，最后对一般可测函数定义积分值，从而定义其可积性。值得注意的是，不可积函数有时可以计算积分值（这时积分值为无穷大）。在L-积分下，积分与极限交换顺序的条件是比较容易满足的。(0195)实变函数样题及解答一、判断下列命题是否正确(每小题1分，共10分)。1 .无界勒贝格可测集合的勒贝格的测度必为。2 .可数点集一定为零测集。13 .设E为R的可测子集，mE0,E一定含有一个区间。4 .开集G1是开集G2的真子集，则mGmG2。5 .设fx,gx均是可测集合E上的可测函数，且对任何xE,fxgx,若gx为L-可积，则

10、fx也L-可积。6 .开集减去闭集是开集。7 .设fnx是可测集E上的可测函数列，fxinffnx,则fx是可测函数。n8 .有界可测集上的勒贝格可积函数一定是几乎处处有限的可测函数。9 .设f(x)是L可积函数，g(x)是L不可积函数，则f(x)+g(x)是L不可积函数10 .设ERq,p是E的内点，则p一定是E的聚点答案：1、错误6、正确5、错误10、正确2、正确3、错误4、错误7、正确8、正确9、正确二、填空题(每小题2分，共10分)。L黄4H13则以人4n.2 .设E是(。,1)中的无理点集，则岳.3 .设E是平面上矩形(x,y)|0x0,1E2静汜。七、(10分)计算:解：令fn(x)